Regresión Potencial mediante el Método de los Mínimos Cuadrados

La regresión examina la relación entre dos
variables, pero restringiendo una de ellas con el objeto de
estudiar las variaciones de una variable cuando la otra permanece
constante. En otras palabras, la regresión es un
método que se emplea para predecir el valor de una
variable en función de valores dados a la otra
variable.

En todos los casos de regresión existe una
dependencia funcional entre las variables. En el caso de dos
variables, siendo una de ellas (X) variable independiente y la
otra (Y) la dependiente, se habla de regresión de Y sobre
X; Por ejemplo, los ingenieros forestales utilizan la
regresión de la altura de los árboles sobre su
diámetro, lo cual significa que midiendo el
diámetro (variable independiente) y reemplazando su valor
en una relación definida según la clase de
árbol se obtiene la altura, y aun sin necesidad de
cálculos aprecian la altura utilizando gráficas de
la función de dependencia, altura = función del
diámetro.

La regresión potencial tiene por ecuación
predictora:

Y la regresión recíproca es:

Para el primer caso los valores siguen una ley
potencial. Si la ecuación predictora está dada por:
tomando logaritmos
en ambos miembros, queda:

Donde las constantes y quedan fijadas al resolver
simultáneamente las ecuaciones:

Para el segundo caso, si la ecuación predictora
está dada por entonces invirtiendo, la misma expresión
se puede escribir o
sea:

Donde las constantes y quedan fijadas al resolver
simultáneamente las ecuaciones:

Ejemplos
ilustrativo N° 1

Sea el siguiente conjunto de valores, las lecturas de un
experimento donde X es el volumen (variable independiente) e Y es
la presión de una masa dada de gas (variable
resultante).

1.1) Elaborar el diagrama de
dispersión.

1.2) Ajustar una curva exponencial aplicando el
método de mínimos cuadrados.

1.3) Calcular la ecuación predictora.

1.4) Graficar la ecuación predictora.

1.5) Estimar la presión de la masa de gas de
volumen 9.

Solución:

1.1) El diagrama de dispersión elaborado en
Excel se presenta en la siguiente figura:

El diagrama de dispersión elaborado en Graph
se presenta en la siguiente figura:

1.2) Para ajustar una curva exponencial aplicando el
método de mínimos cuadrados se llena la siguiente
tabla:

Reemplazando valores en el sistema de ecuaciones se
obtiene:

Al resolver el sistema se obtiene: log a = 0,819;
ß = 2,351

Reemplazando valores en la ecuación predictora
expresada en logaritmos se tiene:

1.3) Para calcular la ecuación predictora,
primero se calcula el valor de a de la siguiente
manera:

Reemplazando en la ecuación predictora se
obtiene:

1.4) Graficando la ecuación predictora
mediante Excel se muestra en la siguiente figura:

Empleando Graph se obtiene la siguiente
figura:

1.5) Para estimar la presión de la masa de gas de
volumen 9 se reemplaza el valor X = 9 en la ecuación
predictora

Ejemplo
ilustrativo N° 2

Sea el siguiente conjunto de valores, las lecturas de un
experimento donde X es la variable independiente e Y la variable
resultante.

2.1) Elaborar el diagrama de
dispersión.

2.2) Calcular las constantes y aplicando el método de mínimos
cuadrados.

2.3) Calcular la ecuación predictora.

2.4) Graficar la ecuación predictora.

2.5) Estimar el valor de Y para X = 9

Solución:

2.1) El diagrama de dispersión elaborado en
Excel se muestra en la siguiente figura:

El diagrama de dispersión elaborado en Graph
se muestra en la siguiente figura:

2.2) Para calcular las constantes y aplicando el método de
mínimos cuadrados se llena la siguiente tabla:

Reemplazando valores en el siguiente sistema se
obtiene:

Al resolver el sistema se obtiene:

a = 0,5271; ß = 0,2160

2.3) Para calcular la ecuación predictora se
reemplaza los valores encontrados de a y ß, y se
obtiene:

2.4) La gráfica la ecuación predictora
elaborada en Excel se muestra en la siguiente
figura:

La gráfica la ecuación predictora
elaborada en Graph se muestra en la siguiente
figura:

2.5) Para estimar el valor de Y para X = 9 se reemplaza
el valor de X en la ecuación predictora.

REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

BENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades para Producir
Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario
Ed. Graficolor, Ibarra, Ecuador.

DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con
Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte,

Lima, Perú.

SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje
Holístico de Matemática, Ed. Gráficas
Planeta,

Ibarra, Ecuador.

SUÁREZ, Mario, (2011), Interaprendizaje de
Estadística Básica

TAPIA, Fausto Ibarra-Ecuador.

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes