- Introducción
- Cronología
de los estudios sobre la fatiga - La falla por
fatiga - Los ensayos de
fatiga - Diseño bajo
condiciones de fatiga - Ecuaciones de
diseño a fatiga - Conclusiones
- Referencias
Introducción
El fenómeno de la fatiga de los materiales es uno
de los más estudiados en la ingeniería
mecánica. Se ha escrito mucho acerca de este tópico
como puede observarse, por ejemplo, en [1], [2], [3], [4], [5].
La fatiga, es la causa del ochenta por ciento de las fallas en
maquinarias; los elementos mecánicos trabajan, en su
mayoría, bajo condiciones de fatiga, como ejemplo pueden
citarse: los peldaños de una escalera metálica, las
estructuras de los parques donde ejercitan los deportistas, los
aparatos de un parque infantil, los ejes de diversas
máquinas industriales: moledoras, trituradoras,
elevadoras, los aviones, los automóviles, los sistemas de
izado de carga en los puertos, entre otros.
A lo largo del presente trabajo, se expone de modo
general, el fenómeno de la fatiga: condiciones para que
ocurra, mecanismo de falla, tipos de fatiga según la pieza
esté a flexión, bajo la acción de cargas
axiales, bajo corte en su forma directa o torsional. Se muestra
resumidamente la cronología de los estudios relacionados a
este fenómeno, el ensayo de flexión rotativa para
la determinar la vida a la fatiga de los materiales
metálicos, recursos técnicos para su
realización, modelos matemáticos que estudian su
comportamiento y los parámetros a considerar en el
diseño bajo fatiga.
Cronología
de los estudios sobre la fatiga
El fenómeno de la fatiga en los metales,
comenzó a estudiarse en el siglo XIX. Es en el año
1839 cuando Poncelet acuña el término "fatiga" para
describir las fallas por este tipo de situación. Se
pensaba que el material, cuando cristalizaba, se "cansaba" de
modo semejante a una persona y luego fallaba. Fue August
Wöhler (1819-1914)[6] quien en 1871 publicó los
resultados de sus investigaciones aplicadas al sistema de trenes
y llegó a la conclusión de que la falla en los ejes
de los carros del ferrocarril se debía a la alternabilidad
de las tensiones en los mismos. Con el devenir del tiempo se
fueron llevando a cabo estudios diversos acerca de la fatiga,
como puede observarse en
la tabla 1
Tabla 1. Cronología sobre estudios de la fatiga.
Fuente [7]
Año | Investigador | Contribución | ||||
1829 | Albert | Primero en documentar la falla por | ||||
1837 | Rankine | Analiza la teoría de | ||||
1839 | Poncelet | Primero en utilizar el | ||||
1849 | Stephenson | Analiza la responsabilidad del | ||||
1850 | Braihtwaite | Primero en utilizar el | ||||
1864 | Fairbairn | Informa sobre los primeros | ||||
1871 | Wöhler | Publica los resultados de sus 20 | ||||
1886 | Bauschinger | Inventa un extensómetro con | ||||
1903 | Swing / Humphrey | Descubre las líneas de | ||||
1910 | Baitstow | Verifica la teoría de | ||||
1910 | Basquin | Enuncia la ley exponencial de las | ||||
1915 | Smith / Wedgewood | Separan la deformación | ||||
1921 | Griffith | Aplica criterios para la fractura y | ||||
1927 | Moore / Kommers | Cuantifican datos de fatiga de alto | ||||
1930 | Goodman / Soderberg | Determinan, por separado, la | ||||
1937 | Neuber | Publica la ecuación de | ||||
1953 | Peterson | Publica "Stress concentration | ||||
1955 | Coffin / Manson | Publican de manera independiente la | ||||
1961 | Paris | Publica la ley de Paris de la | ||||
1962 1963 1966 1967 1969 | Smith / Laird Mc Clinton Weetman Laird / Rice Newman y Pelloux | Mediante la aplicación de | ||||
Años 70 y 80 | Elber / Bucci / Ghaki | Argumentan el contacto prematuro | ||||
1980 1988 1990 | Hertzberg / Manson Newman Suresh / Nakamura / Yeshurum / Yang / Duffy | Investigan y recogen los efectos | ||||
1991 | Rosakis / Zehnder | Distribución de temperatura | ||||
1994 | Nakamura / Krushner | Análisis computacional de la | ||||
1995 | Needlman / Tvergaard | Análisis de una | ||||
1997 | Lameros / Shukla / | Investigación de la | ||||
1999 | Willis / Movchan | Perturbación dinámica | ||||
2000 | Rosakis / Ravichandran | Tópicos para | ||||
2002 | Alves / Jones | Falla por impacto de vigas usando | ||||
2003 | Dwivedi / Espinosa | Modelación dinámica | ||||
2004 | Lin Z / Lincang | Modelo simplificado para la | ||||
2005 | Rusinek / Zaera | Análisis de inercia y | ||||
2006 | Roy Xu / Wang | Análisis dinámico de |
La falla por
fatiga
La falla por fatiga requiere, básicamente, que se
conjuguen dos factores a saber: la aplicación de cargas
repetidas o cíclicas, esto quiere decir que su valor
cambia en el tiempo. La excepción a esta condición
está en el hecho de que, si el componente está
trabajando en un ambiente corrosivo, la falla por fatiga se
produce bajo condiciones estáticas.
