Teoría del consumidor, de la preferencia a la estimación

Introducción

Siendo las 6 de la mañana,cuando suena el reloj
despertador. Usted se levanta, prepara sudesayuno, y conduce
hacia el trabajo. Es así, como se da cuenta que al
preparar el desayuno, ha invertido una gran cantidad de tiempo y
que vive repitiendo en la oficina" mi tiempo es oro", pero al
preparar el desayuno no valoró lo suficiente su tiempo o
si no hubiese desayunado en una cafetería. De igual forma
observa que el tráfico estuvo bastantecongestionado, y que
conducir produce una desutilidad que hasta el momentonunca
había considerado.

Al pensar en Linda, se acuerda que su madre nunca
trabajó y que por el contrario hoy es muy común
encontrar que una gran parte de nuestros compañeros de
trabajo son mujeres, y entonces exclama: ¡Definitivamente
han cambiado los tiempos!

Linda repite en voz alta: "La economía es la
ciencia que estudia el comportamiento humano como una
relación entre los fines y los medios escasos que tienen
usos alternativos". Algo desconcertado, pide explicación y
entonces ella responde que si usted le paga $50.000 la hora, con
mucho gusto le explica el significado de aquella frase. Dos
días después de haber realizado una búsqueda
amplia por la biblioteca y recordando aquella frase "mi tiempo es
oro", piensa en que de pronto habría sido mejor haberle
pagado a Linda por la explicación.La situación
anterior es más común de lo que pensamos. La
mayoría de nuestras decisiones están determinadas
por la escasez de los recursos y servicios.

En estas páginas usted encontrará una
descripción de cómo opera el proceso de
asignación cuando agentes como usted y Linda enfrentan
restricciones, y cómo se verifica si estas restricciones
se cumplen.

Objetivo principal del
libro

El objetivo principal de este libro, consiste en mostrar
cómo la microeconomía puede ser aplicada a
situaciones que los consumidores enfrentan cotidianamente. Por
tal razón, se desarrolla el esquema formal de la
microeconomía, de tal forma que podamos aproximarnos a la
conducta de los agentes, siempre y cuando actúen bajo los
supuestos enunciados.

Límites a
la Elección

Las oportunidades de elegir una canasta de bienes son
directamente notorias para cualquier consumidor, y cualquier
variación en las oportunidades deberá influir
claramente sobre la elección, lo cual muestra que los
cambios en las elecciones ordinariamente son debidos a la
variación en el conjunto de oportunidades.

En la mayoría de los casos, cuando usted va a
comprar algún bien, no sólo encuentra el bien que
desea, sino que además encuentra otros productos que le
hacen reflexionar sobre los bienes que llevará. Lo que
esta situación muestra es que las condiciones sobre las
cuales se debe elegir han variado y, consecuentemente, el
conjunto de oportunidades ha cambiado.

El Conjunto de Oportunidades

El conjunto de oportunidades más común, se
puede describir cuando los hogares tienen un ingreso Y, el cual
gastan durante un período en m bienes, o en
algunos.

Dado que los bienes, o la cantidad de ellos, son
positivos, a precios positivos, la restricción puede
escribirse como:

• 1) 

Donde:

Y es el ingreso, pi los precios y xi las cantidades del
bien i. Supongamos queexisten dos bienes, Comida (x1) y Abrigo
(x2) a unos precios p1 y p2 , entonces lagráfica que
ilustra el límite al consumo de éstos
será:

Restricciones Típicas

Si se asume que las cantidades
mínimas de los dos bienes anteriores para sobrevivir son
x1Mínimo y x2Mínimo. La elección
estará determinada por el triángulo CDE
(Gráfica1.1).

De la anterior gráfica, un ingreso
menor a Y= p1x1Mínimo+ p2x2Mínimo no le
daría oportunidad de elegir al individuo.

Las restricciones pueden tomar diferentes
formas que son: muy pocos abrigos y más alimentos pueden
ser más necesarios que una gran cantidad de
abrigos.

Si, el consumidor comienza el
período 1 sin dinero, al mismo tiempo ahorra o pide
prestado a una tasa de interés de cero, el ingreso se
distribuye en los períodos Y1 y Y2 y todo se gasta,
entonces la restricción presupuestaria
será:

En la anterior restricción existe como supuesto
implícito un mercado eficiente y cero costos de
transacción.

