? ? ? ? ? ? MOMENTO DE INERCIA El Momento de Inercia,
también denominado Segundo Momento de Área; Segundo
Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una
propiedad geométrica de la sección transversal de
los elementos estructurales. Inercia : La inercia es la propiedad
de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya
sea en dirección o velocidad. Inercia a la Rotación
: Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un
eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una
resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la
dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la
rotación está determinada por su Momento de
Inercia, siendo ésta „?la resistencia que un cuerpo
en rotación opone al cambio de su velocidad de giro??.
Momento de Inercia. Ejemplo : El momento de inercia realiza en la
rotación un papel similar al de la masa en el movimiento
lineal. Por ejemplo, si con una honda se lanza una piedra
pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada
una, la piedra pequeña se acelerará mucho
más que la grande. El momento de inercia es pues similar a
la inercia, con la diferencia que es aplicable a la
rotación más que al movimiento lineal. La inercia
es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar
moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La
inercia puede interpretarse como una nueva definición de
masa. El momento de inercia es, pues, masa rotacional y depende
de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor
distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor
es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con
las tensiones y deformaciones máximas producidas por los
esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo
cual este valor determina la resistencia máxima de un
elemento estructural bajo flexión junto con las
propiedades de dicho material. Momentos de inercia de figuras
planas conocidas más utilizadas : Rectángulo de
altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a
los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad:
Triángulo isósceles de base b y altura h, respecto
a los ejes que, siendo paralelos a base y altura, pasan por su
centro de gravedad: Triángulo rectángulo de base b
y altura h, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados
del mismo, pasan por su centro de gravedad: Círculo de
radio R, respecto de cualquier eje que pase por su centro de
gravedad: Semicírculo de radio R, respecto de los ejes que
pasan por su centro de gravedad (el eje X paralelo al lado
plano): Cuadrante (Cuarto de círculo) de radio R, respecto
a los ejes que, siendo paralelos a los lados planos, pasan por su
centro de gravedad: MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis
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XG YG 35,2 cm CÓMO CALCULAR EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA
FIGURA PLANA COMPUESTA : Ejemplo 1 : Calcular el momento de
inercia de la siguiente figura plana compuesta : 2do paso : Se
determinan las áreas de estas figuras simples y se
identifican como A1, A2 y A3 A1 = base por altura = 30 x 1,9 =
57,00 cm2 A2 = base por altura = 1,1 x 35,2 = 38,72 cm2 A3 = base
por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 Atotal = A1 + A2 + A3 = 57 +
38,72 + 57 = 152,72 cm2 3er paso : Se Calcula la ubicación
del centro de masa de la figura compuesta : Las coordenadas del
centro de masa de una figura plana compuesta vienen dadas por las
siguientes formulas : 1er paso : Se divide la figura compuesta en
figuras planas sencillas de las que conozcamos las
fórmulas para calcular su área y su momento de
inercia. En este caso en particular podemos dividirla en 3
rectángulos : Donde “Ai” es el área de
la figura simple estudiada, “Xi” es la abscisa del
centro de masa de dicha figura simple y “Yi” la
ordenada del centro de masa de la misma figura simple. Fijamos un
sistema rectangular de coordenadas e indicamos la distancia que
hay desde el origen hasta el centro de masa de cada una de las
figuras simples en las que dividimos la figura compuesta.