En la realidad, todas las cargas que actúan sobre
un determinado sistema mecánico varían con el
tiempo, lo que sucede es que su frecuencia de repetición
es tan baja que se pueden considerar como estáticas. Un
ejemplo de esto son las puertas de metal; en épocas de
calor ésta se expande y entra en contacto con su marco,
también metálico, y el proceso de apertura y / o
cierre de esta se hace aplicando una fuerza mayor que la
requerida cuando no se ha dilatado. Aunque esta
dilatación-contracción causada por cambios de
temperatura se produce cada vez que hay incremento de la misma,
su frecuencia no es de magnitud suficiente como para considerarse
una acción cíclica y por lo tanto, no conduce a la
falla por fatiga. No sucede lo mismo en centrales de vapor y
otros sistemas en los cuales los cambios de temperatura son
bruscos y de alta repetibilidad. En estos casos, se emplean unos
dispositivos llamados juntas de dilatación (en algunos
pisos de viviendas existen también tales juntas) que
absorben las deformaciones térmicas que a su vez generan
tensiones que serán tensiones cíclicas.
El comportamiento de estas tensiones, que son las que se
toman en cuenta en el estudio de la fatiga en vez de considerar
las cargas, puede modelarse mediante una senoide de la siguiente
forma [3]
Tensión media definida como
Dependiendo como se presenten las ecuaciones (2) a (6),
el comportamiento de las tensiones puede darse de las siguientes
formas:
Esta clasificación está representada en la
figura 1
El segundo factor que debe estar presente para que se
produzca la falla por fatiga es la concentración de
tensiones. Los rebajes en un eje hechos para incorporar elementos
como engranes, poleas, ruedas dentadas para cadenas, los
alojamientos para las chavetas, cuñas, etcétera,
son elementos en los que las tensiones o esfuerzos se concentran
debido a la reducción del área resistente,
así como también reducciones en la geometría
local de otros tipos de piezas. Estos concentradores de
tensión favorecen la formación de grietas en la
estructura del material de la pieza sujeta a las condiciones de
fatiga.
El proceso de falla por fatiga, según reportan
Bangoura [7] y Lee [4] así como también otros
autores no referidos en la presente monografía, se da en
las siguientes etapas:
Etapa de nucleación o formación de la
grieta
Debido a la alternabilidad de las tensiones, cuyo valor
es muy pequeño en comparación con el del
límite elástico del material, en los rebajes o
reducciones de la geometría de la pieza se produce
fluencia plástica local. Se van creando bandas de
deslizamiento en los bordes cristalizados de la sección a
medida que se van alternando los esfuerzos; esto va generando la
aparición de más y más grietas
microscópicas. Los desperfectos propios de la
solidificación, los llamados macrodefectos, actúan
como elevadores de esfuerzo para el inicio de la grieta. Una
grieta se forma más rápido en un material
frágil que en uno dúctil debido a que en el primero
no se produce fluencia plástica.
Etapa de propagación de la
grieta
Una vez formada la grieta, ésta comienza a
propagarse según se explica mediante las teorías de
la mecánica de la fractura. El crecimiento de la misma
queda expresado por la ecuación de Paris
En [8], se muestran ejemplos de aplicación de
esta ecuación para predecir la cantidad de ciclos a los
cuales una grieta alcanzará un determinado
tamaño.