No siempre es posible derivar directamente el conjunto
de oportunidades; supongamos los siguientes casos:

• El primer bien es perfectamente divisible, pero el
  segundo es disponible encantidades discretas.

• El pan puede ser consumido al medio
  día por un individuo, ya sea en Santafé
  deBogotá o en Santiago de Cali, pero no al mismo
  tiempo en ambas ciudades.

Restricciones no Lineales

Imaginemos una economía de trueque y sea A la
dotación inicial de alimentos y vestidos. Ahora, suponga
la existencia de dos grupos: el grupo de los glotones y el grupo
de los bien vestidos; el grupo de los glotones tiene comida y
desea vestidos y el grupo de los bien vestidos tiene ropa y desea
comida. Los dos grupos viven en una isla y están aislados
uno del otro; dado que no existe un medio único de
intercambio, tampoco existirá una razón
única de intercambio.

Como se puede ver en la presente grafica,la
información y los costos de transacción evitan al
grupo que desea intercambiar ropa por alimentos a través
de AC "iniciar un intercambio" con aquellos que desean cambiar
alimentos por ropa a través de AB. La tasa de intercambio
difiere en las dos direcciones, consecuentemente, los grupos
tienen diferentes tasas de intercambio. Una economía
totalmente monetizada, donde se utilice como patrón de
intercambio el dinero, eliminará las divergencias entre
dichas tasas de intercambio, lo que se puede observar a
través de la línea discontinua BC.

La no linealidad es más común de lo que se
piensa; podemos apreciar la existencia decobros diferenciales en
las tarifas de agua: al consumir grandes cantidades de m3 de agua
aun precio tendremos unos precios relativos entre el agua y los
otros bienes, y alconsumir más agua y pagar más por
este consumo los precios relativos cambiarán.

En las elecciones de trabajo es frecuente también
que existan no linealidades sobre todo en la elección de
ocio o en el comportamiento intertemporal. Si en algún
caso un individuo que elige el número de horas que puede
trabajar y, cada hora se paga a una tasa fija de salario
w.

Anexo a esto, el individuo tiene algún tipo de
transferencia ?? en el ingreso como herencias, premios de
loterías, etc. Si T es el número de horas
disponibles y x0 es el ocio, la restricción presupuestaria
vendrá dada por:

Se observa que cuando el individuo gasta todo su dinero
en los bienes y x es la cantidad de bienes que puede comprar
trabajando, la restricción (3) se puede escribir
como:

La elección del consumidor entre AB1 ó
AB2, en la gráfica (1.6), tenemos que es la
elección de cuánto el individuo decide trabajar y,
lo que quiere decir, que el desplazamiento a través de AB1
ó AB2 depende de los gustos, ya que AB1 y AB2 implican
diferentes salarios recibidos, distintas cantidades de los otros
bienes y diferentes elecciones de ocio.

Ahora bien, si existen impuestos al ingreso como
retención en la fuente e incentivos por productividad.
Después de un cierto número de horas de trabajo, el
individuo tendrá un mayor salario, como se observa en la
línea E-D de la Gráfica 1.7.

No obstante, la existencia de impuestos hace que el
incremento en el tiempo trabajado no sea igual al incremento en
el salario sino menor, lo cual se traduce en una pendiente menor
(- w) en la línea C-B como se puede apreciar:

Aunque B también es posible, es confiable que el
individuo pueda elegir C ya que implica un mayor salario.
Mientras que, cuando se trabaja más allá de D, lo
más conveniente será pagar más
impuestos.

Cuando las elecciones realizadas incluyen tres tipos de
trabajos, cada uno con diferente hora de trabajo y salario,
entonces:

Otra forma de no linealidades es introducida cuando en
el conjunto de oportunidades, la relación ocio-ingreso es
diferente de acuerdo con el período en el cual
éstos son consumidos:

Si el consumidor desea gastar más ingreso en el
período 1, deberá prestar a una tasade
interés y pagar en el período 2. Sin embargo si la
situación no es tan extrema y asumimos la existencia de la
tasa de interés, esto es, el consumidor paga una mayortasa
por pedir prestado, la restricción será menos
severa y será descrita por la líneaABE.

Por otro lado la pendiente está determinada por
el hecho de que la tasa de interés de pedir prestado
será diferente de la tasa de interés para
prestar.

