Ecuaciones de primer grado

Muchos problemas de la vida diaria pueden plantearse a
través de una relación de igualdad, llamada
ecuación. Las ecuaciones tienen aplicación
en todas las ramas de la Matemática y de las ciencias en
general, por lo que su estudio es de suma importancia.

Definición

Ecuación es una igualdad entre dos expresiones
algebraicas, que solo se verifica para ciertos valores
determinados.

En el caso de

la igualdad se cumple si y sólo si x vale 2, por
lo tanto es una ecuación.

En la caso de

la igualdad se cumple para cualquier valor de x, por lo
tanto no es una ecuación. En este caso de trata de una
identidad. La identidad también es una igualdad
entre dos expresiones algebraicas al igual que una
ecuación, pero que se verifica para cualquier
valor.

Las igualdades de los productos y cocientes notables,
estudiadas en el capítulo anterior, son
identidades.

Términos
de una Ecuación

Son cada una de las cantidades que están
conectadas por los signos + ó –

El primer miembro corresponde a toda la
expresión que está antes del signo =.

El segundo miembro corresponde a toda la
expresión que está después del signo
=

Los términos 5 y 7 que no están
acompañados de letras se llaman términos
independientes.

La letra o letras presentes en la ecuación se
llaman incógnitas o valores desconocidos

Grado de una
Ecuación

El grado de una ecuación está dado por el
mayor exponente de la incógnita.

La ecuación

es una ecuación de segundo grado o
cuadrática, ya que el mayor exponente de x es
2

Solución de una Ecuación.- Es
averiguar el valor o los valores de la incógnita. Este
valor se llama raíz.

Para encontrar la solución o raíz de una
ecuación se despeja la incógnita mediante la
transposición de términos con
operación contraria (Si está sumando pasa al otro
miembro de la ecuación a restar o viceversa, si
está multiplicando pasa al otro miembro a dividir o
viceversa.)

El principio de la transposición de
términos se fundamenta en las siguientes propiedades de
las igualdades:

– Si a los dos miembros de una ecuación se
suma o resta una misma cantidad, la igualdad
subsiste.

– Si a los dos miembros de una ecuación se
multiplican o dividen una misma cantidad, la
igualdad subsiste.

-Si a los dos miembros de una ecuación se
elevan a una misma potencia o se extrae una misma
raíz, la igualdad subsiste.

Ejemplos
ilustrativos

1)

Como la cantidad que se obtuvo en el primer miembro es
igual a la cantidad que se obtuvo en el segundo miembro, queda
comprobado que la solución de la ecuación es
correcta.

2)

Solución:

Comprobación:

3)

4)

Nota: La comprobación queda como tarea
para el estudiante

5)

6)

7) El duplo de un número es
igual al número aumentado en 10. Hallar el
número

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al
lenguaje matemático, a través del simbolismo
algebraico, para lo cual se requiere alcanzar destreza en el
manejo del siguiente simbolismo:

El duplo de un número = 2x, Número
aumentado en 10 = x+10

d) Se realiza la comprobación. Cuando se
trata de problemas que se resuelven con ecuaciones, la
comprobación se hace en base a los resultados
obtenidos.

Se evidencia que 10 es el número que cumple las
condiciones del presente problema.

8) La suma de dos números es
10 y su diferencia es 4. Hallar los números

Solución:

9) Hallar tres números impares
consecutivos es cuya suma es 45.

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al
lenguaje matemático

10) En un curso de 30 estudiantes hay 10 hombres
más que mujeres. ¿Cuántos hombres y
cuántas mujeres hay?

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al
lenguaje matemático

11) El largo de un terreno rectangular excede al
ancho en 30 m. Si el largo se aumenta en 10 m y el ancho se
disminuye en 6m el área no varía. Hallar el
área del terreno.

