Los Números en
Egipto
La cultura egipcia ha sido una de las culturas que ha
dado razón de cómo fue la civilización en la
antigüedad, ha brindado huellas y detalles de hasta
dónde su civilización logró llegar en
diversas actividades.
Una de sus características más
sobresalientes es lo referente a la numeración egipcia
pues constituye uno de las más antiguas maneras de
escritura y numeración del mundo. Sorprende aún
más cuando tales símbolos fueron tomados de la
propia naturaleza, es decir, de la flora y fauna del
Nilo.
Escritura de los Números
Es importante mencionar que los egipcios contaban con un
tipo de escritura organizada y en ella se describía los
números egipcios en base al número 10, usando
jeroglíficos con imágenes comunes en su
iconografía que representaban a las unidades, decenas,
centenas, millares y así sucesivamente hasta llegar a los
millones.
De esta manera realizaban la escritura en ocasiones
necesarias, de derecha a izquierda o viceversa, o también
de arriba abajo lo cual dependía directamente de la
orientación de la figura.
En el Antiguo Egipto se podían
representar las cifras con números o palabras
(fonéticamente): como "30" o "treinta". La
representación fonética del
número treinta, sería:
mientras que la expresión numérica
de 30, era:
El sistema egipcio era bastante avanzado para su
época de tal manera que poseían un sistema
determinado para los números cardinales, y otro para los
números ordinales.
Numeración Cardinal
Los siguientes signos jeroglíficos eran
utilizados en las distintas potencias de diez en los
números egipcios. Para representar en jeroglíficos
valores numéricos precisos, simplemente se repetía
el símbolo el número de veces que fuera necesario,
escribiendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo,
aunque como curiosidad, los signos podían escribirse en
ambas direcciones.
Así, para representar el número 4622, se
repiten tantas veces los signos de cada potencia de diez como
fuera necesario:
Números ordinales
Para escribir un número ordinal, los
egipcios utilizaron tres formas diferentes:
Operaciones matemáticas
Sumas y restas
Para representar los signos más (+) y menos (-)
se usaban los jeroglíficos:
Si los pies estaban orientados en dirección de la
escritura significaba suma, al
contrario resta.
Fracciones
Los números racionales también
podían ser expresados, pero sólo como sumas
de fracciones unitarias, con la unidad por numerador,
excepto para 2/3 y 3/4. El indicativo de fracción es
representado por el jeroglífico de la boca (R), y
significa "parte":
Las
fracciones se escribían con este operador, p.e.
el numerador 1, y el denominador positivo
debajo. Así, 1/3 se escribía:
Había signos especiales para 1/2, para 2/3 (de
uso frecuente) y 3/4 (de uso menos frecuente):
Si el "denominador" era muy grande y el signo de la
"boca" no cabía encima, esta se situaba justo encima del
comienzo del "denominador".
Aparte de 2/3 y 3/4 los egipcios no conocían
fracciones con numerador distinto a uno. Por ejemplo, la
fracción 3/5 se representaba como 1/2 + 1/10 y similar a
este ejemplo se descomponían todas las fracciones como
suma de fracciones con la unidad como numerador.
Los números egipcios permitían pues que
las matemáticas del Antiguo Egipto sean más
fáciles de manejar pues comprendían no solo
números enteros y naturales sino también
fracciones.
La numeración egipcia, y por ende, los
números egipcios fueron un apartado importante dentro de
la historia del antiguo reinado faraónico.
La Escritura Hierática
Los egipcios, tenían jeroglíficos para los
números ordinales, o el cero, y signos para representar
operaciones matemáticas y fracciones. La escritura
jeroglífica de números, sin embargo no se empleaba
demasiado en la vida cotidiana, cuando se escribía sobre
un papiro utilizando el sistema numeral egipcio utilizando la
escritura hierática, con un sistema diferente.