Uno de los más importantes desarrollos, desde la
postguerra, en la teoría del consumidor, consiste en
aquellos modelos donde el hogar se ve como una función de
producción, esto es, cuando la combinación de los
bienes con el ocio se hace a través de una función
de producción de hogares.

Si existen dos bienes básicos Z1 y Z2, su
producto es limitado por el tiempo disponible en el hogar, por la
tasa de salario y por los precios del bien en el mercado. Si la
función de producción asigna una igual
sustitución entre tiempo y bienes de mercado como insumos,
una restricción típica podrá ser:

Otro ejemplo de no linealidades proviene de los modelos
que asignan una cantidad determinada de tiempo sobre un sitio en
modelos de demanda por recreación. Suponga que un
consumidor elige viajar a un lugar, x, y una canasta de bienes Z.
En cada viaje se consume t, donde t es el tiempo sobre el
lugar:

Donde h es el tiempo usado en trabajar. El agente elige
la cantidad de tiempo para trabajar si h es endógeno.
Cuando el agente elige una determinada cantidad de tiempo para
trabajar los ingresos serán:

Por lo tanto, la restricción presupuestaria no
será lineal en el precio de x, px. Haciendo px= 1 se
obtiene:

Resumidamente, la existencia de no linealidades en la
restricción presupuestaria es muy común y estas no
linealidades producirán variaciones diferentes en el
conjunto de oportunidades de elección de los agentes,
afectando así las elecciones realizadaspor
éstos.

Múltiples
Restricciones

En algunos casos el consumidor no se enfrenta a una sola
restricción, sino a múltiples restricciones, por lo
cual podría estar racionado en un conjunto de
bienes.

Si el individuo desea realizar una serie de elecciones
entre una serie de bienes como deportes, ocio, educación,
etc., a las que denominaremos xi . De igual forma, el consumir
una unidad (i) requiere una cantidad de tiempo
i=1,2,…….,n. Por lo cual las restricciones para el
consumidor serán:

Donde Y es el ingreso del individuo, ti el tiempo
dedicado a la actividad (i) y T el tiempo total
disponible.

Preferencias
Individuales

En el presente capítulo se desplegará el
marco teórico asociado con el concepto de preferencia. El
elemento fundamental en la teoría microeconómica
está relacionado directamente cómo los individuos
realizan sus decisiones y cómo seleccionan alternativas de
un conjunto disponibles de las mismas.

La teoría postula que cada individuo ordena las
alternativas de acuerdo con su preferencia relativa. Y de esta
forma, cuando el individuo realiza una elección,
ésteelige la alternativa con aquello que más tiene
de todo lo posible.

Preferencias Individuales

Si se asume la existencia de n alternativas,
éstas pueden contener n bienes que usted puede poseer, n
posibles candidatos por los cuales votar, n empleos a optar, etc.
En general, cuando hay n alternativas en algún orden que
desea, usted podrá expresar un orden de preferencias por
las mismas.

Existen dos propiedades importantes en su
lista:

• Primera, es posible comparar dos alternativas
  diciendo cuál de las dos es mayor; asimismo, una es
  más preferida que la otra, o cuando ella tiene el
  mismo nivel.

• Segunda, dada la naturaleza de las preferencias la
  misma, no es cíclica2, lo que quiere decir, sila
  primera alternativa es mayor que la segunda, y también
  mayor que la tercera,entonces la primera alternativa es mayor
  que la tercera.

Ahora, se puede establecer un orden, y si solamente
algunas de las alternativas son posibles, entonces se
podrá seleccionar aquella alternativa que más
prefiera.

Definición Formal

• Reflexibilidad

• Completitud

Para todos los elementos x, q en X se cumple que x q
ó q x o ambos. Este supuesto simplemente nos dice que dos
canastas pueden ser comparadas.

• Transitividad

Estas relaciones de preferencias se utilizan para
caracterizar los deseos de los consumidores,por varias
combinaciones de bienes. Los bienes son indexados de 1 hasta m.
Una canasta de bienes es una colección de varias
cantidades de esos m bienes, y la cantidad de cada bien en una
canasta es un número real positivo. Se puede observar una
canasta como la representación de un vector m-dimensional
de números no negativos, comúnmente se asume que
los bienes son divisibles.