Barsom [7] probó varios aceros logrando valores
empíricos del coeficiente A y del exponente
n dados en (7), los mismos se muestran en la tabla
2
Tabla 2. Valores de A y de n. Fuente [7]
Etapa de la fractura
El crecimiento de la grieta, va disminuyendo de modo
proporcional el área resistente de la pieza hasta que
llega un momento en que esa sección es muy pequeña
y no resiste la acción de las cargas que generan, como
consecuencia de la reducción progresiva del área,
tensiones cada vez mayores hasta que la pieza rompe. Un ejemplo
de rotura por fatiga, puede verse en la figura 2
Nótese las marcas de las bandas de deslizamiento
(a) generadas por la acción de las cargas cíclicas;
estas marcas suelen recibir el nombre de "marcas de playa". Es
necesario acotar que, durante el proceso de crecimiento de la
grieta, la componente de las tensiones alternas que causa el
crecimiento de la misma es la componente a tracción; la
componente a compresión lo que hace es cerrar a la grieta
y por lo tanto, no estimula su crecimiento.
Formas en las que se produce la falla por fatiga en
los componentes mecánicos
Dependiendo de la forma como actúen las tensiones
alternantes sobre un determinado componente mecánico, la
falla por fatiga puede darse en las siguientes formas
[9]:
Esfuerzos pulsantes tensión- tensión o
bien esfuerzos tensión- compresiónFlexión unidireccional
Flexión invertida
Torsión
Para mejor comprensión, estos estados de
tensiones alternantes se muestran en la
figura 3
En esta figura están representados los planos de
fractura por fatiga para condiciones de alto y bajo ciclaje.
Nótese como la geometría de la pieza influye
notablemente en la rotura por fatiga; esto se debe al efecto
concentrador de tensiones. También se observa cómo
las marcas de playa aparecen en menor número para un alto
nivel de amplitud de tensiones mientras que se da el caso
contrario cuando dicho nivel es bajo, esto conduce a una
conclusión importante de la cual se tratará
más adelante en el presente trabajo.
Modelos analíticos para el estudio de la
fatiga
Se han propuesto varios modelos para el estudio del
comportamiento a fatiga de las piezas mecánicas que
trabajan bajo esta condición como puede verse en [4]. En
este trabajo, se presentan los siguientes:
Modelo vida – esfuerzo [10], [2], [1]
Modelo vida- deformación [11]
Modelo de Castillo [12]
Modelo de Ripoll [13]
También en [14], se expone un método para
construir las curvas de fatiga sin realizar ensayo alguno; este
es un método para obtener la curva aproximada.
Modelo vida-esfuerzo
Es el que más se utiliza. Lo empleó por
primera vez August Wöhler al publicar los resultados de sus
ensayos. La curva obtenida se llama curva S-N o curva de
Wöhler. Analíticamente se expresa por la
ecuación de Basquin
El exponente negativo vuelve a indicar la
relación inversa entre la amplitud de tensiones y el
número de ciclos de variación de tensión,
concordando con lo expresado en párrafos
anteriores.
La representación de las curvas S-N puede verse
en la figura 4
En esta figura se observa cómo se representa el
campo de tensiones contra ciclos de alternabilidad hasta la
falla; puede verse que la escala de tensiones se expresa de dos
maneras: como una relación entre el esfuerzo de falla y la
resistencia a la tracción (Sut) o bien, con los valores
nominales de esfuerzo, sin dividir entre el valor de la
resistencia a la tracción. La curva de la parte superior
muestra el comportamiento a fatiga para metales ferrosos; se
indica claramente que a partir del millón de ciclos (106),
la resistencia a la fatiga S"e se mantiene constante y su valor
es aproximadamente la mitad del valor de la resistencia a la
tracción Sut. Dicha zona, a partir del millón de
ciclos, se le conoce como zona de vida infinita, que es una de
las zonas del diagrama S-N de metales ferrosos. En la figura 5 se
muestra este tipo de diagrama con sus zonas
específicas
Para la zona de bajo ciclaje se cumple que S"e = 0,9
Sut
Para la zona de vida infinita se cumple que S"e= 0,5
Sut
En ambos casos, el estado de tensiones es de
flexión.
Los metales no ferrosos no presentan zona de vida
infinita, estos sí poseen un período de vida
finito.