En la escritura hierática, cada número del
1 al 9 cuenta con un signo, al igual que cada decenas del 10 al
90, centenas del 100 al 900 y millares del 1.000 al 9.000. El
sistema de escritura hierática, era más
práctico que el de jeroglíficos, ya que
requería emplear menos signos para representar un
número. La orientación para su escritura era
indistinta: se podían escribir de izquierda a derecha, al
revés o de arriba abajo, modificando la orientación
de las figuras según el caso. Muchas veces esta
disposición numérica variaba para lograr una mayor
armonía estética, y solían ir
acompañados de los jeroglíficos correspondientes al
tipo de objeto cuyo número indicaban.
Aquí están algunas versiones de la
numeración hierática:
Con este sistema los números se forman con pocos
símbolos. El número 9999 tiene solamente 4
símbolos hieráticos en vez de 36
jeroglíficos. Otra gran diferencia entre el sistema
hierático y el nuestro es que en el hierático la
posición de los símbolos no es importante, se puede
escribir en cualquier orden.
Ejemplo de cómo los egipcios escribían
2765 en hierático:
Segunda manera de escribir el
número 2765, en orden inverso:
Como los jeroglíficos, los símbolos
hieráticos también cambiaron a lo largo del tiempo,
pero sufrieron más cambios en seis periodos diferentes.
Inicialmente los símbolos utilizados estaban muy ligados
al correspondiente jeroglífico pero su forma fue cambiando
a lo largo del tiempo. La versión que presentamos del
sistema hierático es del 1800 a.C. Los dos sistemas fueron
utilizados a lo largo de 2000 años, el hierático se
utilizaba en los papiros, como por ejemplo en el papiro de Rhind
y el papiro de Moscú, mientras que los jeroglíficos
se continuaron utilizando en piedras esculpidas.
El sistema de números egipcios, evoluciona hasta
la incorporación de Egipto al imperio romano, momento en
que el sistema de jeroglíficos queda relegado a las
inscripciones monumentales.
Los Números en
el Renacimiento
El Renacimiento comprende una nueva manera de ver y
hacer el arte. Es tal vez el momento más alto en el
desarrollo del arte universal. Y es también una nueva
perspectiva de ver y hacer ciencia; aunque parezca difícil
de concebir, ambas expresiones humanas no son excluyentes entre
sí durante el Renacimiento, sino que aparecen muchas veces
íntimamente unidas.
En el continente europeo, las matemáticas no
tienen un origen tan antiguo como en muchos países del
Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos
notorios en la época del Medioevo desarrollado y
especialmente en el Renacimiento. El punto de arranque de las
matemáticas en Europa fue la creación de los
centros de enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos
monjes se dedicaron a estudiar las obras de ciencias naturales y
matemáticas de los antiguos. Uno de los primeros centros
de enseñanza fue organizado en Reims (Francia) por
Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fue posiblemente el primero
en Europa que enseñó el uso de los numerales
hindú-arábigos. Sin embargo hubo que esperar a que
los musulmanes rompieran la barrera lingüística,
hacia el siglo XII, para que surgiera una oleada de traducciones
que pusieran en marcha la maquinaria matemática. El
trabajo de los traductores fue sensacional. Así Gerardo de
Cremona (1114-1187) tradujo del árabe más de 80
obras. Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo
de Pisa (1180-1250) más conocido como Fibonacci. Alrededor
del año 1202 escribió su célebre obra "Liber
Abaci" (el libro del ábaco), en el que se encuentran
expuestos: el cálculo de números según el
sistema de numeración posicional; operaciones con
fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales
como la regla de tres simple y compuesta, la división
proporcional, problemas sobre la determinación de calidad
de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones;
raíces cuadradas y cúbicas… Fibonacci
quedó inmortalizado por la famosa "sucesión de
Fibonacci" y el famoso problema de los conejos. Otra obra
importante fue el "Practica Geometriae" dedicada a resolver
problemas geométricos, especialmente medida de
áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos.
Otro contemporáneo, aunque no tan excepcionalmente dotado
fue Jordano Nemorarius (1237-?) a quien debemos la primera
formulación correcta del problema del plano inclinado. El
profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el
concepto de potencia, introduciendo los exponentes fraccionarios,
las reglas de realización de las operaciones con ellos y
una simbología especial, anticipándose de hecho a
la idea de logaritmo. En una de sus obras llegó a utilizar
coordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la
representación gráfica de ciertos fenómenos
físicos.
