1.
INTRODUCCIÓN
No cabe duda que la "Teoría de
Conjuntos" de G. Cantor es la candidata
a ser el pilar fundamental de la matemática. Sin embargo,
el fundamento de una disciplina como la matemática no debe
poseer errores en su seno. Por ello, el objetivo principal de
este trabajo es tratar de subsanar algunos errores que, desde su
creación, han permanecido ocultos en tan hermosa
teoría.
El primer error que se va a considerar es el de llamar
conjunto a la reunión de varios
conjuntos. En efecto, si decimos que:
Conjunto: es una colección de objetos
bien determinados (obd).
Entonces, una agrupación de conjuntos no puede
ser un conjunto. Aceptar que un grupo de conjuntos es un conjunto
conduce a barbaridades cuando efectuamos operaciones con ellos;
como veremos más adelante. Por otra parte, podemos
efectuar operaciones entre conjuntos (unión,
intersección, etc.) pero no podemos efectuar operaciones
entre los objetos que forman a dichos conjuntos; como por
ejemplo, si A = {a, b, c}, no se debe efectuar la
operación: a b = c. Es decir, no debemos inferir que la
unión de dos sillas es una silla; o que la unión de
dos estudiantes es un estudiante; o que la intersección de
dos personas es una persona; etc.
El segundo error que se considerará es la
veracidad de la comúnmente llamada hipótesis
del continuo, la cual nos dice que N, Z y Q tienen la
misma cardinalidad, lo cual probaremos que no es cierto. La
mencionada hipótesis es una camisa de fuerza que no
permite a los matemáticos descubrir la verdadera
naturaleza del número real. Otro aspecto que no queda
claro, por culpa de la bendita hipótesis del continuo, es
la correcta definición de cardinalidad de un
conjunto.
Algunos matemáticos, los topólogos
más que todos, dicen que aun cuando Z y N tienen la misma
cardinalidad, no tienen la misma cantidad de elementos. Otros, en
cambio, dicen que existen tantos naturales como enteros, es
decir, que N y Z tienen igual cantidad de elementos. Ahora bien,
si N y Z tienen igual cardinalidad pero diferente cantidad de
elementos, ¿qué se entiende entonces por cardinal
de un conjunto infinito? Sin entrar en detalles y discusiones
estériles, la demostración formal de que dicha
hipótesis es falsa pone fin a este caos, pues al
demostrarse que #N < #Z < #R, se estará demostrando
que Z tiene más elementos que N; que es lo correcto.
Veamos entonces un intento de proyecto el cual persigue corregir
los errores, arriba esbozados, de esta hermosa teoría de
conjuntos. Se supone conocidos por el lector todos los conceptos
y definiciones concernientes a dicha teoría.
2. LOS CONJUNTOS
DE CONJUNTOS Y SUS OPERACIONES
Un conjunto de conjuntos es una colección, no de
objetos bien determinados, sino de conjuntos. Veamos algunas
barbaridades al tomarlas como conjuntos. Sean
A = {{1}, {2}, {3}, {4}}; B = {{1, 2}, {3},
{1, 2, 3}, {2, 4}}, P(N), P(Z), etc.
1) Si los conjuntos anteriores son aceptados como
conjuntos normales, entonces ellos aceptan las operaciones
corrientes entre dos conjuntos cualesquiera. En particular,
existirá una biyección entre A y B por ser
equipotentes, ya que #A = 4 = #B. Esto es así, porque la
definición de equipotencia nos dice que dos conjuntos son
equipotentes si, y sólo si, existe entre ellos al menos
una biyección. Pero entre los conjuntos A y B dados no es
posible hallar una biyección que no nos conduzca a una
barbaridad. Veamos una posible biyección entre A y B y
analicemos sólo una de las cuatro posibles
imágenes.
Sea f: A B / f({1}) = {1,
2}. (1)
Como la imagen de un conjunto es el conjunto formado por
las imágenes de sus elementos, entonces
f({1}) = {f(1)}.
(2)
Ahora, por (1) y (2) se tiene el absurdo
(un conjunto unitario igual a un binario)
{f(1)} = {1, 2}.
¿?
2) Veamos otra barbaridad ocasionada por la existencia
de conjuntos de conjuntos y las operaciones con ellos.
