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Interpretar la solución optima

Enviado por Saada Almeida



  1. Introducción
  2. Programación lineal
  3. Método Simplex
  4. Interpretar la solución óptima
  5. Variable
  6. Conclusión

INTRODUCCION

En lo estudiado anteriormente hemos podido aprender cómo a partir de la gran cantidad de datos que describen una muestra mediante una variable, X, se representan gráficamente los mismos de modo que resulta más intuitivo hacerse una idea de como se distribuyen las observaciones.

Otros conceptos que según hemos visto, también nos ayudan en el análisis, son los estadísticos de tendencia central, que nos indican hacia donde tienden a agruparse los datos (en el caso en que lo hagan), y los estadísticos de dispersión, que nos indican si las diferentes modalidades que presenta la variable están muy agrupadas alrededor de cierto valor central, o si por el contrario las variaciones que presentan las modalidades con respecto al valor central son grandes.

También sabemos determinar ya si los datos se distribuyen de forma simétrica a un lado y a otro de un valor central.

En este capítulo pretendemos interpretar la solución óptima que se obtiene después de haber aplicado el método simplex una situación muy usual y por tanto de gran interés en la práctica:

Si Y representa una variable definida sobre la misma población que X, ¿será posible determinar si existe alguna relación entre las modalidades de X y de Y?

El valor de la variable original es aquel que se representa por medio de números obtenido de una población o muestra original.

CAPITULO I

PROGRAMACIÓN LINEAL

Procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

La programación lineal consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, que denominaremos función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

MÉTODO SIMPLEX

Este método, es un algoritmo que parte de una solución básica posible y encuentra otra que mejora el valor de la función objetivo. Este procedimiento se repite hasta que se alcanza el óptimo, si éste existe, o se arriba a una condición de final anormal. El método realiza una búsqueda eficiente pero no necesariamente recorriendo la ruta más corta.

El método hace uso de una tabla de coeficientes de m + 1 filas, correspondiendo a las m restricciones y a la función objetivo y n + m + 2 columnas donde n primeras corresponden a las variables originales, las m siguientes a las flojas, la penúltima a la variable asociada a la función objetivo y la restante contiene los términos independientes de las restricciones.

La función objetivo Z = C0 + ( Cj Xj se incorpora a la tabla bajo la forma Z - ( Cj Xj = C0 y es posible considerar a Z como una variable más.

En la tabla 5.1 se muestra el cuadro inicial para el problema planteado.

Tabla 5.1: Tabla Inicial

Tabla 5.1: Tabla Inicial

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El origen de coordenadas es una solución básica posible que se usa para iniciar el cálculo. Corresponde a la solución obvia de no hacer nada, por lo cual el beneficio es nulo. Corresponde ahora ver si es posible mejorar el valor de la función objetivo. Para ello se debe analizar las consecuencias de un posible incremento sobre alguna de aquellas variables que son cero, X1 o X2, por ser las variables independientes o de decisión.

Obviamente, para que la nueva solución no abandone la zona admisible, no pueden considerarse valores negativos para tales variables.

Como las variaciones permitidas son positivas, la función objetivo aumentará más rápidamente con aquella variable que tenga el mayor coeficiente cj positivo, esto es, en la tabla, el más negativo de la fila de la FO.

Esta variable dejará de ser nula y, en consecuencia, entrará en base. La columna que corresponde a esta variable se denominará columna pivote, ya que ella determinará las transformaciones que sufra la tabla. Para el ejemplo que se está analizando se elige X2.

Ahora resta determinar cuánto puede aumentarse X2.sin violar la no negatividad de las demás variables. Dejando X1.nula, de la tabla 5.1 se ve que deberá cumplirse:

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De acuerdo a estos valores, en un caso el movimiento sería hasta el punto I (X2= 60000), o hasta el punto H (X2 = 20000) o finalmente hasta el punto G (X2 = 15000). Como puede observarse, la condición 3 es la más restrictiva. Esta fila se denominará fila pivote por la misma razón que la apuntada, en su momento, para la columna. La intersección de fila y columna determina el elemento pivote.

Si la variable X2 entrará en base otra variable que está en base debe salir para mantener constante el número de variables no básicas. Para asegurar que la nueva solución básica sea posible, esa variable debe ser S3., que pasará a valer cero – la distancia a la restricción 3 será nula - y la solución se ubicará sobre la frontera de dicha restricción. Para elegir la fila pivote se realiza, en cada fila, el cociente entre el término independiente y el coeficiente de la columna pivote, por ejemplo, en la fila 1, 24000/0,40 = 60000.

Si hubiese aparecido, en la columna pivote, algún coeficiente negativo, es fácil comprobar que, para esa restricción, la variable seleccionada podría aumentar indefinidamente sin violar la no negatividad de la respectiva variable en base, esto es, aquella cuya relación con las variables independientes está expresada por la fila en cuestión.