• Continuidad

No obstante, la continuidad no asegura la posibilidad de
que la superficie de la curva de indiferencia pueda contener
conjuntos cerrados. Por ejemplo, en el conjunto de preferencias
lexicográficas:

Como se puede observar en el caso de dos dimensiones,
considere un conjunto cuyo contorno superior corresponda al
elemento x = (1,1), esto es, el conjunto de elementos q x cuya
gráfica es (2.2), claramente no es cerrado debido a que la
frontera del conjunto por abajo (1,1) no está contenida en
el conjunto. Por ejemplo

• Insaciabilidad

La Función de Utilidad

Mientras que la ordenación de preferencias sea
completa, transitiva, reflexiva y continua, entonceslas
preferencias se pueden representar a través de una
función de utilidad continua.

La función de utilidad u, es una función
con valores reales, definida sobre el conjunto X, es así
que el orden de las preferencias sobre X se preserva por la
magnitud deu.

Sin embargo las relaciones de preferencias pueden ser
representadas por funciones deutilidad, pero si la
relación de preferencias es continua sobre entonces
éstapuede ser representada por una función de
utilidad.Consiguientemente, sí las preferenciasson
reflexivas, transitivas, completas y continuas, u(x) representa
dichas preferenciasy deberá cumplirse: Primero, u(x) es
estrictamente creciente sí y sólo sí
laspreferencias son monótonas. Segundo, u(x) es
cuasiconcava sí y solo sí las preferenciasson
convexas y tercero u(x) es estrictamente cuasiconcava sí y
solo sí laspreferencias son estrictamente
convexas

Invarianza de la función de
utilidad

La invarianza en la función de
utilidad deberá incluir como requisitos adicionales:
mantener la invarianza en la descripción, la invarianza en
el procedimiento y la invarianza en el contexto.

• a) Invarianza en la
  descripción

Este requisito requiere que las preferencias entre las
opciones no dependan de la forma en la cual ellas son
presentadas. Es así como se presentan dos descripciones
del mismo problema deberán llevar a la misma
elección [Arrow (1982), Tversky y Kahneman (1986)];
proveen el siguiente ejemplo, que viola esta
propiedad.

Problema: (126 individuos participaron en el
experimento): Asuma que usted se enriquece en $300 más que
hoy, y debe realizar una elección entre:

• Una ganancia segura de $100 (72% de los individuos
  eligieron esta opción).

• 50% de oportunidad de ganar $200 y 50% de
  oportunidad de no ganar nada

(28% de los individuos eligieron esta
opción).

Problema :128 individuos participaron en el
experimento): Asuma que usted seenriquece en $500 más que
hoy, y debe realizar una elección entre:

• Una pérdida segura de $100 (36% de los
  individuos eligieron esta opción).

• 50% de oportunidad de no perder nada y 50% de
  oportunidad de perder $200

(64% de los individuos eligieron esta
opción).

Ya que los dos problemas son idénticos, la
variación en la descripción tiene ungran efecto en
las preferencias.

• b) Invarianza en el
  procedimiento

Dicha propiedad requiere que los métodos de
"extraer" las preferencias mantengan el mismo orden en ellas,
entonces dos procedimientos diferentes deberán mantener el
mismo orden en las preferencias. Por esta razón este
fenómeno está asociado directamente a la existencia
de inversión en las preferencias descrito inicialmente.
Ahora bien considere un individuo que tiene la oportunidad de
jugar dos loterías representadas en la gráfica
siguiente

Tenemos:

• La lotería A da un pago de $4 con una gran
  certeza y un pago de $0 con una pequeña
  probabilidad.

• La lotería B da un pago de $16 con una
  probabilidad de un 30% y unpago de $0 con una probabilidad de
  70%.

La lotería A es llamada P-Bet debido a que la
probabilidad de ganar es muy grande y la lotería B es
llamada $-Bet debido a que la cantidad a ganar es muy grande.
Cuando los individuos son preguntados por suelección la
mayoría elige A.

Del mismo modo, cuando se les pregunta, cuánto
pagarían por el derecho a jugar las loterías, el
mismo individuo desearía pagar más por el derecho a
jugar la lotería B. Es así como la inconsistencia
en el comportamiento es evidente, mostrando asimetría en
el procedimiento.