Un ejemplo de curva de vida finita se puede observar en
la figura 6 [15]
La curva de trazo rojo, muestra el comportamiento
típico a fatiga de un material no ferroso, como por
ejemplo el aluminio o el latón.
Modelo vida-deformación
En este caso, se tiene el comportamiento
asintótico del espécimen a fatiga.
Analíticamente, se presenta a través de la
ecuación de Mason- Coffin- Morrow. Esta ecuación se
presenta como expresión de ajuste a las asíntotas
creadas mediante la ecuación de Basquin, dada en (8) y la
ecuación de amplitud de deformaciones dada por
El mismo es válido para cualquier estado de
cargas
La gráfica de este modelo se observa en la figura
7
Modelo de Castillo
El modelo de Castillo, trata con la simulación
del ensayo de fatiga mediante métodos informáticos.
Su propósito es predecir, de modo probabilístico,
el comportamiento a fatiga de diversos materiales. Esto incluye a
aquellos materiales que no poseen límite de fatiga
definido.
La ecuación es la siguiente
Los tres últimos parámetros A, D y E
están relacionados con los parámetros de la
distribución de Weibull normalizada. Entonces, puede verse
que el modelo de Castillo lo que da es una probabilidad del
comportamiento a fatiga de los materiales en estudio.
La gráfica de este modelo se muestra en la figura
8
Modelo de Ripoll
En este, la autora propone lo siguiente: "…un
modelo probabilístico que sirva como base para el
análisis a fatiga de materiales metálicos sometidos
a cualquier espectro de carga en cualquier rango de la misma
(tensión, compresión o mixto)…..dar una
respuesta teórica y práctica a un campo de
investigación ampliamente explorado antes, pero que no ha
llegado a obtener una expresión matemática que
involucre conceptos estadísticos, físicos y del
comportamiento del material para el tipo de carga descrito
anteriormente, de manera que sirva como base para el comienzo de
una nueva forma de abordar la fatiga de los materiales basada en
un nuevo modelo". Aquí, se considera el daño
acumulado que no se tomaba en cuenta en los modelos
precedentes.
La expresión matemática del mismo
es
La representación gráfica se muestra en
las figuras 9 (a) y (b)
Los ensayos de
fatiga
Existen varios tipos de ensayos para determinar la vida
a fatiga de un espécimen. El más empleado es el de
viga rotatoria; este puede ser realizado bien sea con la
máquina de Moore [16] o la de tipo viga en voladizo como
se muestra en [15]. También existen variantes de dichas
máquinas como se observa en [17], [18]. Estas
últimas, emplean control por software. Las figuras 10 (a)
a 10 (d) presentan los modelos de máquinas de ensayo de
fatiga por flexión rotativa. Otros modelos como los
elaborados por la casa Instron, adjuntan la función de
fatiga por tensión axial a las máquinas universales
de tracción.
En la figura 10 c puede observarse que la flexión
es producida por un cilindro hidráulico, a diferencia del
modelo de Moore en el cual, la flexión se da mediante unas
pesas.
En los ensayos de fatiga por flexión rotativa, se
aplica una carga de flexión al espécimen.
Seguidamente, se enciende el motor; este gira a un determinado
número de rpm. Transcurrido un cierto tiempo, la probeta
rompe, y es entonces cuando se toma el valor del número de
ciclos y el esfuerzo al cual la probeta rompió para
construir el diagrama S-N descrito anteriormente.
En el caso de un acero, la probeta tarda hasta medio
día en alcanzar el millón de ciclos [10], lo cual
indica que estos ensayos toman tiempo.
Dado que se requiere conocer los valores de
límite de fatiga a bajo y alto ciclaje, se deben ensayar
varias probetas. En [5] se puede hallar información sobre
estos ensayos en lo relativo a las dimensiones y
características de la probeta. También se puede
emplear el procedimiento, contando con la máquina de
flexión tipo viga en voladizo, descrito en
[19].