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De lo anterior surge que, si en la columna pivote no existe, al menos, un coeficiente positivo, la solución del problema se encuentra en el infinito.

Una vez establecidas la columna (l), la fila (k) y el elemento pivote (akl) se está en condiciones de realizar las modificaciones para llegar a otra solución básica posible.

Las transformaciones concluyen con el elemento pivote igual a 1 y los demás coeficientes de la columna pivote igual a cero

Las transformaciones se realizan de la siguiente manera:

Fila Pivote ( i= k ): para lograr que el nuevo coeficiente en la ubicación del pivote sea igual a uno, se divide toda la fila por el elemento pivote.

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Filas restantes ( i = 1,... , m , i ( k ): para lograr que, en la columna del pivote todos los elementos sean nulos, se resta, a cada fila, la obtenida en el paso anterior, multiplicada por el elemento que se desea hacer cero.

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Función Objetivo: se procede igual que en el paso anterior para lograr que el coeficiente de la variable que está entrando en base sea nulo:

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Los cambios realizados sobre la Tabla 5.1 conducen a la Tabla 5.2, en la cual se puede ver que si las variables no básicas (X1 y S3) son nulas, X2 es igual a 15000, S1 es 180000 y S2 es 500 bbl/día, dando un beneficio de 153000 $/día.

Esta solución básica posible se halla sobre la frontera de la restricción 3, en el punto G de la figura 5.2.

Si se mira la fila de la función objetivo se puede ver que aún es posible aumentar su valor ya que el coeficiente de la variable X1 es negativo. Como hay un único coeficiente con esa característica, ésta es la columna pivote. La restricción 2 es la elegida como fila pivote por lo cual la variable S2 saldrá de base. Las modificaciones llevan a la Tabla 5.3

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Continuando con el procedimiento se obtiene la Tabla 5.4 que corresponde a la solución óptima (punto D de la figura 3.2). La optimalidad de esta solución se deduce del hecho que, en la fila de la función objetivo, no existe ningún coeficiente negativo y, en consecuencia, cualquier apartamiento de esta solución redundará en una disminución del beneficio obtenido.

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En el plan de producción óptimo se produce el máximo permitido de nafta y kerosene y faltan 666,67 bbl/día (= S3) para llegar al máximo de fuel oil.

En este problema, los coeficientes de las variables no básicas en la fila de la función objetivo son positivos. Puede ocurrir que en el cuadro correspondiente a la solución óptima, alguno de esos coeficientes sea nulo. Esto significa que la correspondiente variable puede entrar en base sin que cambie el valor de la función objetivo. Hay, por lo tanto, más de un vértice igualmente óptimo en la zona de soluciones posibles y debido a su convexidad puede decirse que todos los puntos que son combinación lineal de dichos vértices son también óptimos. En consecuencia, puede decirse que el problema tiene infinitas soluciones.

CAPITULO II

INTERPRETAR LA SOLUCIÓN ÓPTIMA

El conjunto de vértices del recinto (formados por las restricciones) se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima(o mínima según el caso).

Soluciones complementarias óptimas.- Con la solución óptima, al final del simplex se tiene, la solución primal X* y una óptima complementaria dual Y*, en el renglón Z, como coeficientes de las variables de holgura y/o artificiales que forman la primera solución básica, ("Precios Sombra" o "Variables Duales" o "Multiplicadores del Simplex").

INTERVALO PERMITIDO PARA PERMANECER ÓPTIMA

Se acaba de describir e ilustrar la forma de analizar cambios simultáneos en los coeficientes de una variable no básica xj. Es una práctica común en el análisis de sensibilidad poner atención también en el efecto de cambiar sólo un parámetro, cj. Esto incluye simplificar el enfoque anterior para encontrar el intervalo de valores permitidos para permanecer óptima para cj.

Para cualquier cj, su intervalo permitido para permanecer óptima es el intervalo de valores para el que la solución óptima actual (obtenida por el método símplex para el modelo actual antes de cambiar cj) permanece óptima. (Se supone que el cambio en esta única cj, es el único cambio al modelo actual.) Cuando xj, es una variable no básica para esta solución, la solución permanece óptima mientras z*j -cj " 0, donde z*j = y*Aj es una constante a la que no afecta el cambio en el valor de cj. Entonces, el intervalo permitido para permanecer óptima para cj, se puede calcular como cj " y*Aj .

Por ejemplo, considere el modelo actual para el problema de la Wyndor Glass Co. que se resume en el lado izquierdo de la tabla 1.3, donde la solución óptima actual (con C1 = 3) está dada en el lado derecho. Cuando sólo se cambia C1, esta solución permanece óptima siempre que 1

c1 " y*A1 = (0, 0, 5/2) 0 = 7 ½, 3 de manera que C1 " 7 ½ es el intervalo permitido para permanecer óptima.

