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Los Números Naturales




Enviado por Jose Acevedo



  1. La
    adición en el conjunto de los números
    naturales
  2. La
    multiplicación en el conjunto de los números
    naturales
  3. Tipos
    de Números
  4. Conjetura de los números semiperfectos
    (conjetura de Santo Domingo)
  5. Números Dúos
    Perfectos
  6. Nota

Existe una clase de números con los que estamos
muy familiarizados, estos son los bien llamados números
naturales, diariamente hacemos usos de tales numerales, ya que
son los que utilizamos para contar (números cardinales),
es decir: 1, 2, 3, 4, 5…y así seguimos, sumando 1
al anterior para obtener el siguiente, este proceso se repite
hasta el infinito, es decir que no existe un último
número natural. Es preciso señalar que no todos los
matemáticos reconocen al número cero como un
natural, sin embargo, dependiendo de la situación, hay
veces que es mejor reconocerlo como tal.

Nota:

Los números naturales pertenecen a un conjunto
mayor de números, los números enteros, estos
últimos abarcan al cero y a los números negativos.
Como en este escrito no haremos uso alguno de los numerales
negativos ni tampoco del mencionado cero (aunque ya se dijo que
en ocasiones es preferible considerarle un natural), hemos
preferido usar el conjunto de los números naturales en vez
del conjunto de los enteros.

Al efectuar las operaciones de adición y
multiplicación con números naturales, se obtiene un
resultado que también es un número natural,
razón por la cual decimos que dichas operaciones son
internas al conjunto de los números naturales.

La adición en
el conjunto de los números naturales

En el conjunto de los números naturales la
adición cumple las propiedades: conmutativa, asociativa y
elemento neutro.

Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la
suma.

Sean a y b elementos del conjunto de los números
naturales, entonces se cumple que:

a + b = b + a

Asociativa:

Sean a, b y c elementos del conjunto de los
números naturales, entonces se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

Elemento neutro de los naturales en la suma:

Sea b un elemento perteneciente al conjunto de los
naturales, si le sumamos 0 a b el resultado será igual a
b, por lo que decimos que el 0 es el elemento neutro de la
adición en el conjunto de los naturales.

b + 0 = b

La
multiplicación en el conjunto de los números
naturales

En el conjunto de los números naturales la
multiplicación cumple las propiedades: conmutativa,
asociativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto
de la suma.

Conmutativa: el orden de los factores no altera el
producto.

Sean a y b elementos del conjunto de los números
naturales, entonces se cumple que:

a · b = b · a

Asociativa:

Sean a, b y c elementos del conjunto de los
números naturales, entonces se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c) =
(a ·c) · b

Elemento neutro de los naturales en la
multiplicación:

Sea b un elemento perteneciente al conjunto de los
naturales, si multiplicamos a b por1 el resultado será
igual a b, por lo que decimos que el 1 es el elemento neutro de
la multiplicación en el conjunto de los
naturales.

b · 1 = b

Distributiva del producto respecto de la suma en el
conjunto de los naturales:

Sean a, b y c elementos del conjunto de los
números naturales, entonces se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a ·
c

Tipos de
Números

En el conjunto de los naturales existe una amplia
variedad de números cuyas características
particulares los distinguen de otros números dentro de
dicho conjunto. Tales Características nos permiten
dividirlos en subconjuntos cuyas denominaciones varían
según las propiedades o características que posea
cada subconjunto. De acuerdo a lo dicho, en el conjunto de los
números naturales podemos encontrar los siguientes tipos
de números:

Números Primos: son aquellos
números cuyo único divisor propio es el 1, en otras
palabras son aquellos números que sólo pueden ser
divididos por sí mismos y por el 1. El numeral 2 es el
único primo par que existe.

Ejemplo:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

El matemático griego Euclides, demostró
que existen infinitos números primos.

Por miles de años los números primos han
cautivado a matemáticos y profanos, quienes se han dejado
seducir por las intrínsecas características que
poseen los siempre enigmáticos primos.