Sea f: P(N) N / A P(N),
f(A) = mín. (A). (1) Por (1) se tiene
que
f({1, 3}) = 1; f({1}) =
1; f({3}) = 3. (2) Además
f({1, 3}) = f({1} {3}) =
f({1}) f({3}). (3) Sustituyendo (2) en (3) se
tiene la barbaridad
1 = 1 3. (4)
Según (4), 1 y 3 son conjuntos y, según
las propiedades de la unión, 3 es subconjunto de 1 (3 1);
lo cual es un perfecto disparate.
3) Veamos ahora una barbaridad ocasionada por la
definición de equipotencia de conjuntos. Si A = {{0}, {0,
3}} y B = {{0}, {1, 2}} son conjuntos, entonces entre ellos
existe una biyección por ser equipotentes (#A = #B = 2).
Ahora bien, entre estos dos conjuntos no puede existir una
biyección. Expliquemos por qué.
Si existe f: A B, no puede ser f({0})
= {1, 2} porque ocurriría que un conjunto unitario es
igual a uno binario; como vimos anteriormente. Por lo tanto,
tiene que ser
f({0}) = {0} y f({0, 3})
= {1, 2}. (1) De donde se obtiene
f({0}) = {f(0)} = {0} y
f({0, 3}) = {f(0), f(3)} = {1, 2}. (2)
Por (2) se tiene
f(0) = 0 y f(0) = 1
ó f(0) = 2. (3)
Y por (3) se tiene la barbaridad
0 = 1 ó 0 = 2 ¿?
4) Veamos una cuarta y última
barbaridad. Sean los conjuntos
A = {1, 2, 3}; B = {{1}, {1,
2}}
Los elementos del conjunto A son objetos bien
determinados (en este caso números). Por otra parte, los
elementos de B son conjuntos. Pero como A y B son dos conjuntos
cualesquiera, se puede efectuar la unión de ellos y se
obtiene la siguiente mutación
A B = C = {1, 2, 3, {1}, {1,
2}}
La pregunta ahora es ¿qué cosas son los
elementos del conjunto C? ¿Son objetos bien determinados?
¿Son conjuntos? O ¿acaso C es un mutante? Sabemos
que C es la unión de dos conjuntos, pero no sabemos
qué cosas son sus elementos. No son objetos bien
determinados (obd) porque {1} y {1, 2} no son
obd sino conjuntos. Tampoco son conjuntos porque 1, 2 y
3 no son conjuntos. En consecuencia, C no es un
conjunto.
Reflexionemos un poco sobre todo lo anterior.
¿Cómo se pueden subsanar las barbaridades halladas
anteriormente? Como opinión muy particular del autor, lo
más sabio y sensato sería no tomar como conjuntos a
los conjuntos de conjuntos, sino llamarlos simplemente
agrupaciones de conjuntos (AC). Así, la definición
de tales agrupaciones sería: Una agrupación de
conjuntos (AC) es un grupo cuyos elementos son
conjuntos y su nomenclatura podría ser
A(AC) = {{…}};
B(AC) = {{…}, {…}},
etc.
3.
CARACTERÍSTICAS DE UNA AGRUPACIÓN DE CONJUNTOS
(AC)
Veamos cuáles serían las
características de cada agrupación de conjuntos y
cómo serían las operaciones entre ellos así
como la aplicación de funciones.
1) Cada A(AC) es una
partición de algún conjunto, y se podría
llamar A al conjunto mínimo-genérico
(término del autor). Ejemplo: Si
A(AC) = {{0}, {1}, {1, 2}}, entonces
su mínimo-genérico (m-g) es:
m-g(A(AC)) = A = {0, 1, 2}.
Se tendrá así, A(AC)
P(A) y la agrupación de partes P(A) es la
partición completa de A.
Observe que se ha llamado mínimo-genérico
al conjunto A, porque cualquier otro conjunto que contenga a A es
un generador de A(AC).
2) Dos AC, A(AC)
y B(AC), son
equipárticas (término inventado por el autor) si
tienen la misma cantidad de conjuntos n-arios.
Ejemplo: A(AC) = {{1}, {2}, {3}, {2,
4}} y B(AC) = {{0}, {2}, {4}, {0,
2}}. Acá, ambas agrupaciones tienen tres conjuntos
unitarios y uno binario, luego son
equipárticas.
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