Una alternativa para realizar esta multiplicación de vectores es observar en la tabla 1.3 que z*1 - c1 = 9/2 ( el coeficiente de x1 en el reglón 0) cuando c1 = 3, de manera que z*1 = 3 + 9/2 = 7 ½. Como z1 = y*A1, de inmediato se llega al mismo intervalo permitido.

Para cualquier variable de decisión no básica cj, en ocasiones se hace referencia al valor z*j - cj como el costo reducido para xj, porque es la cantidad mínima en la que tendría que reducirse el costo unitario de la actividad j para hacer que valga la pena realizar esa actividad j (aumentar el valor de xj a más de cero). Al interpretar cj como la ganancia unitaria de la actividad j (lo que reduce el incremento en el costo unitario cj por la misma cantidad), el valor de z*j - cj es entonces el incremento máximo permitido en cj para conservar óptima la solución BF actual.

En la interpretación de la solución óptima, se debe ver si el problema tiene "variables discretas" o "variables continuas". Si se tienen variables discretas, al hacer la interpretación de la solución óptima del problema, se tendrá que dar en valores "enteros" haciendo los ajustes requeridos en la solución matemática obtenida. Si son variables continuas, la interpretación se hará directamente con los valores obtenidos sin hacer ningún ajuste.

VARIABLE

Una variable es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores, se representa por un símbolo tal como X, Y, H que puede tomar un valor cualquiera de un conjunto determinado de ellos, llamado dominio de la variable.

Variable se define también como los elementos o propiedades que se estudian: Sexo, ingresos, educación, clase social, etc. Variables

Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.

RESTRICCIONES

Las restricciones pueden ser de la forma:

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Donde:

  • A = valor conocido a ser respetado estrictamente;

  • B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;

  • C = valor conocido que no debe ser superado;

  • j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);

  • a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;

  • X = Incógnitas, de 1 a N;

  • i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema

VALOR DE LA VARIABLE

Todos los elementos de la población poseen los mismos tipos de caracteres, pero como estos en general no suelen representarse con la misma intensidad, es obvio que las variables toman distintos valores. Por lo tanto estos distintos números o medidas que toman los caracteres son los "valores de la variable". Todos ellos juntos constituyen una variable.

LAS VARIABLES PUEDEN CLASIFICARSE EN DOS TIPOS CUALITATIVAS O CUANTITATIVAS

  • Variable cualitativa: Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores

  • Variable cualitativa no ordenable: Cuando los sucesos elementales se reagrupan en categorías, pero no requieren un orden determinado, pero si tiene un límite definido excluyentes unas de otras. Ejemplo:

Variable Categoría

Estado civil Soltero, casado, viudo, unión libre

Religiosidad Católico, protestante, budista, etc

Sexo Femenino, masculino

Nacionalidad Colombiano, peruano, etc.

Rendimiento académico Excelente, Bueno, Regular, Deficiente

Nivel Socio-económico Alto, Medio, Bajo

El orden de las categorías no implica para su ubicación.

  • Variable cualitativa ordinal: Cuando los datos se reagrupan en rangos y están definidos por cualidades o atributos. Ejemplo. En una evaluación de lectura (variable) sus rangos son: Eficiente, bueno, aceptable, deficiente (orden decreciente)

EXISTEN DIVERSAS CLASIFICACIONES DE VARIABLES.

POR SU GRADO DE ABSTRACCIÓN O CONCRECIÓN.

  • Variables Teóricas: Son aquellas que son abstractas que no se entienden porque no son observables o medibles sino se definen. Ejemplos: estatus socioeconómico, rendimiento académico, imperialismo, dependencia, dominación, infraestructura, etc.

  • Variables Intermedias: Son aquellas que permiten comprender a las variables teóricas. Ejemplo El rendimiento académico no se entiende sino está referida a los calificativos, a la asistencia, a la dedicación al estudio, puntualidad del estudiante.

  • Variables empíricas: Indicadores, son aquellas que permiten entender mejor a las variables intermedias y por tanto a las variables teóricas. No necesitan definirse por cuanto son fácilmente entendibles, medibles u observables. Ejemplos: la variable calificativa puede ser muy buena, buena, regular, mala y pésima. Las variables empíricas pueden expresarse cuantitativamente.

POR SU POSICIÓN EN LA INVESTIGACIÓN

  • Variable Dependiente: Es aquella que dentro de una hipótesis representa la consecuencia, el efecto,  el fenómeno que se estudia. Se simboliza con la letra Y. Ejemplo: entre las variables rendimiento académico y aplicación de métodos, la variable dependiente es rendimiento académico. En una función matemática como la típica: Y= (f) X (Se lee Y está en función de X; ó Y depende de X)

  • Variable Independiente: Es aquella que influye en la variable dependiente y no depende de otra variable, dentro de una hipótesis. Se simboliza con la letra X. Ejemplo: entre las variables hiperactividad y falta de autoestima, la variable autoestima es independiente, ya que explica o influye en la hiperactividad del niño.