Recuerde que el centro de masa de un rectángulo
está ubicado a un medio de su base y a un medio de su
altura. MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis Albornoz Salazar
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o o o o o Para su posterior uso estas distancias son
identificadas como : X1 = 15 cm X2 = 15 cm X3 = 15 cm Y1 = 38,05
cm Y2 = 19,5 cm Se confirma el enunciado que dice : “Si una
figura plana posee un eje de simetría, su centro de masa
estará ubicado sobre éste.” Esta figura en
particular posee un eje de simetría horizontal y un eje de
simetría vertical, luego su centro de masa estará
ubicado en el punto de intersección de sus dos ejes de
simetría. o Y3 = 0,95 cm Sustituyendo estos valores en las
fórmulas : XG XG YG YG El centro de masa de la figura
compuesta estará ubicado en las coordenadas (15 , 19.5)
4to paso : Se calculan las distancias que hay desde cada centro
de masa de las figuras sencillas hasta el centro de masa de la
figura compuesta. MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis
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? I2y + + En este caso notamos que todos los centros de masa de
las figuras sencillas están contenidos en el eje
“YG” del centro de masa de la figura compuesta, luego
: X1G , X2G y X3G = 0 cm Con relación a las distancias con
el eje “XG” : Y1G = 18,55 cm Y2G = 0 cm 6to paso : Se
calcula el momento de inercia de cada una de las figuras
sencillas respecto a los ejes “XG” e “YG”
aplicando el teorema del eje paralelo, es decir el Teorema de
Steiner. Ïi,x = Iix + Ai(YiG)2 Ïi,y = Iiy + Ai(XiG)2
Y3G = 18,55 cm 5to paso : Se calculan los momentos de inercia de
las figuras sencillas con respecto a sus ejes (que serán
paralelos a “YG” y “XG”); para lo cual
utilizaremos las fórmulas que se encuentran en la primera
página de esta guía. Rectángulo de altura h
y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados
del mismo, pasan por su centro de gravedad: Ï1,x = I1x +
A1(Y1G)2 = Ï2,x = I2x + A2(Y2G)2 = Ï3,x = I3x +
A3(Y3G)2 = Ï1,y = I1y + A1(X1G)2 = Ï2,y = I2y +
A2(X2G)2 = Ï3,y = I3y + A3(X3G)2 = + 57(18,55)2 = + (38,72)
(0)2 = + 57(18,55)2 = + 57(0)2 = + (38,72) (0)2 = + 57(0)2 = Para
la figura 1: I1x I1y Para la figura 2: I2x 7mo paso : Se calculan
los momentos de inercia de la figura compuesta a partir de los
momentos anteriores : Ix,total = ? Ïi,x Iy,total = ?
Ïi,y Ix,total = Ï 1,x + Ï 2,x + Ï 3,x =
19.631 + 3.998 + 19.631 = 43.260 cm4 Para la figura 3: I3x I3y
Iy,total = Ï1,y + Ï2,y + Ï3,y = = 8.554 cm4
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o o o El conocimiento pleno de las definiciones y enunciados en
materia de centro de masa, centro de gravedad, centroide y
momentos de inercia nos permiten arribar a los resultados de una
manera más rápida y segura. A continuación
resolveremos el ejercicio anterior por un “método
resumido” que nos permitirá llegar a la 3er paso :
Se calcula la ubicación del centro de masa de la figura
compuesta : Fijamos un sistema rectangular de coordenadas e
indicamos la distancia que hay desde el origen hasta el centro de
masa de cada una de las figuras simples en las que dividimos la
figura compuesta. Recuerde que el centro de masa de un
rectángulo está ubicado a un medio de su base y a
un medio de su altura. misma solución : 1er paso : Se
divide la figura compuesta en figuras planas sencillas de las que
conozcamos las fórmulas para calcular su área y su
momento de inercia. En este caso en particular podemos dividirla
en 3 rectángulos : 35,2 cm Para su posterior uso estas
distancias son identificadas como : 2do paso : Se determinan las
áreas de estas figuras simples y se identifican como A1,
A2 y A3 o o o X1 = 15 cm X2 = 15 cm X3 = 15 cm Y1 = 38,05 cm Y2 =
19,5 cm Y 3 = 0,95 cm A1 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2
A2 = base por altura = 1,1 x 35,2 = 38,72 cm2 A3 = base por
altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 Atotal = A1 + A2 + A3 = 57 + 38,72
+ 57 = 152,72 cm2 Se debe tener presente que : “Si una
figura plana posee un eje de simetría, su centro de masa
estará ubicado sobre éste.” Esta figura en
particular posee un eje de simetría horizontal y un eje de
simetría vertical, luego su centro de masa estará
ubicado en el punto de intersección de sus dos ejes de
simetría. MOMENTO DE INERCIA Ing. José Luis