Diseño
bajo condiciones de fatiga
Al principio del presente trabajo, se mencionaron los
factores para que se de la falla por fatiga de los componentes
mecánicos que trabajan bajo las condiciones que la
producen; no obstante, existen también otros factores que
afectan la vida a la fatiga de un elemento mecánico. Estos
son [9]:
El material del componente o pieza mecánica:
composición, variabilidad, base de fallasFabricación: método empleado,
tratamiento térmico, sensibilidad a la
corrosión, calidad superficial, concentración
de tensionesInfluencia del ambiente de operación:
corrosión, temperatura, estado de tensiones, tiempos
de relajación de tensiones internasDiseño: tamaño, forma, duración
en servicio, estado de esfuerzos, concentración de
tensiones entre otros.
Analíticamente, la vida a la fatiga de la pieza
queda afectada por un conjunto de coeficientes que consideran los
factores antes mencionados; estos números reciben el
nombre de factores de corrección de Marín. La
expresión que involucra a tales coeficientes es la dada
por
En donde a y b son constantes, dadas
en la tabla 3
Tabla 3. Constantes a y b. Fuente [9]
Considerando los efectos para secciones transversales
circulares / no circulares en rotación y no
rotación se tiene lo siguiente
Aquí, ST es resistencia a la tracción a la
temperatura de operación y SRT es resistencia a la
tracción a la temperatura ambiente.
Estos valores se dan en la figura 11
Nota: Reliability: confiabilidad
Factor de efectos varios Cf
Corrosión: las piezas mecánicas que
trabajan en ambiente corrosivo, tienen baja vida a la fatiga.
no hay límite de fatiga en estos casos.Acabados superficiales electrolíticos:
Cromado, Niquelado y el recubrimiento con Cadmio reducen la
resistencia a la fatiga en más de un 50%. El
tratamiento con Zinc no afecta a dicha
resistencia.Rociado metálico: reduce la resistencia en un
14%La frecuencia de los ciclos: acorta la
vidaCorrosión: reduce la resistencia entre un 24
y un 90 por cientoTensiones residuales
Concentración de esfuerzos y sensibilidad a la
entalladura: existe un factor, que permite determinar el esfuerzo
resultante máximo en una pieza debido a las
irregularidades en su geometría; este es el factor de
concentración de esfuerzos Kt. Su valor cambia cuando se
presentan situaciones en las que el material de la pieza no es
sensible a estas irregularidades; en este caso, se emplea un
subvalor de Kt denominado factor de concentración de
tensiones bajo fatiga y se denota por Kf. su expresión
analítica está dada por las ecuaciones
En las referencias [9], [10], [20] se pueden encontrar
las gráficas para encontrar el valor de q.
Ecuaciones de
diseño a fatiga
Norton establece que los esfuerzos repetitivos o
fluctuantes, tienen componentes medios distintos a cero y
éstos se deben considerar al momento de determinar el
factor de seguridad.
Los datos experimentales de falla por fatiga se
representan mediante tres (3) modelos a saber:
La parábola de Gerber se ajusta bastante bien a
los datos experimentales. Esto le da una utilidad importante al
analizar piezas que fallaron. La línea Soderberg es en
extremo conservadora y es la menos utilizada (a veces se empleaba
el criterio de que se emplea para materiales ferrosos); la
línea Goodman modificada es muy útil al momento de
diseñar considerando los esfuerzos medios y
alternantes.
La figura 13 muestra la línea Goodman
modificada
La línea Goodman modificada presenta la
tensión alternante como función de la
tensión media. En el eje Sm, en los puntos A, E y F se
definen el límite elástico Sy y la resistencia
máxima a la tensión Sut del material particular. En
el eje de los esfuerzos alternantes, la resistencia a la fatiga
corregida Sf a cierto número de ciclos y el límite
elástico Sy del material en particular, quedan definidos
en los puntos C y G.
Se definen varias líneas de falla en este
diagrama: la falla a tensión, dada por la línea CF
que, mediante datos empíricos, puede extenderse a la
región de tensiones a compresión (línea
punteada); sin embargo, en esta zona, se prefiere la línea
BC que es mas conservadora.
En la región a tensión, la línea GE
define la fluencia estática, y la región de falla
queda entonces definida por CD y DE para considerar la
posibilidad de falla a la fatiga o a la fluencia. Si se diera la
situación en la que el componente de tensión media
fuera de mayor magnitud y el de tensión alterna muy
pequeño, la combinación de estos podría
definir un punto en la región DEF que sería segura
dentro de la línea de Goodman, pero cedería al
primer ciclo. La totalidad de la región de falla es la
comprendida en ABCDEA; cualquier combinación de esfuerzo
alternante y medio que caiga en dicha región es una
combinación segura. Si las combinaciones coinciden con las
líneas, están en condiciones de falla y si aparecen
fuera de la región, entonces habrá fallado la
pieza.