  • Variable Extrañas: Externas son aquellas que provienen del exterior al campo de investigación y por ello se denominan también intervinientes. Son de varias clases.

POR SU NATURALEZA

  • Variables Cualitativas: son aquellas que nominan o señalan cualidades. Ejemplo: La variable talla puede expresarse: muy alto, alto, mediano, bajo, muy bajo.

  • Variables Ordinales: son las que expresan una clasificación jerarquizada, en orden de importancia. Ejemplo: la variable nivel de instrucción comprende: iletrado, primaria, secundaria, superior.

  • Variables Cuantitativas: pueden ser discretas y continuas Variable

  • Variables Discretas: son las que expresan números enteros, por tanto pueden ser contados. Ejemplo población escolar, producción de petróleo,  nacimientos,  muerto, etc.

  • c. Variables Continuas: son las que expresan en números decimales, por tanto pueden ser medidos con mayor exactitud. Ejemplo: el peso, edad ó talla de una persona.

PRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA VARIABLE

Un modo simple de presentar una distribución de valores es mostrar cada valor como un punto en una escala. Si hay un gran número de valores, puede ser mejor clasificarlos primero y entonces presentar la frecuencia de cada clase como un histograma.

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VALOR

Los valores son una cualidad de un objeto. Los valores son agregados a las características físicas, tangibles del objeto; es decir, son atribuidos al objeto por un individuo o un grupo social, modificando -a partir de esa atribución- su comportamiento y actitudes hacia el objeto en cuestión.

INTERPRETACIÓN DE LAS RESTRICCIONES

Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.

Son las restricciones que forman parte del problema, se tienen dos restricciones (C1 y C2) la restricción de la madera y la de horas hombre.

Valor al lado izquierdo: esto nos indica el consumo de recurso, de 30.000 m2 de madera se consumieron 24.000 m2.

Dirección: es la dirección de la restricción (<=,>= o =)

Valor lado derecho: es el recurso disponible actualmente 30 m2

Holguras: nos indican un faltante o bien un sobrante

Precio sombra: nos indica la solución Dual, esto es que el 2.6667 indica que cada hra-hombre se debe ofrecer como mínimo en $/hr 2.6667.

Rango mínimo del bj: esta es la mínima cantidad de recurso que se debe de mantener  sin que la base actual cambie. (0 hrs-hombre)

Rango mínimo del bj: esta es la máxima cantidad de recurso que se debe de mantener  sin que la base actual cambie (60.0000 hrs-hombre).

MÉTODO GRÁFICO

El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo.

El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.

Cuando los ejes son relacionados con las variables del problema, el método es llamado método gráfico en actividad. Cuando se relacionan las restricciones tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.

Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:

  • graficar las soluciones factibles, o el espacio de  soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.

  • Las restricciones de no negatividad  Xi>= 0 confían todos los valores posibles.

  • El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

  • trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

  • Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.

  • Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

  • Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

  • Interpretación de los resultados: Veamos la salida de un modelo que involucra la planeación de la producción, en donde se desean construir mesas y sillas el recurso disponible es 30 m2 de madera por semana, 48 horas por semana; la demanda de las sillas es de 5 unidades y la de mesas de 10 unidades, la utilidad que se obtiene por las mesas es de $10 y por las sillas de $8, además para construir la mesa se ocupa lo siguiente: 4.5 m2 de madera  por unidad, 6 horas por unidad. Para la silla se ocupan: 1.5 m2 de madera por unidad y 3 horas por cada unidad fabricada.

Con esta información se desarrolla el modelo siguiente:

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CONCLUSION

Los resultados concretos que se obtuvieron en el desarrollo de la investigación y que fueron presentados ampliamente en el desarrollo del cuerpo del trabajo, prácticamente es un resumen sintético de los puntos más importantes y significativos para los autores. Estas van acorde al número de objetivos planteados en la investigación, esto no quiere decir que no se presentará otra información importante obtenida durante el estudio.

Las variables se pueden clasificar según su naturaleza, según su posición en la investigación y por su grado de abstracción. Cada una especifica el objeto que se desea estudiar.

Las variables se pueden representar con las letras x, h, y. de las variables originales se pueden obtener variables nuevas

El método simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior.

 

 

Autor:

Almeida Saada

Facilitador (A): Roldan Roger

Santa Elena de Uairén, mayo del 2011.

Universidad Nacional Experimental de Guayana

Vice-Rectorado Académico

Coordinación de Post-Grado

Aldea Universitaria Bolivariana de Venezuela

Asignatura: Investigación de Operaciones.


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