Introducción
Una distribución de probabilidad es continua
cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de
variables aleatorias continuas, es decir, de variables
cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan
principalmente del proceso de medición.
Ejemplos de variables aleatorias continuas
son:
La estatura de un grupo de personas
El tiempo dedicado a estudiar
La temperatura en una ciudad
Distribución
exponencial
i) Definición
La distribución de Poisson calcula el
número de eventos sobre alguna área de oportunidad
(intervalo de tiempo o espacio), la distribución
exponencial mide el paso del tiempo entre tales eventos. Si el
número de eventos tiene una distribución de
Poisson, el lapso entre los eventos estará distribuido
exponencialmente.
ii) Fórmula
La probabilidad de que el lapso de tiempo sea menor que
o igual a cierta cantidad x es:
Ejemplo ilustrativo
Los buses interprovinciales llegan al terminal a una
tasa promedio de 10 buses por hora.
1) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue
un bus en no más de 5 minutos?
2) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue
un bus en no más de 10 minutos?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue
un bus entre 5 minutos y 10 minutos?
4) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue
un bus en más de 5 minutos?
Solución:
Interpretación: Existe un 56,54% de
probabilidad de que el segundo bus llegue al terminal en 5
minutos o menos del primero si la tasa promedio de llegada es de
10 buses por hora.
2) El porcentaje que representa 10 minutos de una hora
(60 minutos) es:
En los cálculos en Excel se muestran en la
siguiente figura:
Distribución
uniforme
i) Definición
Es una distribución en el intervalo 
en la cual las probabilidades
son las mismas para todos los posibles resultados, desde el
mínimo de a hasta el máximo de b. El
experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la
distribución uniforme, ya que todos los 6 resultados
posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia.
ii) Función de densidad de una
distribución uniforme (altura de cada
rectángulo en la gráfica anterior) es:
Donde:
a = mínimo valor de la
distribución
b = máximo valor de la
distribución
b – a = Rango de la distribución
Ejemplo ilustrativo
Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante
recibe clases en un determinado día entre las siguientes
horas: 7:00 – 8:00 – 9:00 – 10:00 – 11:00 – 12:00 –
13:00
1) ¿Cuál es la función de densidad
de la variable X?
2) Elaborar un gráfico de la distribución
de probabilidades
3) Calcular el valor medio esperado
4) Calcular la desviación
estándar
5) Calcular la probabilidad de que llegue en la primera
media hora
6) Si recibe clases de Estadística Aplicada de
10:00 a 12:15, calcular la probabilidad de recibir esta
asignatura.
Solución:
1) a = 7 y b = 13
Reemplazando valores en la ecuación de la
función de densidad se obtiene:
2) Elaborando el gráfico de la
distribución de probabilidad empleando Excel se
obtiene:
Interpretación:
Cada rectángulo tiene 1 de base y 1/6 = 0,167 de
altura.
El área de cada rectángulo es:
3) Reemplazando valores en la fórmula del valor
esperado se obtiene:
5) Llegar en la primera media hora significa que llega a
la 7:30. Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre las
7:00 y las 7:30.
En el siguiente gráfico se muestra la
probabilidad calculada:
6) Se debe calcular la probabilidad entre las 10:00 y
las 12:15
En el siguiente gráfico se muestra la
probabilidad calculada:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
Distribución
normal
i) Reseña histórica
Abrahan De Moivre (1733) fue el primero en obtener la
ecuación matemática de la curva normal. Kart
Friedrich Gauss y Márquez De Laplece (principios del siglo
diecinueve) desarrollaron más ampliamente los conceptos de
la curva. La curva normal también es llamada curva de
error, curva de campana, curva de Gauss, distribución
gaussiana o curva de De Moivre.
Su altura máxima se encuentra en la media
aritmética, es decir su ordenada máxima corresponde
a una abscisa igual a la media aritmética. La
asimetría de la curva normal es nula y por su grado de
apuntamiento o curtosis se clasifica en
mesocúrtica.
ii) Ecuación
Su ecuación matemática de la
función de densidad es:
Para calcular Y en Excel se procede de la siguiente
manera:
a) Se ubica valores para X del -3 hasta el 3. Se
insertar la función DISTR.NORM.ESTAND.N. En la ventana de
argumentos de función, en Z se seleccionada A2 que
representa al -3, y en Acumulado es escribe FALSO. Clic en
Aceptar. Se arrastra con el mouse para obtener los demás
valores.
b) Para obtener la gráfica se inserta
gráfico de dispersión.
