El calculo moderno de una y varias variables con la razon de continuidad

PRÓLOGO

Estimado(a) lector(a), el libro que en este momento se
está poniendo en sus manos no está pensado para
enseñarle CÁLCULO. Está pensado para que
usted, como matemático, tenga una idea de cómo
sería la enseñanza del nuevo cálculo, o
CÁLCULO MODERNO, con la razón de continuidad. Dicha
razón tendrá, por el momento, el símbolo
prestado del copyright, ?. Se ha tomado este símbolo,
momentáneamente, por ser muy parecido a un cero y,
además, tiene una c en su interior; por lo que lo
podemos llamar: el cero (0) de la continuidad (c)
o, por darle un nombre momentáneo,
grillete o eslabón. Ahora
bien, ¿cuáles son las razones para enseñar
el cálculo con un número que alguien pudiera pensar
que no existe en la realidad? Estas razones se explican a
continuación.

En primer lugar, este número sí existe y
su demostración de existencia es muy sencilla; claro
está, una vez que ha sido rota la camisa de fuerza que
significaba la hipótesis del continuo del gran
George Cantor. Ya que al demostrarse que el
conjunto N tiene más elementos que N*, entonces podemos
darle un símbolo al último natural; al igual que se
ha hecho con el primer transfinito. No obstante,
si alguien pretendiera imponer la idea de que es imposible darle
un símbolo al último natural porque éste no
existe, entonces tampoco se le debe dar un símbolo al
primer transfinito, porque dicho primer transfinito es mayor que
todo natural. Y si no existe el último natural (en lo
infinito), tampoco existirá un número que es mayor
que éste.

En segundo lugar, si este número (razón de
continuidad) no existiera, sería imaginario, tal como lo
es el número i = raíz de -1 . Y ya
conocemos la impresionante teoría de números
complejos que dio como resultado aceptar al número
i, el cual no existe sino en la abstracción del
matemático; otro tanto sucedería con el
número ?.

Ahora bien, alguien se podría preguntar
¿qué pasó, entonces, con las demostraciones
de Godel y Cohen sobre la hipótesis del
continuo? La respuesta no la sé, pero, podría ser
muy simple: ese término denominado infinito. En
efecto, cada vez que se trabaja con una
operación cuyos pasos son numerables, ésta se
termina en el infinito; cuando n toma su
máximo valor, el cual, en este texto, se denota por w
(? = À0 –
1). Sin embargo, al no conocer esto, decimos que dicha
operación continúa indefinidamente (sin fin) y que,
por tanto, contiene a todos los pasos posibles. Este es el error
que todos cometemos por culpa del bendito término
infinito. Y de eso no escapó K.
Godel en su demostración sobre la
hipótesis del continuo. Sea el motivo que fuere, Godel
hizo algo y ya está hecho. Describamos ahora, a groso
modo, los beneficios que la razón de continuidad le
proporciona al Cálculo diferencial e
integral.

En lo que concierne a la teoría de
límites, la razón de continuidad nos permite
calcular, con relativa facilidad, el límite de algunas
indeterminaciones sin recurrir a la derivación. Asimismo,
permite demostrar las fórmulas de L"hopital con mucha
sencillez.

En la teoría de la derivación, nos permite
prescindir del engorroso límite cuando Dx tiende a cero,
puesto que Dx no se convierte en cero sino en ?, o en
nÓ (nÎN*). Por otra parte, las
fórmulas de las derivadas se deducen con mucha sencillez
sin apelar a la teoría de límite. No queriendo
decir con esto que ya la teoría de límites no deba
estudiarse, sino que no se necesita en gran medida en la
derivación.

En cuanto a la integración, nos permite
prescindir de las fastidiosas particiones de conjuntos, las
cuales involucran a la demostración de igualdad de las
sumas, inferior y superior, de Rieman.

Todo lo anterior, visto en conjunto, es ya una buena
justificación para inferir que dicha razón de
continuidad es sumamente útil en la enseñanza del
Cálculo. Sin embargo, uno de los mayores beneficios de
dicho número es que ya no será necesario que el
autor de un texto, del referido tema, necesite mandar al lector a
consultar la demostración de tal o cual teorema en un
libro de cálculo avanzado. Pues, los teoremas
de más difícil demostración, como lo son el
de la función implícita, de la
función inversa, de las parciales
mixtas, entre otros, se hacen sumamente fáciles de
demostrar con el descrito número.

El libro se ha estructurado en ocho capítulos y
un apéndice y uno de sus objetivos principales es corregir
algunas fallas presentadas en el anterior libro "Hacia una
matemáticas sin contradicciones" el cual se
publicó en la página web
monografías.com. El primer capítulo se ha
titulado "los ceros residuales y la razón de continuidad".
En éste se trata a la hipótesis del continuo y se
demuestra su falsedad. Acá, conviene hacer la siguiente
consideración: si dos conjuntos cualesquiera tienen igual
cardinalidad, entonces tienen igual número de elementos.
Es decir, si N y Z tienen, según Cantor, igual
cardinalidad, entonces existen tantos naturales como enteros; o
lo que es lo mismo, N y Z tienen la misma cantidad de elementos
(¿?). No es posible decir que dos conjuntos infinitos
tienen igual cardinalidad pero que uno tiene más elementos
que el otro. Sin embargo, en los teoremas de este capítulo
I se usará la cardinalidad sin importar el número
de elementos. Hechas estas dos consideraciones, cabría
preguntarse ¿qué pasa con la función
con la cual se asegura que #Z = #N? La respuesta es que,
aunque usted no lo crea, esta función no es sobreyectiva;
la demostración está en el apartado 1.1.14 del
capítulo I. Ahora bien, amigo lector, si en este momento
usted se está diciendo que todo esto debe ser una locura,
porque los matemáticos del pasado no se pueden haber
equivocado, sepa y entienda que ellos no eran dioses sino
personas como usted y yo. Pero, ¿por qué
sucedió esto y no lo vimos? Sencillamente, porque a nadie
se le ocurre objetar lo que un matemático brillante y
connotado nos presenta. Por lo tanto, llenémonos de
humildad y modestia y tratemos de seguir adelante aceptando la
realidad aunque sea triste.

Del capítulo dos al capítulo
seis se muestra la parte correspondiente al cálculo
diferencial e integral. Y, por no ser un libro para el
aprendizaje, como se dijo al comienzo, no se presentan problemas
ni ejercicios para su resolución; sólo se calculan
algunos límites de indeterminaciones para comprobar la
utilidad de nuestro número?.

El capítulo siete se destina a poner en evidencia
cómo el número Ó ocasiona lo que acá
se ha llamado "el caos
geométrico-algebraico". Se corrige un error
presentado en un trabajo anterior sobre la
trisección geométrica de un ángulo
cualquiera, el cual se presentó en la
página web monografías.com, y se
demuestra por qué estos tres problemas clásicos no
son resolubles con la regla y el compás.

El capítulo ocho se ha llamado fin de las
geometrías no euclidianas porque en éste
se demuestra la unicidad de la recta que pasa por dos puntos
distintos con base en los postulados de incidencia, y se
demuestra el postulado de las
paralelas.

En el apéndice se dan a conocer los demás
detalles correspondientes a la influencia de la razón de
continuidad en la matemática; como lo son, entre otras
cosas, la racionalidad de todos los números
reales, la división por cero y el
porqué de la existencia de
indeterminaciones.

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