A. PROYECCION
LINEAL
CONCEPTO
Técnica de proyección y
ajuste de una variable Y ( desconocida) a partir de una variable
conocida (X) que en este caso es el tiempo ( variable
independiente)
FORMULAS
Formula general :
Donde :
a : intercepto
b : coeficiente parcial de
regresión
Y : variable independiente ( tiempo) X :
variable dependiente
Cálculo de los coeficientes
parciales de regresión:
Cálculo del coeficiente de
determinación- R2
Es una medida de resumen, nos dice que tan exactamente
la línea de regresión muestral se ajusta a los
datos. Es un valor positivo que oscila entre 0 y 1 (el tiempo no
tiene nada que ver con la variable en estudio)
EJEMPLO PRÁCTICO
Se tiene un destino turístico que
durante los últimos años ha presentado la siguiente
cantidad de visitantes:
Año X | Turistas (miles) Y | |
1999 | 21.7 | |
2000 | 27.2 | |
2001 | 38.6 | |
2002 | 54.1 | |
2003 | 66.3 | |
2004 | 74.7 | |
2005 | 82.0 | |
2006 | 94.4 | |
2007 | 100.2 | |
2008 | 107.2 | |
El gráfico nos permite apreciar que
hay una clara tendencia lineal
El cuadro para trabajar la
proyección es el siguiente:
X | Y | XY | X² | Y² |
1 | 21.7 | 21.7 | 1 | 470.89 |
2 | 27.2 | 54.4 | 4 | 739.84 |
3 | 38.6 | 115.8 | 9 | 1489.96 |
4 | 54.1 | 216.4 | 16 | 2926.81 |
5 | 66.3 | 331.5 | 25 | 4395.69 |
6 | 74.7 | 448.2 | 36 | 5580.09 |
7 | 82 | 574 | 49 | 6724 |
8 | 94.4 | 755.2 | 64 | 8911.36 |
9 | 100.2 | 901.8 | 81 | 10040.04 |
10 | 107.2 | 1072 | 100 | 11491.84 |
55 | 666.4 | 4491 | 385 | 52770.52 |
Encontrando a y b (n=10)
Encontrando el valor de b :
la ecuación de la recta es la
siguiente :
Y = 11.5867 + 10.0097 x X
Si queremos proyectar las ventas para el
período 11 tendríamos:
Y = 11.5867 + 10.0097 x 11
Y = 121.69
El coeficiente de Determinación
– R2, se obtiene de la siguiente manera :
La proyección muestra que la
cantidad de turistas que acude al destino turístico tiene
una tendencia lineal pues las variable tiene un elevado
coeficiente d determinación.
B. PROYECCION
EXPONENCIAL
Es un método de proyección apropiado en el
caso de que la serie de tiempo describe datos que crecen o
decrecen en proporción constante a lo largo del tiempo.
Ejemplo ventas de un producto, crecimiento de una
población o demanda, propagación de una enfermedad
entre otros.
Su expresión matemática es:
Esta modalidad depende de los valores de a
y b :
Si b tiene un valor comprendido entre 0 y 1
entonces el valor de Y decrecerá al crecer X
Si b es mayor que 1 , Y crecerá con
X .
El valor de a corresponde a la ordenada al
origen
FORMULAS
Formula general:
Si se toman logaritmos a ambos miembros de
la ecuación se puede transformar en una relación
lineal:
LogY = Log ( a . bX)
Donde :
LogY = Log a + X Log b
a : intercepto
b : coeficiente parcial de
regresión
Y : variable independiente ( tiempo) X :
variable dependiente
Cálculo de los coeficientes
parciales :
Ejemplo :
Se tienen los siguientes datos :
X | Y |
1 | 28.00 |
2 | 28.30 |
3 | 28.90 |
4 | 30.10 |
5 | 32.10 |
6 | 34.50 |
7 | 39.80 |
8 | 43.90 |
9 | 51.10 |
10 | 59.70 |
55 | 376.4 |
Vemos que la tendencia lineal sólo
cruza a los datos reales en dos puntos. Por tanto usar la
proyección lineal no va ser una buena decisión. En
este caso vamos a utilizar la proyección
exponencial.
TABLA DE DATOS
X | Y | Log Y | Log X | X.LogY | X² | (LogY)² |
1 | 28.00 | 1.4472 | 0.0000 | 1.4472 | 1 | 2.0943 |
2 | 28.30 | 1.4518 | 0.3010 | 2.9036 | 4 | 2.1077 |
3 | 28.90 | 1.4609 | 0.4771 | 4.3827 | 9 | 2.1342 |
4 | 30.10 | 1.4786 | 0.6021 | 5.9143 | 16 | 2.1862 |
5 | 32.10 | 1.5065 | 0.6990 | 7.5325 | 25 | 2.2696 |
6 | 34.50 | 1.5378 | 0.7782 | 9.2269 | 36 | 2.3649 |
7 | 39.80 | 1.5999 | 0.8451 | 11.1992 | 49 | 2.5596 |
8 | 43.90 | 1.6425 | 0.9031 | 13.1397 | 64 | 2.6977 |
9 | 51.10 | 1.7084 | 0.9542 | 15.3758 | 81 | 2.9187 |
10 | 59.70 | 1.7760 | 1.0000 | 17.7597 | 100 | 3.1541 |
55 | 376.4 | 15.6095 | 6.5598 | 88.8816 | 385 | 24.4869 |
Reemplazando : ( n=10)
La ecuación sería
:
Y = 22.8552 x 1.0882X
La proyección para el período
11 sería :
Y = 22.8552 x1.088211
Y = 57.91
C. AJUSTE A LA
TENDENCIA
Con frecuencia se tiene una serie
estadística que tiene un patrón estacional, es
decir un conjunto de datos secundarios que se repiten con cierta
frecuencia en una serie de años. Esto es frecuente por
ejemplo en las cifras de negocios que tienen temporadas en las
que las ventas aumentan y disminuyen (ciclo de negocios), como
las ventas de útiles escolares, los productos veraniegos o
las temporadas en el negocio turístico.
Como ejemplo observamos la siguiente serie
de datos:
¿ Cómo se trabajan estos
datos?
1º Se calculan los promedios de cada
año
2º Se obtienen los índices
desestacionalizados – ID
3º Se obtiene la demanda
desestacionalizada – DD
La línea de tendencia lineal se
obtiene de la columna de demanda desestacionalizada – DD y
obtenemos la siguiente ecuación:
Y = 4.5424 + 0.2332 X
4º Se proyectan, con esta
ecuación, los datos del año 4
5º Se ajusta la demanda proyectada
usando los indices desestacionalizados vistos en el punto
2º:
Estos serían los valores de la
demanda estimados para el año 4 y respetan la tendencia
histórica.
Autor:
Econ. Luis Flores
Cebrián
Octubre 2011