La comprensión del enunciado: paso inicial para resolver problemas de Matemáticas

Resumen

En el presente trabajo se presenta una reflexión
acerca de la importancia de la comprensión lectora del
enunciado de un problema de Matemáticas, tomando como
marco de referencia el modelo de Polya para la resolución
de problemas en un contexto real, como estrategia para el
aprendizaje significativo de los estudiantes de Educación
Media Superior aplicando la tecnología digital en el
aula.

El método complementario de la propuesta
didáctica se basa en la mayéutica o método
socrático, generando preguntas guías que
acompañan al estudiante en la interpretación de
significados del enunciado del problema, a efecto de identificar
la incógnita, datos, la condición, enunciar el
problema de una forma diferente, el reconocimiento de las
palabras o conceptos clave, es decir, el estudiante debe leer
comprendiendo para aprender.

Reviste importancia, porque es una estrategia
didáctica fundamentada en las competencias
genéricas y disciplinares, que orientan al estudiante en
el desempeño académico.

Es innovador el método de aprendizaje, por
convertir el espacio áulico en laboratorio virtual de
Matemáticas utilizando el programa Laboratorio de
funciones, herramienta para el análisis y
visualización de funciones Matemáticas en el plano
y en 3D. Además el Modelador geométrico es una
poderosa herramienta digital que actúa como un simulador
virtual ya que permite modelar objetos geométricos de una
manera fácil y divertida.

Con ello se alcanza el logro matemático al
aplicar la competencia lectora o alfabetización
matemática.

Palabras clave: Comprensión,
enunciado, resolución, matemáticas,
Polya.

Introducción

"El problema es una tarea que es
difícil para

el individuo que está
tratando de hacerla."

Schoenfeld

En el documento que se presenta, los autores proponen
que los estudiantes de la Educación Media Superior
desarrollen la competencia de la comprensión lectora de
los enunciados de los problemas propuestos de Matemáticas
en un contexto real.

Tiene como objetivo que los estudiantes sean capaces de
adquirir la habilidad para comprender, emplear información
y reflexionar a partir de enunciados de problemas, aplicando el
método de Polya y resolverlos en un contexto
real.

El Método de Polya o estrategia para resolver
problemas de Matemáticas se centra en la regla de los
cuatro pasos:

• I. Comprender el problema

• II. Concebir un plan

• III. Ejecución del plan

• IV. Examinar la solución
  obtenida

Los resultados obtenidos de diversos estudios realizados
han permitido determinar las dificultades de los estudiantes al
resolver problemas. Entre ellas se puede mencionar las
siguientes:

• Dificultad para darle significados a la lectura del
  enunciado del problema.

• Incapacidad para identificar los datos,
  incógnitas, condiciones del problema, palabras o
  conceptos clave.

• Reescribir el enunciado en otra forma
  entendible.

• Dificultad para encontrar los datos intermedios, no
  explícitos en el enunciado del problema.

• Desconocimiento de las etapas y de los pasos
  generales que se pueden seguir para resolver un
  problema.

En la dimensión Proceso del dominio de la lectura
de la Prueba PISA, los estudiantes demuestran su capacidad para
la recuperación de información específica,
interpretación de textos reflexión y
evaluación de éstos. INEE (2005,
pp.17-18)

Por su parte, Díaz-Barriga (2002, p. 275) afirma
que "la comprensión de textos es una actividad
constructiva compleja de carácter estratégico, que
implica la interacción entre las características
del lector y del texto dentro de un contexto
determinado."

En su obra, Pozo (1994, p. 12) propone que "para
solucionar un problema es necesario interpretar la
información obtenida del enunciado del problema,
codificarla o traducirla a un nuevo código o lenguaje con
que el alumno esté familiarizado y con el que pueda
conectar esa nueva información recibida."

En ese sentido, se propone la alfabetización
matemática a partir de la comprensión del enunciado
del problema propuesto, para desarrollar las competencias
genéricas específicas y disciplinares de
Matemáticas para el logro o desempeño eficiente en
la resolución de problemas de la EMS.

Desarrollo

¿Qué es un
problema?

