Matemáticas 5. Propiedades de los números enteros

Propiedades de
los números enteros

Orden numérico. Es el que da la idea de
que un número es mayor o menor que otro número, o
que hay diferencia real entre dos números. Ejemplo: el
orden de los cursos de la educación primaria es (1º
primero, 2º segundo, 3º tercero, 4º cuarto,
5º quinto)

Número mayor: Que supera en
cantidad a otro.

Número menor: Que es inferior
en cantidad a otro.

El número siguiente a otro, es el
número considerado más una unidad , por ejemplo 6 =
5 + 1.

El número anterior a otro, es el
número considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5
– 1.

Recta numérica. es la que esta dividida en
intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una
división y la siguiente es siempre la unidad
(1).

Tareas 1 y 2

1. Escribe los números que
faltan en la recta numérica.

2. Observa la recta. Luego
responde.

• ¿Sobre qué
número está el conejo?

• ¿Sobre qué
número está el gato?

• ¿Qué número
está a la izquierda de la tortuga?

• ¿Qué números
están entre el conejo y el gato?

• ¿Qué números
están entre la tortuga y el conejo?

Unidad (1), se llama a un objeto de
comparación, por ejemplo un cubo.

Decena (10), se llama a un grupo formado por diez
(10) unidades, por ejemplo a una columna formada por 10
cubos.

Centena (100), se llama a un grupo formado por
diez decenas o cien (100) unidades, por ejemplo un muro formado
por 10 columnas de 10 cubos cada una.

Milenia (1000), se llama a un grupo formado por
diez (100) centenas o mil (1000) unidades, por ejempl0 un cubo
grande formado por mil cubitos.

Tareas 1, 2, 3 y 4.

1. Escribe en el cuadrito las unidades
indicadas.

2. Escribe en el cuadrito las
decenas de cada instrumento de medida.

3. Escribe en el cuadrito las
unidades de cada billete.

4. Escribe en el cuadrito las
milenias de cada billete.

Posición numérica. Es el sitio o
lugar ocupado por un número.

Valor de un número. Es la cantidad de
unidades, o fracciones de unidades que representa el
número. Por ejemplo, caja o bolsa de 1.5 kilogramos,
informa que la caja o bolsa hay un kilogramos y medio del
producto.

Un número de varias cifras se puede descomponer
en una tabla o un ábaco de posición con unidades,
decenas y centenas.

Por ejemplo, la descomposición del
número 329.758

Tabla o ábaco de
posición

Ábaco

Tareas 1, 2 y 3.

• 1. Descomponga en una tabla de posición
  y en un ábaco cada uno de los siguientes
  números:

2. Qué número
tiene:

• 3 UM, 4 C y 3D
  _______________________________

• 4 U, 8C, 6 UM y 4D
  ____________________________

3. Cuántas monedas:

• de 50 pesos recibo por el cambio de un billete de
  2000 pesos: _____________.

• de 200 pesos recibo por el cambio de un billete de
  50.000 pesos: ___________.

Valor de
posición

El valor de una cifra depende de la posición que
ocupa en el número.

Ejemplo:

697.123.854 = 600.000.000 + 90.000.000 + 7.000.000 +
100.000 + 20.000 + 3.000 + 800 + 50 + 4

Tareas 1 y 2

1.

2. Escribe el valor de
posición de la cifra encerrada en un círculo en
cada número.

Valor de posición de números
decimales

Los números decimales están formados por
una parte entera y otra decimal separadas por una coma. Por
ejemplo:

Tareas 1 y 2.

1. Ubica en la tabla la posición de cada
cifra de los siguientes números decimales.

2. Selecciona por los números de las
piedras las que corresponde a cada uno de los tres niños:
a Diana las que tiene cuatro decimas, a Luis las que tienen cinco
centésimas y a José las que tiene dos
milésimas.