• c) Invarianza en el
  contexto

Tenemos que el último requisito consiste en la
invarianza en el contexto, definido por el conjunto deopciones
bajo consideración. De acuerdo con Tversky (1996) uno de
los supuestosbásicos en una elección racional
consiste en que cada alternativa tiene una utilidad quedepende
solamente de esa alternativa. Lo que quiere decir, que una
opción no preferida, nopuede preferirse si se adicionan
nuevas alternativas al conjunto de elección. Lo
contrariomostraría que no existe invarianza en el
contexto. Esta hipótesis implica que si no
existeinvarianza, la "'parte del mercado' de x podría
incrementarse al adicionar a {x,y} unatercera alternativa z que
es claramente inferior a x pero no a y".

El problema básico del
consumidor

Ahora bien se deberá incluir los precios en
nuestro modelo básico. Cualquier consumidor ha
experimentado que sus deseos de elegir m bienes se ven frustrados
cuando decide ir al mercado, a un centro comercial, etc. Esta
frustración no es más que la confirmación de
que aun cuando se tienen preferencias por los bienes,
éstas por sí solas no bastan, lo que quiere decir
que, existen restricciones como la cantidad de dinero que
poseemos en nuestros bolsillos para comprar dichos
bienes.

Restricciones
Múltiples

Dualidad

Otros de los aspectos importantes en la teoría
del consumidor, consiste en la dualidad. Dicha herramienta es una
de las más usadas en la estimación de modelos.
Primordialmente la dualidad expresa la relación entre los
bienes por un lado y los precios por el otro. Es así como,
el consumidor podrá elegir entre maximizar la
función de utilidad sujeto a la restricción de
presupuesto o, minimizar su gasto en una serie de bienes siempre
y cuando, la función de utilidad permanezca constante. El
problema se plantea como:

Propiedades de la función indirecta de
utilidad

Entre las propiedades usuales de la función
indirecta de utilidad, tenemos

Propiedades de la función de
gasto

Las propiedades usuales de la función de gasto,
son:

Propiedades de las funciones de
demandas Marshallianas y Hicksianas

• Adición

El valor total de las demandas Hicksianas y
Marshallianas serán los gastos totales:

Homogeneidad

Simetría

Las derivadas transversales de los precios, en las
demandas Hicksianas son simétricas:

Negatividad

Tenemos entonces que las propiedades básicas de
las curvas de demanda son la adición, la homogeneidad de
grado cero en precios e ingreso. Por lo tanto, serán
simétricas las respuestas en precios y formarán una
matriz semidefinida negativa. Si la simetría y negatividad
son comprobables entonces es posible observar la matriz de
sustitución de Slutzky.

Trayectorias de
expansión

Prácticamente la función de demanda cambia
ante un cambio en precios o ingreso; estecambio puede observarse
en términos de la estática comparativa: Presuma que
losprecios están fijos pero el ingreso del consumidor
lentamente se incrementa, entoncesa partir de la colección
de puntos resultantes se podría trazar una trayectoria en
elortante no negativo que se denomina trayectoria de
expansión del ingreso. Estatrayectoria puede ser
proyectada en un plano definido por dos bienes, mostrandodicha
trayectoria la expansión del ingreso relativo a estos dos
bienes de la siguienteforma:

Se puede apreciar que, la gráfica (2.7.a) muestra
un conjunto de bienes normales: el consumo de los bienes x1 y x2
se incrementa cuando el ingreso se incrementa.

Mientras que en la gráfica (2.7.b) el bien x2 es
un bien inferior, lo que quiere decir que, el consumo cae en
tanto el ingreso aumenta. Cuando la demanda de un bien se grafica
como una función del ingreso, el resultado se conoce como
La curva de Engel para dicho bien. Adicionalmente, en el
caso de que las preferencias sean homotéticas, se cumple
que u (tx)= tu(x) ?t > 0, entonces, la trayectoria de
expansión y la curva de Engel será una línea
de trazo continuo como en la gráfica (2.7.c).

La tasa marginal de
sustitución

Imagine la curva de indiferencia u(x1, x2) = u1 cuya
representación está dada por la gráfica
(2.6) para algún valor fijo de u??Dicha curva puede ser
pensada como la función x2(x1). De dichas curvas se define
la tasa marginal de sustitución del bien 2 por el bien 1
como:

La tasa marginal de sustitución, es la pendiente
de la curva de indiferencia, y su sentido económico no es
mas que la cantidad que se está dispuesto a renunciar del
consumo del bien 1 por consumir unidades adicionales del bien 2,
es por ello que la tasa marginal de sustitución definida
de la anterior forma decrece cuando x1 crece.