Nota: No existe una única
distribución normal, sino una familia de distribuciones
con una forma común, diferenciadas por los valores de su
media y su varianza. De entre todas ellas, la más
utilizada es la distribución normal
estándar, que corresponde a una distribución
con una media aritmética de 0 y una desviación
típica de 1.
iii) Área bajo la curva
El área total limitada por la curva y el eje "X"
es 1, por lo tanto, el área bajo la curva entre X = a y X
= b, con a < b, representa la probabilidad de que X
esté entre a y b. Esta probabilidad se denota
por:
Esta probabilidad se ilustra en el siguiente
gráfico elaborado con el programa Winstats.
Para elaborar el gráfico se procede de la
siguiente manera:
a) Se abre el programa. Clic en Window-
Probability
b) Clic en Normal
c) Para cambiar el color del fondo, maximizar la ventana
de la curva. Clic en Edit-Colors y luego en Window background.
Seleccionar el color blanco para el fondo.
d) Para escribir, clic en Btns y luego en Text mode.
Clic derecho en cualquier parte de la pantalla. Luego escribir en
la venta edit text. Clic en ok
e) Se obtiene el siguiente gráfico
Ejemplos ilustrativos
1) Averigüe el área bajo la curva de
distribución normal entre Z = 0,8 y Z = 2,12
Solución:
Realizando el gráfico en Winstats y Paint se
obtiene:
El área a la izquierda de Z = 0,8 con lectura en
la tabla de la distribución normal es 0,7881
El área a la izquierda de Z = 2,12 con lectura en
la tabla de la distribución normal es 0,9830
El área Z = 0,8 y Z = 2,12 es 0,9830 –
0,7881 = 0,1949
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
2) Halle Z si el área entre -1,5 y Z es
0,0217
Solución:
Realizando un gráfico ilustrativo en Winstats y
Paint se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
3) El peso de 200 estudiantes varones de cierta
universidad es 151 libras, y la desviación típica
es 15 libras. Si los pesos están distribuidos normalmente,
calcular la probabilidad y el número de estudiantes que
pesan Entre 120 y 155 libras
Solución: La curva normal corresponde a
una función continua (valor decimal). Para resolver estos
problemas se emplea los límites inferior y superior
según sea el caso, es decir, para este problema es entre
119,5 y 155,5 libras
Normalizando los datos se tiene:
Graficando se obtiene:
El área a la izquierda de Z = 0,3 con lectura en
la tabla de la distribución normal es 0,6179
El área a la izquierda de Z = -2,1 con lectura en
la tabla de la distribución normal es 0,0179
El área entre -2,1 y 0,3 es 0,6179 – 0,0179
= 0,6 = 60%
El número de estudiantes es 0,6 x 200 =
120
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
4) Las calificaciones que obtienen los alumnos en un
examen siguen una distribución normal, siendo la media
igual a 14. El 70% de los alumnos obtienen una
calificación inferior a 16.
4.1) Calcule la desviación típica de las
calificaciones
4.2) Se escoge un alumno al azar, calcule el porcentaje
de obtener una calificación superior a 18
Solución
4.1)
Si el área es inferior al 70%, entonces con
lectura en la tabla se obtiene el valor de Z = 0,52
Reemplazando valores en la fórmula y realizando
las operaciones se obtiene:
El gráfico elaborado en Winstats es:
4.2)
Reemplazando valores en la fórmula se obtiene el
siguiente número Z:
Con lectura en la tabla para Z = 1,05 se obtiene un
área de 0,8531, la cual representa una probabilidad
inferior a la calificación de 18
Para calcular la probabilidad de obtener una
calificación superior a 18 se realiza la siguiente
operación:
El gráfico elaborado en Winstats y en Paint
es:
Por lo tanto existe una probabilidad de 14,7% de obtener
una calificación superior a 18
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
Autor:
Mario Orlando Suárez Ibujes