Piedras de
Diana____________________________________________________

Piedras de
Luis_____________________________________________________

Piedras de
José_____________________________________________________

Igual a, mayor que, menor que. Cuando comparamos
las cantidades que representan los números puede suceder
que:

• Una cantidad sea igual a otra, lo cual se escribe
  con el signo (=), ejemplo: 23 = 23.

• Una cantidad sea desigual a otra, lo cual se escribe
  con el signo (?), ejemplo:

1988 ? 2000.

• Una cantidad sea mayor que otra, lo cual se escribe
  con el signo (>), ejemplo: 50>22.

• Una cantidad sea menor que otra, lo cual se escribe
  con el signo (<), ejemplo: 12<33.

Comparación de números con
algunas cifras iguales

De derecha a izquierda se comparan las cifras hasta
encontrar cifras diferentes. El número mayor será
aquel que tenga mayor esta cifra diferente.

Ejemplo: Comparar los números 4 5 6 9 2 8
y 4 5 6 9 7 2.

Tareas 1 y 2.

1. Compara los siguientes
números:

Comparación de números
fraccionarios.

• Dos fracciones que tienen el mismo denominador se
  comparan por el numerador, ejemplo:

• Dos fracciones que tienen diferente denominador, se
  amplifican o simplifican hasta obtener fracciones
  equivalentes con el mismo denominador, y luego se comparan,
  ejemplo:

Conversión a común denominador: Multiplica
el numerador de cada fracción por los denominadores de las
demás fracciones. Este será el nuevo numerador de
cada fracción Multiplica los denominadores. Este
será el denominador común.

Tareas 1 y 2.

1. Compara las siguientes fracciones:

2. Compara las siguientes fracciones:

Comparación de números decimales.
Para comparar dos números decimales primero se comparan
las partes enteras.

• Si son diferentes, es mayor el número que
  tiene la mayor parte entera. Ejemplo:

• Si son iguales, se verifica que tengan la misma
  cantidad de cifras decimales para comparar. Si no las tienen
  se igualan las cifras con ceros. Ejemplo: 6,16 y 6,2.
  Igualemos cifras con un cero: 6,16 y 6,20.

Tarea 1

1. Escribe el signo >, <, =
según corresponda.

Números
impares y números pares

Tareas 1 y 2.

• 1. Escribe en la tabla los
  números impares de 1 a 100.

• 2. Escribe en la tabla los
  números pares de 2 a 100.

Número
primo

Es el que tiene únicamente dos
divisores. El 1 y él mismo. Ejemplo: El número 7 es
un número primo porque es divisible solamente en 1 y en
7.

Método tabular para encontrar
números primos. Por ejemplo entre 1 y 100.

Descomposición de números en sus
factores primos. Por divisiones sucesivas,
ejemplo:

Tareas 1 y 2.

1. Traza la ruta de una abeja para
salir del panal, si sólo pasa sobre números
primos.

2. Con el método tabular
encuentra los números primos entre 101 y 200

Múltiplos
de un número

Son los números que se obtienen al multiplicar el
número por los números naturales incluyendo el
cero, ejemplo: Los múltiplos del número 3
son:

Tarea

1. Escribe los diez primeros múltiplos de
los números 7 y 15, y encuentra el mínimo
común múltiplos (mcm) de ellos.

Divisores de un
número

Son aquellos números que lo dividen en forma
exacta, ejemplo:

2 es divisor de 12 porque la
división es exacta, o sea, el residuo es

¿Cómo encontrar los divisores de un
número?, por ejemplo del número 12. Se buscan todos
los factores cuyo producto sea el número: 1 x 12 =
12, 2 x 6 = 12, 3 x 4 = 12

Tarea

1. Encuentra el conjunto de
divisores de cada número.

Máximo común divisor (mcd), entre
dos números, es el mayor divisor que tienen en
común estos números, ejemplo:

Tarea

1. Encuentra el conjunto de divisores y el
máximo común divisor de los siguientes
números

Propiedades de
las operaciones con números

Propiedad asociativa. Una
operación es asociativa, si al agrupar sus términos
en diferente forma, el resultado no cambia. Ejemplos,

Suma asociativa: (324 + 125) + 216 = 324 +
(125 + 216)

Multiplicación asociativa: 5 x (4 x
3) x 2 = 5 x 12 x 2 = 120

Tareas 1, 2, 3 y 4

Sumas asociativas

1. Coloca en el cuadro los números de 1 al
9 en tal forma que las filas, las columnas y las diagonales sumen
siempre 15.

2. Coloca en el cuadro los números de 4 al
12 en tal forma que las filas, las columnas y las diagonales
sumen siempre 24.

Multiplicaciones
asociativas

Agrupa con paréntesis distintos pares de
números y resuelve la operación.

Propiedad conmutativa. Una operación es
conmutativa si al cambiar el orden de sus términos el
resultado no cambia. Ejemplos,

Suma conmutativa: • 71 + 28 = 28 +71 =
99

• La suma de los huevos en ambas
bandejas es igual

Multiplicación conmutativa: 7 x 4 =
4 x 7 = 28

Tareas 5, 6 y 7

Sumas conmutativas

Escribe en cada caso el sumando que falta
para que la igualdad sea verdadera

7. El número de botellas en
cada canasta es igual? _____.

Propiedad distributiva. Es la posibilidad de
escribir en otra forma, una suma o una resta ambas
multiplicativas, ejemplos:

Propiedad distributiva de la suma: 6 x (3 + 4) = (6 x 3)
+ (6 x 4) = 18 + 24 =42

Propiedad distributiva de la resta: 9 x (6 – 2) =
(9 x 6) – (9 x 2) = 54 – 18 = 36

Tareas 8 y 9

Escribe de otras formas las siguientes
sumas y restas multiplicativas.

Potenciación

La potenciación es un producto de
factores iguales, ejemplo:

Exponente

Base: Es el factor que se repite (4).
Exponente: Es la cantidad de veces que se multiplica la
base. Producto: Es el resultado de la
operación.

Potencias de 10: El exponente indica el
número de ceros después del número.
Ejemplos:

Tareas 1 y 2.

1. Resuelve las siguientes
potencias:

2. Calcula la cantidad de cubitos que hay en cada
cubo y escribe el resultado en forma de potencia.

Radicación

La radicación es una operación inversa a
la potenciación, es decir, conociendo el producto y el
exponente se halla la base.

Número o producto

Tareas 1 y 2.

Logaritmación

La logaritmación es la operación que
averigua el exponente conociendo la base y el
producto.

Tareas 1 y 2.

1. Escribe cada potencia en forma de
raíz y de logaritmo.

Logaritmos decimales.

Logaritmos naturales. Son los que tienen base e.
Se representan por ln (x) o L(x).

ln 1 = 0, ln e = 1, e = 2.71828.

El logaritmo común de un número,
multiplicando por 2,3026 da el logaritmo natural del
número. Por ejemplo, Log 1,60 = 0.2041. Ln 1,60 = 2.3026 x
0.2041 = 0.4700. Entonces, el logaritmo natural de 1.60 es
0.4700.

2. Completa la tabla.

Propiedades de
los conjuntos

Conjunto es un grupo de elementos con las
mismas características, propiedades o
cualidades. Elemento es un componente de un
conjunto.

Pertenencia.

Tareas 1 y 2.

Unión.

Es el conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a dos o más conjuntos. La
unión de dos conjuntos

Representación gráfica:

• Cuando no tienen elementos
  comunes.

Tareas 1 y 2.

1. Escribe los nombres faltantes de
los elementos en los conjuntos.

2. Escribe los nombres faltantes de
los elementos en los conjuntos.

• Cuando tienen algunos elementos
  comunes.

Tareas 1 y 2.