Elasticidad

El sistema Lineal de Gasto

Este sistema (LES) es una generalización de la
función de utilidad Cobb- Douglas. Fue desarrollado por
Klein y Rubin (1947-48) y Samuelson (1947-48). Investigado
empíricamente por Stone (1954) y Geary (1950), por lo cual
se le da el nombre Stone-Geary. El sistema lineal de gasto es
básicamente una Cobb-Douglas trasladada en el origen al
punto (B1,B2), en el cuadrante positivo:

Para 1979 Howe, Pollack y Wales, evalúan un LES
usando los siguientes bienes: alimentos, ropa, abrigos y
misceláneos denominados por f, c, s y m respectivamente;
los datos fueron tomados del consumo en Estados Unidos entre 1929
y 1975 excluyendo los años de guerra(1942-1945), de donde
se obtiene:

La función de Utilidad Indirecta
Addilog

Como se ha podido apreciar en los ejercicios anteriores,
es posible derivar las funciones de demanda de los bienes a
través de maximizar la utilidad, sujeta a la
restricción de gasto. Pero, la solución no siempre
es estimable. La teoría de la dualidad sugiere que una
alternativa es especificar una función indirecta de
utilidad, una función que es no decreciente en el ingreso,
no decreciente y cuasi convexa en precios, continua y
homogénea de grado cero en precios e ingreso. De esta
forma, a partir de la función de utilidad indirecta que
corresponda a algún tipo de preferencias del consumidor
puede recuperarse la demanda con la identidad de Roy. Una forma
funcional es la función "addilog" de utilidad indirecta
introducida por Houthakker (1965):

Las especificaciones
Translogarítmicas

La función de utilidad translogarítmica
proviene de Christensen, Jorgenson y Lau (1971,1975). Esta ha
sido la forma funcional más usada en análisis
empíricos de demanda. Una de las ventajas de la
translogarítmica es su forma funcional flexible, ya que
puede ser aproximada de una función de segundo orden por
Taylor a una función de utilidad indirecta arbitraria. La
especificación translogarítmica básica viene
dada por:

La última ecuación muestra que las partes
del gasto son independientes del ingreso, lo cual confirma que
las preferencias son homotéticas.

El sistema Casi – Ideal de Gasto
AIDS

El sistema de ecuaciones de demanda puede ser derivado a
partir de la función de gasto. Suponiendo que éste
es continuo y no-decreciente precios y utilidad, y además
cóncavo y homogéneo de grado cero,
entonces:

El modelo de Rotterdam

Este modelo es parecido alStone-Geary, sólo que
en lugar de trabajar con los niveles de los logaritmos se usan
las diferencias de los mismos, esto es, diferenciando (2.51) se
obtiene:

La Demanda del
Consumidor

Si hablamos de la Demanda del Consumidor, se puede decir
que es la cantidad que un consumidor desea comprar de una seriede
bienes, ya sea expresada como una función de los precios y
el ingreso o como unafunción de la utilidad y de los
precios.

Si las decisionesque toma el consumidor contradicen los
supuestos, entonces el consumidor esconsiderado
irracional.Efectivamente, un estudio en sicóticos
crónicos realizado en unainstitución mental en New
York (USA) demostró que aquellas personas a quien
lasociedad considera como "irracionales" siguen la famosa ley de
la demanda: "compranmenos cuando aumentan los
precios".

Unicidad y continuidad

En la grafica (3.1) se puede observar que la demanda que
corresponde a un vector de precios e ingreso podría no ser
única); allí existen dos soluciones xa y xb
correspondientesa la restricción de presupuesto. Desde un
punto de vista técnico, la condición quegarantiza
una función de demanda única consistirá
en:

El excedente del consumidor y disponibilidad a
pagar

El objetivo principal de esta sección,
será dar respuesta a la siguiente interrogante

¿Qué sucede cuando el
entorno que rodea al consumidor cambia?

Imaginemos a un consumidor con preferencias racionales,
continuas y localmente no saciadas. De la misma forma se asume
que las funciones de gasto y utilidad indirectas son
diferenciables, y concentraremos nuestro interés en los
cambios de precios.

