1. Es habitual que un cuadrado que se llama
un cuadrado mágico cuando sus células están
inscriptos con los números naturales, de tal manera que la
suma de los números en cada fila, columna y ambas
diagonales son iguales entre sí. Entonces, si el cuadrado
se dividio en x partes iguales , habría células xx
por completo, y cada una de las filas, columnas y diagonales
tanto que contienen células x, en el que cada uno de los
números naturales 1, 2, 3, 4, . . . , Xx estaría
dispuesto, de manera que la suma de todas estas líneas
serían iguales entre sí. Para ello, la suma de
todos los números del 1 al xx es
y la suma de cada linea seria
Por cuanto, para x = 3 la suma de una linea
simple es igual a 15.
2. Así, para muchas céldas en
que un cuadrado se divida, la suma de los números
depositados en cada línea se puede calcular
fácilmente, de la cual la suma de todas las líneas
de cada cuadro se puede calcular fácilmente..
donde x denota el número de partes
iguales en que el cuadrado se divide, y xx el número de
células contenidas en el cuadrado, y donde 
indica la suma de todos los
numeros contenidos en cada linea.
3. Para investigar una regla certera para
formar cuadrados mágicos para todos Los
órdenes, es muy interesante observar que todos los
números 1, 2, 3 y xx se puede representar con la siguiente
fórmula:
mx + n,
porque si m toma sucesivamente todas los
valores 0, 1, 2, 3, 4 y x – 1, y luego n toma todos
los valores 1, 2, 3, 4,. . . , X, está claro que todos los
números del 1 a xx se puede representar mediante la
combinación de cada uno de los valores de m con cada uno
de los valores de n. Además, todos los números para
ser inscrito en el cuadrado con la fórmula mx + n son
capaces de ser expresados con dos partes, siempre en este orden,
en la que usamos las letras latinas a, b, c, d, etc para la
primera parte mx, y las letras griegas a, ß, ?, d, etc para
la segunda parte n, donde queda claro que para cualquier
número x, siempre hay una letra de latín y griego
que puede ser igual a x por tener las letras latinas se 0x, 1x,
2x, 3x a (x – 1) x y las letras griegas tomar los
valores 1, 2, 3, 4,. . . , X. Sin embargo, este orden
de las letras latinas y griegas no es fijo, y cualquier
letra del alfabeto latino puede denotar 0x, 1x, 2x,
etc, siempre y cuando todos los valores diferentes que hayan
adoptado, con la misma utilizacion de las letras
griegas.
4. Ahora, cualquier número que va a
ser inscrito en el cuadrado puede ser representados con un par de
Letras una Latinas y una letra griega, por ejemplo por b + d o un
a+ß, etc; es decir, cada número se
puede representar con estas dos partes. Si cada uno de las Letras
latinas se unen con cada una de las letras griegas, es claro que
todos los números del 1 al xx debe dar, y también
está claro que cada combinación diferente de letras
siempre se produce un número diferente, sin un
número capaz de ser repetido.
5. Por lo tanto todos los números
pueden ser representados por la combinación de una letra
latína y una griega. Este hecho da una regla para la
construcción de cuadrados mágicos. En primer lugar,
las letras latinas están inscritos en todas las
céldas del cuadrado para que la suma de todas
las líneas son los mismos, donde si hubo x habría
células xx por completo en el cuadrado, y está
claro que cada letra se repite x veces. Del mismo modo, las
letras griegas luego se inscribió en todas las
células del cuadrado, de tal manera que la suma de todas
las líneas son iguales. Entonces, para todas las
líneas de la suma de estos números realizados por
una combinación de una letra latína y una griega
sería igual. Además, en un acuerdo donde se combina
cada letra del alfabeto latino con todas las letras griegas, con
este método ningun número del 1 a xx se perdera, y
tampoco ninguno de ellos se produce dos veces.
6. Para poder utilizar esta regla para cada
tipo de cuadrado de acuerdo a las céldas que tiene, es
evidente de inmediato para empezar con nueve celdas, debido a que
un cuadrado con cuatro células no tienen suficiente
espacio para un arreglo. Además, en general, se observa
que para cada tipo hay letras x latín y griego, y que
todas las líneas tienen el mismo número de
céldas, con las condiciones dadas satisfechas si cada
línea tiene todas las letras latinas y griegas en
élla. Sin embargo, si la misma letra se produce dos o tres
veces en alguna línea, siempre es necesario entonces que
la suma de todas las letras que ocurren en cada línea
igual a la suma de todas las letras latinas a + b + c + d + etc o
letras griegas a + ß + ? +d +, etc
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