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al
lenguaje matemático

TAREA

a) Resolver las siguientes ecuaciones y realizar la
respectiva comprobación

b) Resolver los siguientes problemas

1) El duplo de un número es igual al
número aumentado en 20. Hallar el número

S = 20

2) El triple de un número es igual al
número aumentado en 8. Hallar el número

S = 4

3) El duplo de un número disminuido en uno
es igual al número aumentado en 3. Hallar el
número

S = 4

4) El triple de un número disminuido en
dos es igual al duplo del número aumentado en 3. Hallar el
número

S = 5

5) La suma de dos números es
20 y su diferencia es 10. Hallar los números

S = 15 y 5

6) La suma de dos números es
15 y su diferencia es 11. Hallar los números

S = 13 y 2

7) Hallar dos números
consecutivos cuya suma sea 27

S = 13 y 14

8) Hallar dos números pares
consecutivos cuya suma sea 50

S = 24 y 26

9) Hallar tres números
impares consecutivos cuya suma sea 15

S = 3, 5 y 7

10) Hallar tres números pares
consecutivos cuya suma sea 24

S = 6, 8 y 10

11) En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones.
Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del
primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada
piso?

S: 1er piso = 32 habitaciones, 2do
piso = 16 habitaciones

12) En una competencia atlética de
resistencia en la que participan 80 deportistas el número
que llegan a la meta es 4 veces el número de los que no
llegan. ¿Cuántos llegan y cuántos nos llegan
a la meta?

S = Llegan 64 ; no llegan
16

13) Anita tiene tres veces el número de
manzanas que su hermano y entre los dos tienen 48 manzanas.
¿Cuántas manzanas tine cada uno?

S : Anita= 36 manzanas ; hermano =
12 manzanas

14) La suma de las edades de un padre y su hijo
es 78 años y la edad del padre es el doble de la edad del
hijo. ¿Cuál es la edad de cada uno?

S : Hijo = 26 años ; padre =
52 años

15) En un curso de 47 estudiantes hay 9 hombres
más que mujeres. ¿Cuántos hombres y
cuántas mujeres hay?

S = 19 mujeres y 28
hombres

16) En un estacionamiento hay 100
vehículos entre automóviles y camiones, si hay 38
automóviles más que camiones.
¿Cuántos vehículos de cada clase
hay?

S = 31 camiones y 69
automóviles

17) Un terreno rectangular tiene de
largo el doble que su ancho, si el perímetro es 24m.
¿Cuál es el largo del terreno?

S = 8 m

18) Un patio rectangular tiene de
largo el triple que su ancho, si el perímetro es 56 m.
¿Cuál es el largo del patio?

S = 21 m

19) Un rectángulo tiene de largo 6m
más que su ancho, si el perímetro es 40m.
¿Cuál es el largo del rectángulo?

S = 13 m

20) Un terreno rectangular tiene de ancho 5 m
menos que su largo, si el perímetro es 70m.
¿Cuál es área del terreno?

S = 300 m2

21) El perímetro de un triángulo es
26 m. El lado "b" mide 2m más que el lado "c" y el lado
"a" es el tercio del lado "b". ¿Cuánto mide cada
lado del triángulo?

S: a = 4 m, b = 12 m, c = 10
m

22) El perímetro de un triángulo es
37 m. El lado "b" mide 5m más que el lado "c" y el lado
"a" es el 80% del lado "b". ¿Cuánto mide cada lado
del triángulo"

S: a = 12 m, b = 15 m, c = 10
m

23) Una habitación rectangular tiene doble
largo que ancho. Si el largo se disminuye en 6m y el ancho se
aumenta en 4 m, el área de la habitación no
varía. Hallar el perímetro de la
habitación.

S: 72 m

24) El largo de un rectángulo excede al
ancho en 4 m. Si el largo se aumenta en 5 m y el ancho se
disminuye en 2m el área no varía. Hallar el
área del rectángulo.

S = 60 m2

25) Un terreno rectangular tiene 20 m más
de largo que de ancho. Si el largo tuviese 100 m más y el
ancho 40m menos el área no varía. Hallar el
perímetro del terreno.

S: 360 m

26) Un rectángulo y un cuadrado tienen la
misma área. El largo del rectángulo excede en 3 m
al lado del cuadrado y su ancho es 2m menor que el lado del
cuadrado. Hallar el área del rectángulo.

S: 36 m2

Referencias
bibliográficas

SUÁREZ I., Mario O., (2004), Hacia un
Interaprendizaje Holístico de Álgebra y
Geometría, Editorial Gráficas Planeta, Ibarra,
Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez Ibujes