Así como la función de utilidad derivada
es suficiente para realizar alguna comparación,
también existe una función de utilidad indirecta
que lleva a una medida del cambio de la riqueza en unidades
monetarias (pesos) que se puede denominarutilidad indirecta
métrica monetaria y que se construye a través de la
función degasto.Especialmente, se parte de la
función de utilidad indirecta v (. ), Eligiendo unvector
de precios arbitrarios estrictamente positivo, y a partir de la
funcióne (, v(p, y)),se puede obtener la riqueza necesaria
para alcanzar el nivel de utilidad v(p, y) cuandolos precios son
p. Observe también que la función de gasto es
estrictamente creciente,ya que depende del nivel de v(p, y).
Así, una medida del cambio de la riquezaexpresada en pesos
vendrá determinada por:

Es así como, la utilidad indirecta métrica
monetaria puede ser construida para algún vector de
precios. Dichas elecciones llevan a dos medidas en torno al
cambio de la riqueza: la primera conocida como la
variación equivalente (VE) y la segunda como la
variación compensatoria (VC).

Gráficamente, estas medidas se pueden ver
como:

Las variaciones equivalentes y compensatorias
podrían diferir si el vector de precios(que asume la
compensación) difiere. El cambio en la riqueza producido
por una variación en el precio del bien 1 puede ser medido
a través de la curva de demanda marshallian. De esta
forma, si definimos la medida de variación (MV)
como:

Y si no existen efectos de riqueza en el bien 1,
entonces esta medida de variación es exactamente igual a
las medidas equivalentes y compensatorias.

La disponibilidad a pagar

Presuma que un consumidor tiene la oportunidad de
comprar una cantidad x de un bien. Nosotros deseamos determinar
cuánto de esta oportunidad corresponde al "esfuerzo",
medido en unidades de gasto sobre otros ítems. Para fijar
este valor, deberemos usar la gráfica anterior (33), pero
ahora la curva muestra la curva inversa de la demanda del
consumidor compensada. Dicha curva resulta de fijar la utilidad
u0 al valor original (x=0) y calcular su forma inversa. El
consumidor estará dispuesto a pagar más por cada
unidad y la utilidad permanecerá constante durante este
proceso. Es así como, la cantidad total que se
estaría dispuesto a pagar será:

La compensación
exigida

La compensación exigida CE, refleja lo que se
demandaría con el fin de aceptar un cambio que empeore su
situación, o renunciar a un cambio que mejore su
situación. Cuando el precio cae la CE es equivalente a la
VE y cuando el precio aumenta la CE es equivalente a la VC. Por
otro lado la CE no está limitada por la renta, por lo cual
su principal efecto será en términos de
sustitución.

Comparación entre la
disponibilidad a pagar y la compensación
exigida

A pesar de que ambas medidas teóricamente
representan los mismos resultados, los estudiosde Hahneman
(1991), Kahnemann, Knetsh y Thaler (1990) han mostrado quedichas
medidas difieren. Por otro lado, existen asimetrías entre
lo que unindividuo está dispuesto a aceptar y entre lo que
un individuo estaría dispuesto arenunciar (Kahnemann,
Knetsh y Thaler, 1990). Ahora bien, si existe un punto
dereferencia entre ambas medidas, las propiedades de la
función de utilidad subyacentehacia dichas medidas
diferirán en convexidad y dirección, esto
significaría dependenciacon respecto al punto de
referencia (pérdidas y ganancias), aversión al
riesgoy, por último, el valor marginal de las
pérdidas y las ganancias disminuye con su
tamaño.[Tversky y Kahneman

Integrabilidad de la función de
utilidad

A partir de la función de demanda x (p, y) se
puede recobrar la función de utilidad subyacente, en lo
que se conoce como Integrabilidad. Suponga que nosotros tenemos
un función de demanda continua y diferenciable x(p,y). Si
esta función se encuentra bien definida y se cumple el
supuesto de insaciabilidad local (y la ley de Walras) asegurando
la igualdad, entonces como previamente se ha demostrado,
deberán cumplirse las siguientes condiciones:

Usando el Lema de Shepard como la relación entre
la demanda compensada y la función de gasto,
encontramos:

Preferencias
reveladas

Los axiomas básicos sobre las preferencias son
criticados por ser demasiado fuertes, ya sea en su pre
ordenamiento o en su ordenamiento completo. Sin embargo, a menudo
observamos cómo los individuos realizan elecciones, aunque
las restricciones sobre el conjunto de preferencias no sean
observables. Una forma de hacer compatibles los supuestos sobre
las preferencias y las decisiones que observamos en el mercado,
consiste en lo que comúnmente se denomina como
preferencias reveladas.