Números Perfectos: En matemáticas
se le llama número perfecto a aquel natural que es igual a
la suma de sus divisores propios, es decir todos los
números naturales que lo dividen diferentes del
número dado, si tomamos el 28 y buscamos sus divisores
propios, sin incluir el 28, tenemos:

1, 2, 4, 7, 14

28 = 1 + 2 + 4 + 7 +14

Por lo tanto, siguiendo la definición de
número perfecto, podemos afirmar que el 28 es uno de
ellos.

Los primeros cuatro números perfectos
son:

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Incluso existe una fórmula que nos genera
números perfectos pares:

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Siempre que (2n – 1) sea un número primo la
fórmula nos generará un número perfecto, a
tales números primos se le conoce con el nombre de primos
de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII que estudió
las propiedades de dichos números, Marin Mersenne. Los
números perfectos pares tienen muchas propiedades
interesantes entre ellas podemos citar:

  • a) Son números triangulares.

  • b) Son números Hexagonales.

  • c) Son números combinatorios.

  • d) El dígito correspondiente a las
    unidades siempre es 6 ó 8.

Hasta la fecha, julio del 2011, se desconoce si existen
números perfectos impares, de existir tales números
deben ser muy grandes, otra cuestión que permanece abierta
(no se ha podido demostrar) es la existencia de infinitos
números perfectos. Quién sabe, quizás
tú amigo lector sea quien dé respuesta a tales
interrogantes.

Números Abundantes: son aquellos naturales
para los que se cumple que la suma de sus divisores propios es
mayor que el número dado.

Ejemplo:

Los divisores propios de 20 son: 10, 5, 4, 2,
1.

10 + 5 + 4 + 2 + 1 = 22; 20 < 22, entonces el 20 es
un número abundante.

Número Deficientes: son aquellos naturales
para los que se cumple que la suma de sus divisores propios es
menor que el número dado.

Ejemplo:

Los divisores propios de 16 son: 8, 4, 2, 1.

8 + 4 + 2 + 1 = 15; 16 > 15, entonces el 16 es un
número deficiente.

Todos los números que son potencia de 2, es decir
los números que pueden ser representados como: 2n, son
números deficientes. Si observamos el ejemplo, notaremos
que la suma de los divisores propios de 16 es igual a 15, es
decir que sólo le faltó una unidad para que el
resultado fuera un número perfecto, todas las potencias de
dos cumplen con esta última propiedad.

Números amigos: Si tenemos una pareja de
números naturales y se cumple que la suma de los divisores
propios de cada uno de ellos da como resultado el otro
número, entonces tenemos una pareja de números
amigos.

Ejemplo:

Los divisores propios de 220 son: 110, 55, 44, 22, 20,
11, 10, 5, 4, 2, 1.

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55
+ 110 = 284

Los divisores propios de 284 son: 142, 71, 4, 2,
1.

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Por lo que decimos que: 220 y 284 son números
amigos.

Números sociables: tienen la misma
propiedad que los números amigos, pero a diferencia de
estos últimos los números sociables forman grupos
más grandes, es decir: la suma de los divisores del primer
número da el segundo, la suma de los del segundo da el
tercero, y así repetidamente.

Ejemplo:

12496, 14288, 15472, 14536,14264.

Números Semiperfectos: todo número
natural que es igual a las suma de algunos de sus divisores
propios recibe el nombre de número
semiperfecto.

Ejemplos:

Los divisores propios del 30 son: 15, 10, 6, 5, 3, 2,
1.

15 + 10 + 5 = 30; por lo que concluimos que 30 es un
número semiperfecto.

Los divisores propios de 18 son: 1, 2, 3, 6,
9.

Para este se cumple que 9 + 6 + 3 = 18; por lo que 18 es
un número semiperfecto.

De este conjunto en particular, nos dedicaremos a
estudiar los números semiperfectos (Ns) que son
múltiplos de un algún número perfecto (Np).
Es decir los números semiperfectos para los que se cumple
la siguiente relación:

Ns = a * Np, tal que a es un número natural mayor
que 1.

A este subconjunto de números pertenecen: 12, 18,
24, 30, 56, 84, 112… a * Np.