Ya en el siglo XV, época de las grandes
navegaciones, la trigonometría fue separada de la
astronomía, alzándose como ciencia independiente de
la mano de Regiomontano (1436-1474), que trató de una
manera sistemática todos los problemas sobre la
determinación de triángulos planos y
esféricos. Regiomontano enriqueció además el
concepto de número, introduciendo los radicales y las
operaciones con ellos, ampliando así las posibilidades de
resolución de ecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557),
Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474) desarrollaron
fórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer
grado.
Pero fue Jerónimo Cardano (1501-1576) quien
introdujo un método regular de resolución de
ecuaciones de tercer y cuarto grado en su obra "Ars Magna". En
esta obra se expresan diversos teoremas que relacionan
raíces y coeficientes, así como la divisibilidad de
un polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raíz del
polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio
desde el álgebra literal al álgebra
simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio
un sistema único de símbolos algebraicos
consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por
primera vez posible, la expresión de ecuaciones y sus
propiedades mediante fórmulas generales. Viète
estableció en todo momento, una fuerte conexión
entre los trabajos trigonométricos y algebraicos, de forma
que de igual manera que se le considera el creador del
álgebra lineal, se le podría considerar como uno de
los padres del enfoque analítico de la
trigonometría, esto es, la goniometría. Para hacer
más fáciles los cálculos, los
matemáticos desarrollaron ciertos procedimientos en los
que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones
trigonométricas, lo que llevó a la
confección de numerosas tablas trigonométricas. En
la elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo,
Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571-1630). Semejantes
métodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el
nombre de "prostaferéticos". Ellos fueron utilizados por
los matemáticos de Oriente Medio, Viète, Tycho
Brahe, Wittich, Bürgi y muchos otros.
Estos métodos siguieron utilizándose
incluso después de la invención de los logaritmos a
comienzos del siglo XVII, aunque sus fundamentos, basados en la
comparación entre progresiones aritméticas y
geométricas, comenzaron a fraguarse mucho antes. En 1614
fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis
mirifici logarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas
de logaritmos de funciones trigonométricas.
Años más tarde, en estrecha
colaboración con Henry Briggs (1561-1630) desarrollaron el
sistema logarítmico decimal. La teoría de las
funciones logarítmicas fue seguidamente desarrollada,
alcanzando su culminación en los trabajos de Leonard
Euler. Junto a estos avances científico-matemáticos
comenzaron a desarrollarse las primeras máquinas de
cálculo.
Cero (0). La clave de la numeración
posicional:
El cero es un invento relativamente moderno. No lo
conocían ni babilonios, ni chinos, ni egipcios, ni las
civilizaciones mediterráneas como griegos o romanos, que
utilizaban sistemas de numeración agregativos. En ellos,
las cifras del número se agregan entre sí. Ejemplo
de numeración romana: MCCXXXVIII = 1.238.
El concepto de cero roza la metafísica: es
una "nada" que, bajo ciertas condiciones, hace que otros
números cambien de valor. Por ejemplo: un "12"
representa doce objetos, pero si le añadimos un simple
cero ("120") se convierte en ciento veinte objetos o unidades. Es
la base del sistema de numeración posicional -como el
nuestro-, en el que el valor de cada guarismo no depende de
él mismo, sino del lugar que ocupa dentro del
número total.
Estuvo en uso en Europa hasta bien entrada la Edad
Media, aunque no facilitaba en nada los cálculos
aritméticos. Sumar y restar dos números resultaba
francamente complicado; multiplicar y dividir, poco menos que
imposible.
En el Renacimiento: Este período
histórico es el del nacimiento del capitalismo
temprano (capitalismo en su fase comercial). Se da
aquí una importante concentración y
acumulación de riqueza. Aumenta la circulación de
moneda. Surge en este período el concepto de empresa como
un ente abstracto y despersonalizado con un capital distinto al
patrimonio de los socios. Aumenta de manera casi exponencial el
intercambio comercial. El capital se internacionalizó.