Por su parte, Fridman (1995, 13) en su obra afirma que
"es alguna exigencia, requerimiento o pregunta para lo cual
se necesita encontrar la respuesta, apoyándose en y
tomando en cuenta las condiciones señaladas en el
problema."

En ese sentido, un problema es una situación con
dificultad para resolverlo que requiere una respuesta al
requerimiento formulado en el enunciado del problema. Luego
entonces, el problema se estructura en dos elementos: las
condiciones y los requerimientos. Por eso, cuando se va a
resolver un problema se debe prestar especial atención a
los requerimientos (preguntas) y condiciones (afirmaciones) a
partir del cual se va a resolver el problema, esto recibe el
nombre de análisis del problema. Por tanto,
resolver un problema significa encontrar la respuesta al
mismo.

En nuestra propuesta didáctica, utilizaremos como
estrategia para la resolución de problemas el modelo de
George Polya. Para resolver un problema se necesita:

• I. Comprender el problema

• II. Concebir un plan

• a. Determinar la relación entre los
  datos y la incógnita.

• b. De no encontrarse una relación
  inmediata puede considerar problemas auxiliares.

• c. Obtener finalmente un plan de
  solución.

• III. Ejecución del plan.

• IV. Examinar la solución
  obtenida.

El proceso de solución de un problema se inicia
necesariamente con una adecuada comprensión de la
situación-problema, como lo afirma Polya (1965, pp. 17-19)
en su obra. Por esta razón el docente debe focalizar su
atención a que el enunciado del problema está
siendo verdaderamente entendido por el alumno haciendo las
siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la
condición? suficiente para determinar la incógnita?
¿Es suficiente? ¿Redundante?
¿Contradictoria?

Situación
problemática

Un diseñador industrial desea construir una copa
para vino tinto que se utiliza en las fiestas de etiqueta social.
La información básica de la copa incluye que tiene
una altura de 22cm. de los cuales 10 cm. corresponden al tallo y
12 cm. al bulbo; el diámetro es más ancho en su
base (8.5cm) que en su borde (6.5cm) y la altura interior va
desde 9cm. hasta 11cm. en lo más profundo. Se midió
su volumen resultando 440ml.

Solución

• I. Comprender el problema

Reformulación del problema

En el problema se pide el diseño de un recipiente
de forma irregular donde se requiere calcular su volumen por
integración gráfica usando el laboratorio de
funciones y construir un prototipo con el modelador
geométrico, con los datos conocidos.

Datos

Altura hT = 22 cm

Altura del tallo ht = 10 cm

Altura del bulbo hb = 12 cm

Diámetro de la base d1 = 8.5 cm

Diámetro del borde d2 = 6.5 cm

Altura interior h1 = 9 cm

h2 = 11 cm

Volumen V = 440 ml

Hallar:

X = Objeto geométrico en 3D

Condición:

El diseño debe ser un objeto geométrico en
3D con los datos conocidos de una copa de vino utilizando el
Laboratorio de Funciones y el Modelador
Geométrico.

Escritura esquemática del
problema

• II. Concebir un plan.

Procedimiento

1. Seleccione un recipiente que encuentre en su entorno
y cuyo volumen deba ser calculado mediante integración
gráfica, utilizando el concepto de que el volumen de un
sólido de revolución es el límite de la
sumatoria de los volúmenes de discos delgados del
sólido.

2. Efectué los cálculos necesarios para
comprobar que el recipiente está fabricado o no con
criterios de optimización del material requerido para su
construcción.

3. Utilizando el laboratorio de funciones, determine
cuál es la o las funciones matemáticas de las
curvas implicadas en la solución del problema, obteniendo
por integración "grafica" la o las áreas motivo de
este problema.

4. Realice doble integración haciendo girar el
área bajo la curva obtenida en cada caso; el giro
deberá completar una revolución
completa.

5. Realice los ajustes necesarios en las funciones
generadoras de las curvas, hasta obtener resultados
óptimos.

6. Con la información obtenida en el punto
anterior, utilice el modelador geométrico para
diseñar de una manera más objetiva, el prototipo
del modelo que es la solución del problema.

