Estimación de intervalo de confianza para la media (o desconocida)
Se emplea la siguiente fórmula:
La distribución t supone que la población
está distribuida normalmente. Esta suposición es
particularmente importante para n ( 30. Pero cuando la
población es finita y el tamaño de la muestra
constituye más del 5% de la población, se debe usar
el factor finito de corrección para modificar las
desviaciones estándar. Por lo tanto si cumple:
Siendo N el tamaño de la población y n el
tamaño de la muestra
Antes de seguir continuando es necesario estudiar la
distribución t de Student, por lo que a
continuación se presenta una breve explicación de
esta distribución.
Al comenzar el siglo XX, un especialista en
Estadística de la Guinness Breweries en Irlanda llamado
William S. Gosset deseaba hacer inferencias acerca de la media
cuando la 
fuera
desconocida. Como a los empleados de Guinness no se les
permitía publicar el trabajo de investigación bajo
sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de
"Student". La distribución que desarrolló se conoce
como la distribución t de Student.
Si la variable aleatoria X se distribuye normalmente,
entonces el siguiente estadístico tiene una
distribución t con n – 1 grados de libertad.
Entre las principales propiedades de la
distribución t se tiene:
En apariencia, la distribución t es muy similar a
la distribución normal estandarizada. Ambas distribuciones
tienen forma de campana. Sin embargo, la distribución t
tiene mayor área en los extremos y menor en el centro, a
diferencia de la distribución normal. Puesto que el valor
de es desconocido, y se
emplea S para estimarlo, los valores t son más variables
que los valores Z.
Los grados de libertad n – 1 están directamente
relacionados con el tamaño de la muestra n. A medida que
el tamaño de la muestra y los grados de libertad se
incrementan, S se vuelve una mejor estimación de y la distribución t
gradualmente se acerca a la distribución normal
estandarizada hasta que ambas son virtualmente idénticas.
Con una muestra de 120 o más, S estima con la suficiente precisión como
para que haya poca diferencia entre las distribuciones t y Z. Por
esta razón, la mayoría de los especialistas en
estadística usan Z en lugar de t cuando el tamaño
de la muestra es igual o mayor de 30.
Como se estableció anteriormente, la
distribución t supone que la variable aleatoria X se
distribuye normalmente. En la práctica, sin embargo,
mientras el tamaño de la muestra sea lo suficientemente
grande y la población no sea muy sesgada, la
distribución t servirá para estimar la media
poblacional cuando sea
desconocida.
Los grados de libertad de esta distribución se
calculan con la siguiente fórmula
Donde n = tamaño de la muestra
Ejemplo: Imagínese una clase con 40
sillas vacías, cada uno elige un asiento de los que
están vacíos. Naturalmente el primer alumno
podrá elegir de entre 40 sillas, el segundo de entre 39, y
así el número irá disminuyendo hasta que
llegue el último alumno. En este punto no hay otra
elección (grado de libertad) y aquel último
estudiante simplemente se sentará en la silla que queda.
De este modo, los 40 alumnos tienen 39 o n-1 grados de
libertad.
Para leer en la tabla de la distribución t se
procede de la siguiente manera:
Usted encontrará los valores críticos de t
para los grados de libertad adecuados en la tabla para la
distribución t. Las columnas de la tabla representan el
área de la cola superior de la distribución t. Cada
fila representa el valor t determinado para cada grado de
libertad específico. Por ejemplo, con 10 grados de
libertad, si se quiere un nivel de confianza del 90%, se
encuentra el valor t apropiado como se muestra en la tabla. El
nivel de confianza del 90% significa que el 5% de los valores (un
área de 0,05) se encuentran en cada extremo de la
distribución. Buscando en la columna para un área
de la cola superior y en la fila correspondiente a 10 grados de
libertad, se obtiene un valor crítico para t de 1.812.
Puesto que t es una distribución simétrica con una
media 0, si el valor de la cola superior es +1.812, el valor para
el área de la cola inferior (0,05 inferior) sería
-1.812. Un valor t de -1.812 significa que la probabilidad de que
t sea menor a -1.812, es 0,05, o 5% (vea la figura).
Ejemplos
ilustrativos
1) Determinar el valor crítico de t con
lectura en la tabla, Excel y Winstats en cada una de las
siguientes condiciones para
Solución:
Con lectura en la tabla
En la tabla con 12 grados de libertad y 0,025 de
área se obtiene un valor de t =2,1788, y por
simetría es igual también a t = -2,1788
Los cálculos en Excel se muestran a
continuación:
Los cálculos en Winstats se muestran en la
siguiente figura:
2)
Solución:
Con lectura en la tabla se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
El gráfico elaborado en Winstats y Paint se
muestra en la siguiente figura:
3) Un fabricante de papel para computadora tiene
un proceso de producción que opera continuamente a lo
largo del turno. Se espera que el papel tenga una media de
longitud de 11 pulgadas. De 500 hojas se selecciona una muestra
de 29 hojas con una media de longitud del papel de 10,998
pulgadas y una desviación estándar de 0,02
pulgadas. Calcular la estimación del intervalo de
confianza del 99%
Solución:
Los datos del problema son:
Como en los datos aparece el tamaño de la
población, se debe verificar si el tamaño de la
nuestra es mayor que el 5% para emplear la fórmula con el
factor finito de corrección. Se remplaza valores en la
siguiente fórmula:
Por lo tanto se debe utilizar la fórmula con el
factor finito de corrección.
Calculando la proporción de la cola superior e
inferior de la distribución se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
Interpretación: Existe un 99% de confianza
de que la media poblacional se encuentra entre 10,998 y
11,008
El gráfico elaborado en Winstats y Paint se
muestra en la siguiente figura:
Bibliografía
SUÁREZ, Mario, (2012),
Interaprendizaje de Probabilidades y Estadística
Inferencial con Excel, Winstats y Graph, Primera Edición.
Imprenta M & V, Ibarra, Ecuador.
Autor:
Mario Orlando Suárez
Ibujes