1. Escribe los nombres faltantes de
los elementos en los conjuntos.

2. Escribe las letras faltantes de
los elementos en los conjuntos.

• Cuando todos los elementos de un conjunto
  pertenecen a otro conjunto.

Tareas 1 y 2.

1. Escribe las letras faltantes de
los elementos en los conjuntos.

2. Escribe las letras faltantes de
los elementos en los conjuntos.

Intersección.

Se define a la intersección que contiene el
conjunto de elementos comunes a dos conjuntos A y B.

Representación gráfica:

Tareas 1 y 2.

1. Escribe las letras faltantes de
los elementos en los conjuntos.

• Cuando tienen algunos elementos
  comunes

2. Escribe las letras faltantes de
los elementos en los conjuntos.

• Cuando todos los elementos de un conjunto
  pertenecen a otro conjunto

Diferencia

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al
conjunto C formado por todos los elementos de A, que no
pertenecen a B.

Tarea 1 y 2

1. Escribe los nombres faltantes de
los elementos en los conjuntos

Representación
gráfica:

2. Escribe los nombres faltantes de
los elementos en los conjuntos

Complemento (C), es el conjunto con los elementos
que le faltan a un conjunto (A) para que sea igual al conjunto
universal (U).

Representación
gráfica:

Tarea

1. Escribe los nombres faltantes de
los elementos en los conjuntos

Fracciones de conjuntos, ( Fc ), son
números fraccionarios que se usan para describir elementos
comunes de un conjunto.

Tarea

1. Escribe en letras y en
números cada fracción de elementos iguales que hay
en el conjunto,

Comparación entre
conjuntos

La comparación de la cantidad
de elementos de un conjunto puede estar entre los siguientes tres
casos:

• Tantos elementos
  como

El conjunto A tiene tantos platos
como el conjunto B

• Más elementos
  que

El conjunto C tiene más copas
que el conjunto D

• Menos elementos que el
  conjunto E tiene menos floreros que el conjunto
  F

Tareas 1, 2 y 3.

1. Escribe las palabras que faltan
en la frase de comparación de los conjuntos.

El conjunto G tiene ______ ______ _______
el conjunto H.

2. Escribe las palabras que faltan
en la frase de comparación de los conjuntos.

El conjunto I tiene ______ ______ _______
el conjunto J.

3. Escribe las palabras que faltan
en la frase de comparación de los conjuntos.

El conjunto K tiene ______ ______ _______
el conjunto L.

Estadística

Redondeo de datos

Los redondeos más usados son a la unidad, a la
décima o a la centésima más cercanos. El
número que se redondea permanece igual cuando el que se
desprecia es menor a 5 y aumenta en una unidad cuando es mayor a
5.

Ejercicios:

• 1. Redondear cada uno de los números
  siguientes:

Notación
científica

En números grandes, especialmente con varios
ceros, se usan las potencias de 10.

Ejemplos:

Ejercicios:

La media
aritmética

La media aritmética, media o promedio de un
conjunto de números es el resultado de dividir la suma de
estos números por el número total de números
del conjunto.

Ejemplo:

La nota promedio en matemáticas de un estudiante
de cuarto grado fue el promedio de sus cuatro notas
bimestrales:

Tareas 1, 2 y 3.

• 1. Seis compañeros de clase pesan: 54,
  46, 52, 48, 47 y 58 kg. ¿Cuál es el peso
  medio?

___________________________

• 2. El profesor de matemáticas desea
  conocer el promedio de las notas finales de los 10 alumnos de
  la clase. Las notas de los alumnos son:

¿Cuál es el promedio de notas de los
alumnos de la clase?

________________________________

• 3. Las edades de mis amigos y yo son: 12, 13,
  10, 9, 12 y 11 años.

¿Cuál es el promedio de nuestras
edades?

La mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los
datos cuando éstos están ordenados de menor a
mayor.

Conjunto impar

Cuando el conjunto de números es impar, el
número central del conjunto de números, ordenados
en forma creciente o decreciente, es la mediana.