Conjetura de los
números semiperfectos (conjetura de Santo
Domingo)

Dado un número semiperfecto que a la vez es
múltiplo de un número perfecto, esto es:

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Ejemplo:

48 = 8 * 6

Los divisores propios de 48 son: 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3,
2, 1.

Combinando sus divisores propios para que nos den el
número dado, tenemos:

  • 1) 24 + 16 + 8 = 48

  • 2) 24 + 16 + 6 + 2 = 48

  • 3) 24 + 16 + 4 + 3 + 1 = 48

  • 4) 24 + 12 + 4 + 8 = 48

  • 5) 24 + 12 + 4 + 6 + 2 = 48

  • 6) 24 + 8 + 6 + 2 + 4 + 3 + 1 = 48

  • 7) 16 + 8 + 12 + 4 + 6 + 2 = 48

  • 8) 16 + 8 + 12 + 3 + 1 + 6 + 2 = 48

4 * 28 = 112

112 se puede expresar como:

  • 1) 56 + 28 + 16 + 8 + 4

  • 2) 56 + 28 + 16 + 7 + 1 + 4

  • 3) 56 + 28 + 14 + 2 + 8 + 4

  • 4) 56 + 28 + 14 + 2 + 7 + 1 + 4

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Ejemplo:

3 * 6 = 18

Los divisores propios de 18 son: 9, 6, 3, 2,
1

  • 1) 9 + 6 + 3 = 18

  • 2) 9 + 6 + 2 + 1 = 18

Como se puede notar el número de combinaciones
posible es menor el coeficiente impar 3.

Números
Dúos Perfectos

Dentro de los números abundantes y más
específicamente dentro del conjunto de los números
semiperfectos, existe todo un conjunto de números con
propiedades singulares, a estos números el autor los ha
denominado como números dúos
perfectos
.

Si Np es un número perfecto, entonces 2Np es un
número dúo perfecto.

Para denominar un número dúo perfecto
usaremos la notación Nq, por lo que:

Nq = 2Np

Ejemplos:

Np = 6, entonces Nq = 2(6) = 12

Los divisores propios de 12, son:

6, 4, 3, 2, 1

Si sumamos tales números obtenemos:

6 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16, entonces 16 > 12, por lo que
el 12 es un número abundante.

Es aquí donde nos preguntamos, ¿Qué
hace que un número sea dúo perfecto si la suma de
sus divisores propios es siempre mayor que dicho
número?

Si observamos los divisores propios de 12, notaremos que
hay tres números pares y sólo dos impares, esta
cantidad es constante para los impares que siempre serán
un primo de Mersenne y el uno; si tomamos sólo los
divisores pares de 12 y lo sumamos, entonces la suma de todos
ellos será igual a 12.

6 + 4 + 2 = 12

Otra característica distintiva de los
números dúo perfectos es que sólo uno de sus
divisores propios lo convierte en números abundantes, es
decir que existen sólo dos posibles maneras de expresar el
números dúo perfecto mediante la suma de sus
divisores propios, de aquí el nombre de dúo
perfecto.

Al divisor que convierte el número dúo
perfecto en abundante lo denominaremos sobrante (Ds), para
encontrar el número sobrante dentro de los divisores
propios de un número Nq, usaremos la siguiente
fórmula:

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Si apartamos este número de los divisores propios
de 12, la suma de los restantes será igual a 12, es decir
que existen dos maneras diferentes de expresar los números
Nq por medio de la suma de sus divisores propios, de aquí
su otro nombre, dúos perfectos.

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Los divisores propios de 56 son:

28 14 8 7 4 2 1, entonces 28 + 14 + 8 + 7 + 4 + 2 + 1 =
64 (56 es un número abundante).

Sumando sólo los divisores propios pares de
56.

28 + 14 + 8 + 4 + 2 = 56, entonces 56 es un
número dúo perfecto.

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992 = 496 + 248 + 124 + 62 + 32 + 16 + 8 + 4 +
2

992 = 496 + 248 + 124 + 62 + 31+ 16 + 8 + 4 + 2 +
1

En resumen podemos decir que un número natural es
dúo perfecto si la suma de todos sus divisores propios
pares es igual al número dado y al mismo tiempo posee un
único divisor sobrante Ds.