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I2y = Para la figura 1: I1x I1y Para la figura 2: I2x El centro
de masa de la figura compuesta estará ubicado en las
coordenadas (15 , 19.5) …..(XG , YG) Para la figura 3: I3x
I3y 5to paso : Se calcula el momento de inercia de cada una de
las figuras sencillas respecto a los ejes “XG” e
“YG” aplicando el teorema del eje paralelo, es decir
el Teorema de Steiner. Ïi,x = Iix + Ai(Yi – YG)2
Ïi,y = Iiy + Ai(Xi – XG)2 4to paso : Se calculan los
momentos de inercia de las figuras sencillas con respecto a sus
ejes (que serán paralelos a “Y” y
“X”); para lo cual Ï1,x = I1x + A 1 (Y 1 –
Y G ) 2 = + 57 (38,05 – 19,5)2 utilizaremos las
fórmulas que se encuentran en la primera página de
esta guía. Ï2,x = I2x + A2 (Y2 – YG)2 = +
(38,72) (19,5 – 19,5)2 ? Rectángulo de altura h y
ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos a los lados
del mismo, pasan por su centro de gravedad: = MOMENTO DE INERCIA
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Ï3,x = I3x + A3 (Y3 – YG)2 = + 57 (0,95 – 19,5)2
Ejemplo 2 : Calcular el momento de inercia de la siguiente figura
plana compuesta : = Ï1,y = I1y + A1 (X1 – XG)2 =
Ï2,y = I2y + A2 (X2 – XG)2 = = Ï3,y = I3y + A3
(X3 – XG)2 = + 57(15 – 15)2 = + (38,72) (15 –
15)2 + 57(15 – 15)2 = 6to paso : Se calculan los momentos
de inercia de la figura compuesta a partir de los momentos
anteriores : Ix,total = ? Ïi,x Iy,total = ? Ïi,y 1er
paso : Se divide la figura compuesta en figuras planas sencillas
de las que conozcamos las fórmulas para calcular su
área y su momento de inercia. En este caso en particular
podemos dividirla en 2 rectángulos : Ix,total = Ï1,x
+ Ï2,x + Ï3,x = 19.631 + 3.998 + 19.631 = 43.260 cm4
Iy,total = Ï1,y + Ï2,y + Ï3,y = + + = 8.554 cm4
2do paso : Se determinan las áreas de estas figuras
simples y se identifican como A1 y A2 A1 = base por altura = 100
x 20 = 2000 cm2 A2 = base por altura = 40 x 80 = 3200 cm2 Atotal
= A1 + A2 = 2000 + 3200 = 5200 cm2 MOMENTO DE INERCIA Ing.
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YG Esta figura en particular posee un eje de simetría
vertical, luego su 3er paso : Se calcula la ubicación del
centro de masa de la figura compuesta : Fijamos un sistema
rectangular de coordenadas e indicamos la distancia que hay desde
el origen hasta el centro de masa de cada una centro de masa
estará ubicado a 50 cm a la derecha del origen del sistema
de coordenadas fijado. Nos faltaría ubicar la ordenada del
centro de masa, para eso aplicamos la fórmula siguiente :
de las figuras simples en las que dividimos la figura compuesta.
Recuerde que el centro de masa de un rectángulo
está ubicado a un medio de su base y a un medio de su
altura. Donde “Ai” es el área de la figura
simple estudiada, y “Yi” la ordenada del centro de
masa de la misma figura simple. YG El centro de masa de la figura
compuesta estará ubicado en las coordenadas (50 ,
59.23)…..(XG , YG) Para su posterior uso estas distancias
son identificadas como : o o o o X1 = 50 cm X2 = 50 cm Y1 = 90 cm
Y2 = 40 cm Se debe tener presente que : “Si una figura
plana posee un eje de simetría, su centro de masa
estará ubicado sobre éste.” 4to paso : Se
calculan los momentos de inercia de las figuras sencillas con
respecto a sus ejes (que serán paralelos a “Y”
y “X”); para lo cual MOMENTO DE INERCIA Ing.
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? I1y + + utilizaremos las fórmulas que se encuentran en
la primera página de esta guía. Rectángulo
de altura h y ancho b, respecto a los ejes que, siendo paralelos
a los lados del mismo, pasan por su centro de gravedad: Ï2,x
= I2x + A2 (Y2 – YG)2 = = Ï1,y = I1y + A1 (X1 –
XG)2 = = Ï2,y = I2y + A2 (X2 – XG)2 = + (3200) (40
– 59,23)2 + 2000(50 – 50)2 + (3200) (50 – 50)2
= Para la figura 1: I1x 6to paso : Se calculan los momentos de
inercia de la figura compuesta a partir de los momentos
anteriores : Para la figura 2: I2x I2y Ix,total = ? Ïi,x
Iy,total = ? Ïi,y Ix,total = Ï1,x + Ï2,x = =
4.850.257 cm4 5to paso : Se calcula el momento de inercia de cada
una de las figuras sencillas respecto a los ejes “XG”
e “YG” aplicando el teorema del eje Iy,total =
Ï1,y + Ï2,y = = 2.093.334 cm4 paralelo, es decir el
Teorema de Steiner. Ïi,x = Iix + Ai(Yi – YG)2
Ïi,y = Iiy + Ai(Xi – XG)2 Ï1,x = I1x + A1 (Y1
– YG)2 = = + 2000 (90 – 59,23)2 MOMENTO DE INERCIA
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