- Conjetura 2n + 2
- Enunciado de la conjetura 3n +
1 - Coeficientes Intercambiados de Collatz ó
2m(n + 3)
Aunque estos resultados no demuestran la conjetura de
Collatz, esperamos que los mismos sirvan para acercarnos un poco
más a la solución definitiva de la
conjetura.
Conjetura 2n +
2
La conjetura 2n + 2, no es más que una variante
de la muy conocida conjetura matemática de Collatz
ó 3n + 1, como también es conocida. Para comprender
la primera, debemos conocer el enunciado de la
segunda.
Enunciado de la
conjetura 3n + 1
Tomemos un número natural (n), y procedamos de la
siguiente manera:
a) Si n es impar, multipliquémoslo por 3
y le sumamos 1 al resultado.b) Si n es par, dividámoslo por
2.
Repetiremos este proceso con el guarismo obtenido, y
así repetidamente.
Ej.:
n = 9
Como n es impar multiplicamos 9 por 3 y le sumamos
1.
3(9) + 1 = 28, este es el segundo término de la
sucesión.
9, 28
Como 28 es par, lo dividimos entre 2 para generar el
tercer término, y así sucesivamente repetimos el
proceso hasta acabar en 1.
9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5,
16, 8, 4, 2, 1
No importa el número natural que elijamos,
siempre y cuando sigamos estas simples reglas la serie
terminará en uno, esto significa que a partir de dicho
término se vuelve periódica.
Por medio de ordenadores, se ha comprobado que la
conjetura es cierta para números menores o iguales a 258,
pero eso no le da el estatus de teorema a la
conjetura.
Como ya se habrán podido imaginar, la conjetura
2n + 2, cumple el mismo enunciado que la conjetura de Collatz (3n
+ 1), variando sólo en la función generadora que
ahora es 2n + 2 (para n impares).
Ejemplo:
n = 9
Como n es impar, lo multiplicamos por 2 y le sumamos
2.
9, 20, 10, 5, 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1.
Como podemos notar, el número de iteraciones es
menor que en el ejemplo anterior.
Para n = 3721, tenemos:
3721, 7444, 3722, 1861, 3724, 1862, 931, 1864, 932, 466,
233, 468, 234,117, 236, 118, 59, 120, 60, 30, 15, 32, 16, 8, 4,
2, 1
Para n = 10, tenemos:
10, 5, 12, 6, 3, 8, 4, 2,1
Para n = 28, tenemos:
28, 14, 7, 16, 8, 4, 2, 1
A partir de las funciones f(n) = 3n + 1 o f(n) = 2n + 2,
podemos obtener otras funciones que satisfacen las normas
establecidas por Collatz, las que se cumplirán siempre y
cuando la f(n) se multiplique por una potencia de dos, esto
es:
2m f(n) / m > -2
Ejemplos:
Sea m = 1 y n = 3, con f(n) = 3n + 1
21 f(n) = 2(3n + 1) = 6n + 2
Aplicando las reglas de Collatz tenemos:
3, 20, 10, 5, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Sea m = 1 y n = 3, con f(n) = 2n + 2
21 f(n) = 2(2n + 2) = 4n + 4
Aplicando las reglas de Collatz tenemos:
3, 16, 8, 4, 2, 1
Sea m = 2 y n = 3, con f(n) = 2n + 2
22 f(n) = 4(2n + 2) = 8n + 8
Aplicando las reglas de Collatz tenemos:
3, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Sea m = 2 y n = 3, con f(n) = 3n + 1
22 f(n) = 4(3n + 1) = 12n + 4
Aplicando las reglas de Collatz tenemos:
3, 40, 20, 10, 5, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Aplicando las reglas de Collatz a otras funciones se
pueden obtener otros resultados interesantes, como la conjetura
de tipo: 2n * k, tal que k es un elemento de los enteros
positivos impares y n un número entero mayor que
0.
Siguiendo las mismas reglas que en las conjeturas
anteriores, y sustituyendo únicamente la función
generadora, por la funcione: 2n k, observamos que:
Si tomamos n = 1 y k = 5,
2k
5, 10, 5
Si tomamos n = 2, k = 5,
4k
5, 20, 10, 5
Si tomamos n = 3, k = 5,
8k
5, 40, 20, 10, 5
Si tomamos n = 4, k = 5,
16k
5, 80, 40, 20, 10, 5
Como podemos notar en este tipo de variante, siguiendo
las reglas de collatz, el último término de la
sucesión es igual al primero, lo que significa que a
partir de este término la sucesión se hace
cíclica. Otra cosa que se puede observar es que el
número de términos aumenta conforme aumenta n en (n
+ 2), antes de que se haga cíclica.
Ejemplos:
Para n (1- 3), k = 576345
21 = 2
576345 – 1152620 – 576345
22 = 4
576345 – 2305380 – 1152690 –
576345
23 = 8
576345 – 4610760 – 2305380 – 1152620 –
576345
Nota:
El término conjetura está mal
empleado para la variante de tipo 2n * k, ya que se puede
demostrar de manera sencilla que lo dicho anteriormente se cumple
para dicha función.
Coeficientes
Intercambiados de Collatz ó 2m(n + 3)
El origen que da nombre a esta conjetura es muy
fácil de comprender, sea 2m(3n + 1) una función que
cumple con las normas establecidas por la conjetura de Collatz,
si hacemos un intercambio entre el coeficiente numérico
que acompaña a la variable n y el término
independiente (1), la función se convierte en: 2m(n + 3),
sus propiedades son las siguientes:
1) Sea n un número natural divisible por
3 y m un entero mayor que -1.
Si n es impar, le sumamos 3 y multiplicamos el resultado
por 2m/ m > -1.
Si n es par, lo dividimos por 2.
No importa cuál sea el número (n), siempre
que sea múltiplo de 3, la serie terminará en
3.
Ej.:
n = 3, m = 0
3 + 3 = 6
6/2 = 3
S{ 3, 6, 3}
n = 9, m = 0
9 + 1 = 10
10/2 = 5
5 + 1 = 6
6/2 = 3
S{ 9, 10, 5, 6, 3}
2) Sea n un número natural que no es
divisible por 3 y m un entero mayor que -1.
Si n es impar, le sumamos 3 y multiplicamos el resultado
por 2m/ m > -1.
Si n es par, lo dividimos por 2.
Siempre y cuando el número (n) no sea
múltiplo de 3, la serie terminará en 1.
Ej.:
n = 5, m = 0
5
5 + 3 = 8
8/2 = 4
4/2 = 2
2/2 =1
S{5, 8, 4, 2,1}
n = 22, m = 0
22/2 = 11
11 + 3 = 14
14/2 = 7
7 + 3 = 10
10/2 = 5
5 + 3 = 8
8/2 = 4
4/2 = 2
2/2 = 1
S{22, 11, 14, 7, 10, 5, 8, 4, 2, 1}
Autor:
José Acevedo J.