Las ecuaciones que aparecen en las líneas y
dentro del polígono ABCDEA son las que permiten
dimensionar la pieza a fatiga, bien sea hallando la
sección resistente mínima o el factor de seguridad;
todo depende del criterio elegido para el
diseño.
Conclusiones
La fatiga de los metales se produce por la acción
de las cargas variables y la concentración de
tensiones.
Las cargas en su mayoría son variables,
sólo que en algunos casos, su frecuencia de alternabilidad
o de variación es tan pequeña que se puede decir
que el componente trabaja en condiciones
estáticas.
La ecuación de Basquin establece que los
esfuerzos varían en proporción inversa al
número de ciclos de variación de estos.
Las marcas de playa indican la cantidad de ciclos a los
que sometió la pieza antes de fallar. Su número es
inverso a la intensidad de los esfuerzos.
La tecnología empleada para realizar ensayos de
fatiga, está bastante avanzada.
La línea de Goodman modificada es el modelo que
mejor se adapta para el diseño a fatiga de componentes
mecánicos.
Referencias
Muchos de los libros aquí referidos, fueron
descargados del sitio www.freebookspot.com.
1 Iberisa. Introducción al Análisis
de Fatiga o Durabilidad. p. Ficha Técnica N° FT01
(Grupo Iberisa, 2008).
2 Luis de Vedia, H.S. Fatiga. Ensayos
Industriales, p. 4 (Universidad de Buenos Aires,
2002).
3 Piovan, D.I.M.T. Teorías de falla
dinámica. Análisis de falla por fatiga. In
UTN-FRBB, ed2004).
4 Yung-Li-lee, J.P., Richard Hataway, Mark
Barkey. Fatigue.Testing and analysis.Theory and Practice. In
Butterworth-Heinemann, E., ed (Elsevier Butterworth-Heinemann,
2005).
5 Commitee, A.I.H. ASM International.
ASM Handbook. 1996).
6 col, C.H.y. August Wöhler
Wikipedia The Free Encyclopedia2010).
7 Bangoura, A. Metodología para la
optimización de análisis de esfuerzos por fatiga de
alto ciclaje en componentes de máquinas.
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Eléctrica p. 202 (Instituto Politécnico
Nacional, México, D.F., 2007).
8 Smith, W. Ciencia e Ingenieria de
Materiales. (Mc Graw-Hill Interamericana de España,
Madrid, 2004).
9 Budynas, R.G. Fatigue failure. In
McGraw-Hill, ed. Shigley's Mechanical Engineering
Design2008).
10 Norton L., R. Diseño de
Máquinas. México, 1999).
11 Badiola, V. Cargas variables. In
Navarra, U.d., ed. Diseño de Máquinas I
(Departamento de Ingeniería Mecánica,
Energética y Materiales, 2004).
12 Ramos A., C.E., López Aenlle M.,
Fernández Canteli A. Aplicación
informática para el análisis de ensayos de fatiga
ANALES DE MECÁNICA DE LA FRACTURA, 2003,
20, 6.
13 Ripoll, M.L.R. A STATISTICAL FATIGUE
MODEL COVERING THE TENSION AND COMPRESSION WÖHLER FIELDS AND
ALLOWING DAMAGE ACCUMULATION. Escuela Tecnica Superior de
Ingenieros de Caminos Canales y Puertos, p. 256 (UNIVERSIDAD
DE CANTABRIA, Ciudad Real, España, 2008).
14 Weihsmann, P.R. Fatigue curves without
testing. Mechanical Engineering, p. 31980).
15 GUNT. Fatigue Testing Machine.
Hamburgo, 2007).
16 Instron. Portable Rotate Beam Fatigue
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17 D. Brandolisio, G.P., G. De Corte, J.
Symynck, M. Juwet, F. De Bal. Rotating bending machine for
high cycle fatigue testing. p. 72009).
18 International, E. Máquina de
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19 Purdue School of Engineering &
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2007).
20 Spotts, M.F. Elementos de
Máquinas. (Pearson Educación,
2004).
Autor:
Ing. Gustavo
Jiménez
Septiembre de 2011