Surgen los cimientos de una gran banca. Los banqueros
renacentistas financiaron todo tipo de empresas, incluso las
políticas. Para todo lo ya descrito, la aparición
-no hacía mucho tiempo como vimos- del concepto del 0
(cero) en Europa, fue casi providencial. El nuevo sistema
numérico que surge con él, permitió realizar
las engorrosas operaciones bancarias que conllevaba, por ejemplo,
el cálculo de paridad entre las diversas monedas que
circulaban por el continente, en tiempo mucho más breve.
Además, va a ser en la época renacentista cuando
haga su aparición la moderna contabilidad, es decir, el
cálculo en una operación de doble entrada de los
ingresos y egresos de un negocio o emprendimiento comercial. Por
ello, el cero fue muy bien venido durante el
Renacimiento.
p, Pi ¿Cuánto mide una
circunferencia?
Probablemente ? es el número más famoso de
la historia. Representa la relación existente entre la
longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un
número irracional, es decir, no se puede representar
exactamente con una fracción. Su valor real es
3,14159265358979323846… y así, hasta el infinito,
sin que su secuencia de cifras se repita jamás. Aunque
para la inmensa mayoría de la gente, ? será siempre
tres-catorce-dieciséis. Fue en 1706 cuando el
matemático inglés William Jones propuso el nombre
de ?. Parece ser que eligió esta letra griega por ser la
equivalente a nuestra p de perímetro (el de la
circunferencia). Pero fue en 1748 cuando el suizo Leonhard Euler
le dio el espaldarazo definitivo empleando el término en
su obra Introducción al cálculo
infinitesimal.
Aparece en todo lo que presenta forma de circunferencia.
Por ejemplo, las gotas de lluvia, las estrellas, los planetas,
las burbujas de agua, las ondas en un estanque… Su
cálculo a través de la Historia, en las diferentes
civilizaciones, ha sido algo esquivo y complejo.
En el arte del Renacimiento: Se vuelve a
revalorar la imagen del círculo, pues se re
estudiará con detenimiento la arquitectura clásica
greco romana. Para los antiguos griegos el círculo era
sinónimo de perfección: única figura
geométrica que comienza y termina en un mismo punto. De la
misma manera entonces, el círculo va a ser un gran ideal
en la arquitectura renacentista y, por ende, va a haber un
especial aprecio por un cálculo adecuado de ?. Por citar
un par de ejemplos:
Filippo Brunelleschi (1377-1446), arquitecto
florentino que fue uno de los maestros fundamentales en la
transición hacia el nuevo estilo. Es considerado el
primer arquitecto renacentista. En 1432 acabó la
construcción de la cúpula del Duomo,
de la Catedral de Florencia. Un prodigio de
ingeniería, por las dimensiones de la cúpula:
40 metros de diámetro por 56 de altura, que era
irresoluble para la época. Y, aunque la cúpula
es octogonal, la intención de una base circular es lo
que le conferirá su singular belleza, tanto
así, que es considerada la primera obra
arquitectónica del Renacimiento. Y servirá
-junto al edificio antiguo: el Panteón de
Roma-, como modelo para la maravillosa cúpula de la
Basílica de San Pedro del Vaticano, en Roma,
de apariencia circular casi perfecta, diseñada por
Miguel Ángel.Bramante (1444-1514), gran arquitecto del
Renacimiento, va a construir una obra de inspiración
clásica de gran originalidad: el Templete de San
Pedro, en Roma. Hecha por encargo de los Reyes
Católicos de España, en 1492, para ser erigido
en el lugar donde -según la tradición- el
apóstol Pedro fue martirizado. Iglesia pequeña
pero de gran elegancia, sobrias y hermosas terminaciones;
hecha en granito, de planta circular casi perfecta, rodeada
de columnata de orden toscano y cubierta por una
cúpula de media naranja también circular.
Presenta todos los elementos del nuevo estilo
renacentista.
Su valor numérico es
0,6180339887498948482… y continúa hasta el
infinito. No representa más que una proporción.
Supongamos que dividimos una barra de un metro en dos trozos
desiguales, de forma que la proporción entre la barra
entera y el segmento mayor sea justamente la misma que entre
éste y el menor. Justamente esa proporción es
el número áureo.Lo curioso o enigmático, es que aparece
constantemente en la naturaleza, como un molde o
patrón constructivo: desde la imbricación de
las semillas en ciertas flores, hasta la organización
de escamas en las piñas y otros frutos.En el arte, la Grecia clásica empezó a
considerar la proporción áurea como la
máxima calidad estética de un diseño
arquitectónico, escultórico o pictórico.