Preferencia revelada
directamente

Condición suficiente para
maximizar la utilidad

Si las elecciones (p,x) fueron generadas por un
consumidor que maximiza su utilidady sus preferencias cumplen el
supuesto de insaciabilidad, entonces estas eleccionessatisfacen
las preferencias reveladas directamente. Formalmente se requiere
el cumplimientodel teorema de Afriat.

Agregación

Ahora bien, un punto de suma importancia consiste en la
agregación sobre los individuos, ya que el comportamiento
agregado de los consumidores, en muchas situaciones, es
más importante que el comportamiento de un consumidor en
particular. Y desde un punto de vista econométrico,
deberán existir restricciones en la agregación
cuando se estimen las funciones de demanda.

En torno a la demanda agregada se deberá discutir
en primer lugar si ésta puede ser expresada como una
función de los precios y de la riqueza agregada. En
segundo lugar, si las restricciones individuales sobre las
preferencias se sostienen en el agregado; y en tercer lugar,
cómo se medirían dichos cambios agregados. Una
agregación perfecta en un período, depende de que
todos los precios sean los mismos para todos los individuos.
Así, las variaciones provienen por parte de la riqueza que
cada individuo posee.

Agregación
lineal

Supongamos la existencia de I consumidores con
preferencias racionales y funciones Walrasianas de demanda
xi(p,Wi). Dados unos precios y unos niveles de riqueza
(W1,…, WI) para Iconsumidores y m bienes, la demanda
agregada viene determinada por:

La presente condición implica invarianza en la
demanda agregada ante cambios en la redistribución de la
riqueza, gráficamente esto se puede observar
como:

En la grafica se observa que para todos los consumidores
las trayectorias de expansión de la riqueza son
paralelas.Una condición necesaria y suficiente para que el
conjunto de consumidores tenga trayectorias de expansión
de riqueza paralelas consistirá en que las preferencias
admitan funciones de utilidad indirectas tipo GORMAN:

Vi(p,Wi) = ai(p) +
b(p)Wi

En dicha ecuación deberá ser igual para
todos los agentes y ai podría diferir entre todos los
consumidores [Luenberger (1995), Mas-Collel et-al (1995)]. Deaton
(1980) considera que ai puede interpretarse como el gasto de
subsistencia que debería ser igual para todos los agentes
que pertenecen a una comunidad. A través de la identidad
de Roy, se puede demostrar que las demandas vienen definidas
como:

Xi(p,Wi) = Ai(p) +
B(p)Wi

Y la demanda agregada, sobre todos los consumidores,
viene definida por:

Lo cual muestra que la demanda agregada depende de los
niveles de ingreso solamente con relación a la riqueza
total.Por otro lado, la demanda de un bien deberá ser
cero, siempre que Wi sea cero. En el caso básico ai
debería ser cero, pero todo depende del bien en
cuestión.

Suponiendo que existe una distribución uniforme
de la riqueza a través de los consumidores, en el caso de
dos bienes, una relación positiva mostraría que
aquellos consumidores con un consumo mayor que el promedio de un
bien, gastan una fracción mayor que el promedio de la
última unidad de riqueza sobre el bien:

Agregación no lineal

Una agregación lineal exacta requiere que la
demanda promedio del mercado estéen función de
gasto total promedio.

El conjunto de ecuaciones diferenciales parciales pueden
integrarse para encontrar la función de gasto, esto es,
para el hogar h la función de gasto toma la
forma:

Separabilidad

Estructura de las
preferencias.

Independencia.

Un orden de preferencia representado por una
función de utilidad u (y, z). Entonces, si y es
independiente de z la función de utilidad
será:

Donde U(n,z) es estrictamente creciente en
n. Si u es continua y fuertemente monótona, entonces n y u
son continuas.

Débil y fuerte
independencia.

Separabilidad de las
preferencias.