Ejemplo:

Conjunto de números ordenados en forma
creciente:

3, 4, 7, 88

Mediana es el número central
7.

Conjunto par

Cuando el conjunto de números es par, el promedio
del par de números centrales, es la mediana.

Ejemplo:

Conjunto de números ordenados en forma
creciente

1, 2, 2, 5, 7, 7, 8, 9

Tarea 1.

• 1. Hallar la mediana del siguiente
  conjunto de números:

• a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.
  _________________

• b) 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 8, 9.
  ___________

• c) 4, 5, 7, 9, 2, 7, 5.
  _____________________

La moda

El valor del número presente más veces, es
decir, el valor más frecuente en un conjunto de
números ordenados creciente o decreciente es la
moda.

Ejemplos:

En el conjunto: 2, 2, 5, 5, 9, 9, 9, la moda es
9.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, no hay moda.

2, 3, 3, 5, 6, 6, 8, hay dos modas 3 y 6.

Los conjuntos con una moda se llaman
unimodales.

Los conjuntos con dos modas se llaman
bimodales.

Tareas 1, 2, 3 y 4

• 1. Hallar la moda de los siguientes conjuntos
  de números

a) 77, 78, 78, 78, 79, 80, 81, 81

• a) 356, 356, 357, 358, 359, 359

• b) 920, 921, 922, 923, 924, 925

• c) 763, 763, 764, 764, 765, 765

• 2. Escriba cuál es la moda del corte de
  pelo. ______________

• 3. Escriba cuál es la moda?
  minifaldas___, jeans__, shorts___, capris___?

• 4. Escriba cuál es la moda
  de los zapatos tenis _____________.

Probabilidad o
éxito

Cuando un evento puede presentarse de n maneras, o la
probabilidad de suceder de p formas, se llama probabilidad (p) o
éxito.

Ejemplo 1:

A la probabilidad p = 1, o de 100%, se llama certeza.
Con un dado, teóricamente debe caer en número
específico, por ejemplo 5, dentro de 6 lanzamientos
consecutivos.

Ejemplo 2:

Si una lotería vende un millón de
billetes, la posibilidad de ganarla comprando un solo billete es
una millonésima:

Para tener la certeza de ganarla tendría que
comprar el millón de billetes. Sin embargo, la posibilidad
de ganarla incrementa lentamente con cada billete adicional que
compre.

Si otra lotería vende 100 billetes, la
posibilidad de ganarla comprando con un solo billete es de una
centésima.

Para tener la certeza de ganarla tendría que
comprar los 100 billetes. Sin embargo, la posibilidad de ganarla
crece un poco mejor con cada billete adicional que se
compre.

Tareas 1 y 2

• 1. ¿Si en la escuela están
  vendiendo la rifa de un ponqué con 50 puestos,
  cuántos puestos debo comprar para tener una
  probabilidad del 60% de
  ganarlo?__________________.

• 2. ¿Si el tablero de una ruleta tiene 30
  cavidades para que se detenga la esfera, qué
  probabilidad tengo de ganar si hago 25 lanzamientos de la
  esfera consecutivos?_______.

Experimento aleatorio.

Es un procedimiento en el cual hay varios
posibles resultados finales, ejemplo: Lanzamiento de una
moneda.

Espacio muestral

Es el conjunto de los posibles resultados
de un experimento aleatorio, ejemplo, del lanzamiento de una
moneda:

Espacio muestral = {cara, sello}

Tareas 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

1. Haga 4 lanzamientos con dos
monedas y registre los resultados en la siguiente
tabla.

2. Observe el espacio muestral del
experimento de lanzar cuatro veces dos monedas y
escríbelo.

3. Contesta las siguientes
preguntas:

• ¿Cuántas y cuáles
  posibilidades se pueden obtener para este espacio muestral?
  _____.

_____________________________________________________________.

• ¿Qué posibilidades no se
  obtuvieron?___________________________________.