• III. Ejecución del
  plan

En este punto comprobaremos si el recipiente esta
optimizado en cuento al material requerido para su
construcción y el volumen alcanzado.

Como el recipiente tiene forma irregular, se
diseña un cilindro que tiene las dimensiones promedio del
recipiente original resultando un que tiene 3.75 cm de radio en
la base y 10 cm de altura.

• rprom = ( (d1 / 2) + ( d2 / 2) ) / 2 = ( ( 8.5 / 2)
  + ( 7.5 / 2) ) = 3.75

• hprom. = (h1 + h2 ) / 2 = ( 9 + 11) / 2 = 20 / 2 =
  10

Se sabe que el material para construir un cilindro es el
que usara la tapa y el que usara la evolvente;
así:

Atot= Abase + Aevolvente = ¶ r2 + 2¶ r
h

Pero el área total debe estar en función
de r y así:

Vol= ¶ r2 h :. h = Vol / ¶ r2 = 440 / ¶
r2

Sustituyendo esto en la anterior:

Atot = ¶ r2 + 2 ¶ r(440) / ¶ r2 = ¶
r2 + 880 /r

Para obtener el mínimo de esta función
procederemos a derivarla e igualarla a cero para obtener el radio
mínimo.

d Atot = d (¶ r2 + 880 /r ) =
2¶ r -880 / r2 = 2 ¶ r3 – 880 = 0

dr dr

r = 5.2 h = 440 / ¶ r2 = 440 / ¶ (5.2)2 =
5.2

Obtencion de resultados con el laboratorio de
funciones

Uso del modelador geometrico

a) Sala 2D

b)Sala 3D

c) Sala de ensamble

d) Sala de vista del objeto

• IV. Examinar la solución
  obtenida.

Comparando estos resultados con las dimensiones
originales se observa claramente que son muy diferentes por lo
que se concluye que una copa de cristal no se construye con
criterios de economía en el uso de los materiales, sino
más bien están diseñadas para su
funcionalidad y comodidad siendo esto privilegiar el criterio
ergonómico.

Conclusión

Los autores concluyen que la comprensión del
enunciado del problema matemático, es el paso inicial de
la resolución poniendo en juego las habilidades cognitivas
y conocimientos para construir el objeto geométrico en 3D
utilizando la tecnología digital en el aula para obtener
desempeños académicos eficientes por parte del
estudiante.

Se recomienda que los docentes del área de
Matemáticas de los CBTis y CETis de la República
Mexicana pongan en práctica el paso 1del modelo de Polya,
para que el estudiante indague e identifique las condiciones y
requerimientos del problema propuesto.

Referencias
bibliográficas

Fridman, L. M. (1995). Capítulo 1 Las partes
integrantes de un problema. ¿Qué es un problema?
Las condiciones y requerimientos de un problema. En:
Metodología para resolver problemas de
Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica,
México, pp. 13-14.

Díaz-Barriga Arceo, F. y Hernández Rojas,
G. (2002). Estrategias docentes para un aprendizaje
significativo, una interpretación constructivista.
McGraw-Hill, p. 175.

Martínez Rizo, F. (2005). PISA para docentes.
La evaluación como oportunidad de aprendizaje. INEE,
México, pp. 17-18.

Polya, G. (1965). Como plantear y resolver
problemas. Reimp. 2001, Editorial Trillas, México,
pp. 17-19.

Pozo, J. I. (1994). La solución de
problemas. Editorial Santillana, Madrid, p, 12.

Software

• Laboratorio de funciones, Proyecto
  Galileo

• Modelador Geométrico, Proyecto
  Galileo

Sitio web

Laboratorio de funciones

URL:
http://www.clubgalileo.com.mx/portal/index.php/mate/labfunciones

Modelador geométrico

URL:
http://www.clubgalileo.com.mx/portal/index.php/mate/modgeometrico

Autor:

Arturo Vázquez
Córdova

Alejandro Vega Montoya

Humberto Hernández
Reynaga

Ángel García
Torres

Edith Perales Tovar*

CBTis 209

CBTis 98*