Como podemos observar los números primos de
Mersenne están estrechamente ligados con los
números dúos perfectos por lo que podemos
relacionarlos mediante la siguiente fórmula:

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Otra propiedad de los números dúos
perfectos la podemos encontrar en la suma de números pares
consecutivos.

Supongamos que se nos pide encontrar la suma de los
primeros 5 pares consecutivos, la respuesta no se hace esperar y
procedemos a sumar los 5 primeros pares, es decir:

2 + 4 + 6 + 8 +10 = 30

Ahora imaginemos que se nos pide sumar todos los pares
del 2 hasta el 100, esta vez dar la respuesta nos tomaría
mucho más tiempo si seguimos el procedimiento
anteriormente mostrado, razón por la cual debemos buscar
una manera más eficiente de efectuar los
cálculos.

Sea m el último de los términos pares y
m/2 igual al número de términos, se cumple entonces
que:

K = m * (m/2 + 1)/2

K = (m + 2) * m/4 = (m + 2)/2 * m/2

Donde:

m = último término de la serie.

k = suma de todos los términos pares (iniciando
desde el 2).

Como m es un número par, la formula se reduce
a:

K = (z + 1) * z

Esta última fórmula coincide con la dada
para obtener números dúos perfectos, cuya
relación es:

Nq = Pm (Pm + 1), por lo que podemos decir que los
números dúos perfectos pueden ser expresados como
sumas de números pares consecutivos, cuyo primer
término es el 2. Dicho en otras palabras, siempre que la
cantidad de términos sea un número primo de
Mersenne, la suma, partiendo desde el 2, será un
número dúo perfecto.

Ejemplos:

2 + 4 + 6 = 12; suma de 3 términos pares
consecutivos.

2 + 4 + 6 + 8 +10 +12 + 14 = 56; suma de 7
términos pares consecutivos.

Para obtener el número 992, se necesita la suma
de 31 términos pares consecutivos, partiendo desde el
2.

Otra propiedad que poseen los números dúos
perfectos es que la suma de todos sus divisores propios siempre
nos da una potencia de 2.

Ejemplos:

Nq = 12, entonces 6 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16

Nq = 56, entonces 28 + 14 + 7 + 8 + 4 + 2 + 1=
64

Es decir que:

Nq + Ds = 2y

Nota

En otros escritos el autor ha llamado a los
números dúos perfectos como números cuasi
perfectos, este último nombre no resulta ser el más
apropiado ya que puede causar confusión con otro conjunto
de números cuyas propiedades son muy diferentes de los que
aquí se han mostrado.

Como hemos podido notar, los números naturales
están rodeados de propiedades sumamente interesantes, la
rama de las matemáticas que estudia dichas propiedades se
conoce como Teoría de Números, muchos pueden
caer en el error de pensar que dicha rama es infructífera,
sumamente abstracta y vaga, pues aquellos que lo piensan
están equivocados, los números son la base de las
matemáticas, por lo tanto el estudio de sus propiedades
nos ayuda a tener una mejor idea de lo que es la
matemática, que como ciencia nunca dejará de
evolucionar de otra forma no sería ciencia. Decir que la
teoría de números es una rama estéril, es
como afirmar que el átomo y demás partículas
subatómicas no deben ser estudiados, pues así como
estas son partes esenciales de la materia, así mismo lo
son los números para las matemáticas.

Nunca podré entender cómo es que tantas
personas se cuestionan sobre si son útiles o no ciertas
ramas de las matemáticas, pero las mismas no se cuestionan
si las sinfonías de Beethoven o las obras de Miguel
Ángel o de cualquier otro artista son útiles, por
sobre todo las matemáticas son un arte y un
matemático es un artista que desecha las partes sobrantes
para revelar la verdadera cara de su gran obra que en algunos
caso puede ser tan deliciosa para los sentidos como la propia
Monalissa.

 

 

Autor:

José Acevedo J.

 

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