Justamente, el número de oro se representa por la
letra griega Fi (?) en honor a Fidias, el genial arquitecto
del Partenón de Atenas, quien utilizó ? en este
famoso edificio para lograr en él las armoniosas
proporciones que terminarían haciéndolo
célebre. El número áureo es así
antiquísimo. Su cálculo aparece en las obras de
Euclides, matemático griego a caballo entre los siglos
IV y III a. de C. Pero probablemente, ya en el siglo VI a. de
C., el filósofo griego Pitágoras, fundador de
una secta místico-religiosa dedicada al estudio de las
matemáticas, lo investigó. Así, los
antiguos griegos se interesaron por ?, en parte, por su
estrecha vinculación con la arquitectura y la
escultura que, través de su utilización en la
geometría, les permitía alcanzar la
proporción entre las partes y el todo.El número áureo fue objeto de estudio
durante muchos siglos. En la Edad Media el matemático
italiano Fibonacci (nacido 1170 en Pisa, Italia) se
encontró con él por sorpresa al resolver un
acertijo matemático sobre la multiplicación de
parejas de conejos. Lo que parecía un mero
divertimiento dio origen a la denominada serie de
Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…) En ella
cada número se genera por la suma de los dos
anteriores (1+1 = 2; 1+2 = 3…). Una de sus propiedades
radica en que guarda escondido ?. Lo sabemos porque si
dividimos dos números consecutivos de la serie de
cualquier valor mayor a 3, el resultado es una
aproximación cada vez mayor al número
áureo (13/21 = 0,61; 21/34 = 0,6176…). Lo
aún más sorprendente -como ya mencionamos- es
que el cálculo de Fibonacci se repite en muchos
fenómenos de la naturaleza, como en la
distribución óptima de las hojas en un tallo,
el número y disposición de escamas de una
piña…Artistas matemáticos: El Renacimiento
rescató de la antigua Grecia las teorías
geométricas aplicadas a la arquitectura, escultura o
pictórica. Los artistas las enfocaron, sobre todo, en
el hombre, considerado como la medida de todas las cosas. Su
relación con las matemáticas era muy
estrecha.Un ejemplo lo hallamos en la famosa figura de un
desnudo masculino, que Leonardo da Vinci dibujó para
la portada de la obra del matemático Luca Paccioli,
autor de La divina proporción, dibujo
conocido como El hombre del Vitrubio. En esta obra,
Paccioli propone un hombre perfecto o ideal, en el que las
relaciones entre las partes de su cuerpo sean proporciones
áureas. Leonardo plasmó estas ideas en un
dibujo en el que las relaciones -entre otras- de la altura
del hombre y la distancia desde el ombligo al suelo es
?.He aquí el cuadro de Leonardo da Vinci
llamado "La Anunciación". Como se puede
comprobar sobre el esquema impreso en la guía de
estudio, Leonardo no realizó sus cuadros al azar. La
disposición de los personajes obedece a un sistema de
construcción geométrica que asegura a la obra
proporciones armoniosas. Esta disposición era la
conocida por Luca Paccioli como "divina proporción";
así, los lados del "rectángulo de oro", en que
se centran cada uno de los personajes representados en la
pintura (en medio de los círculos), deben tener como
medida 1 a 1,618; o sea, la proporción ?. Podemos
comprobar en numerosas partes del cuadro este tipo de
rectángulo. Aún hasta nuestros días,
muchos arquitectos utilizan el "número áureo",
para otorgar proporciones armoniosas a sus obras.Autor:
Arias, Orleanys
Betancourt, Yaselin
Gámez, Antonio
Salavarria, Brenda
Enviado por:
Carla Santaella
Facilitador
COLMENARES, Juan
Ciudad Bolívar; Noviembre de
2010Universidad Nacional Experimental
"Simón Rodríguez"Núcleo:
BolívarCurso: Historia de los
números
