Estimación de intervalos de confianza

La estadística inferencial es el proceso de uso
de los resultados derivados de las muestras para obtener
conclusiones acerca de las características de una
población. La estadística inferencial nos permite
estimar características desconocidas como la media de la
población o la proporción de la población.
Existen dos tipos de estimaciones usadas para estimar los
parámetros de la población: la estimación
puntual y la estimación de intervalo. Una
estimación puntual es el valor de un solo
estadístico de muestra. Una estimación del
intervalo de confianza es un rango de números, llamado
intervalo, construido alrededor de la estimación puntual.
El intervalo de confianza se construye de manera que la
probabilidad del parámetro de la población se
localice en algún lugar dentro del intervalo
conocido.

Suponga que quiere estimar la media de todos los alumnos
en su universidad.

Sin embargo, la media de la muestra puede variar de una
muestra a otra porque depende de los elementos seleccionados en
la muestra. Tomando en cuenta la variabilidad de muestra a
muestra, se aprenderá a desarrollar la estimación
del intervalo para la media poblacional.

Estimación del
intervalo de confianza para la media

Se emplea la siguiente fórmula:

Donde:

Z = valor crítico de la
distribución normal estandarizada

Se llama valor crítico al valor de Z
necesario para construir un intervalo de confianza para la
distribución. El 95% de confianza corresponde a un valor (
de 0,05. El valor crítico Z correspondiente al área
acumulativa de 0,975 es 1,96 porque hay 0,025 en la cola superior
de la distribución y el área acumulativa menor a Z
= 1,96 es 0,975.

Un nivel de confianza del 95% lleva a un valor Z de
1,96.

El valor de Z es aproximadamente 2,58 porque el
área de la cola alta es 0,005 y el área acumulativa
menor a Z = 2,58 es 0,995.

Ejemplo
ilustrativo

Solución:

Realizando un gráfico ilustrativo en Winstats y
Paint se obtiene:

Con lectura en la tabla de la distribución normal
para un área de 0,025 se obtiene Z = -1,96. Por
simetría se encuentra el otro valor Z = 1,96

Remplazando valores y realizando lo cálculos se
obtiene:

Los cálculos en Excel se muestran en
la siguiente figura:

Interpretación: Existe un 95% de confianza
de que la media poblacional se encuentre entre 23,02 y
24,98

ESTIMACIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA
MEDIA

Antes de seguir continuando es necesario estudiar la
distribución t de Student, por lo que a
continuación se presenta una breve explicación de
esta distribución.

Al comenzar el siglo XX, un especialista en
Estadística de la Guinness Breweries en Irlanda llamado
William S. Gosset deseaba hacer inferencias acerca de la media
cuando la fuera
desconocida. Como a los empleados de Guinness no se les
permitía publicar el trabajo de investigación bajo
sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de
"Student". La distribución que desarrolló se conoce
como la distribución t de Student.

Si la variable aleatoria X se distribuye normalmente,
entonces el siguiente estadístico tiene una
distribución t con n – 1 grados de libertad.

Esta expresión tiene la misma forma que el
estadístico Z en la ecuación para la
distribución muestral de la media con la excepción
de que S se usa para estimar la desconocida.

Entre las principales propiedades de la
distribución t se tiene:

En apariencia, la distribución t es muy similar a
la distribución normal estandarizada. Ambas distribuciones
tienen forma de campana. Sin embargo, la distribución t
tiene mayor área en los extremos y menor en el centro, a
diferencia de la distribución normal.

Los grados de libertad de esta distribución se
calculan con la siguiente fórmula

Donde n = tamaño de la muestra

Ejemplo: Imagínese una clase con 40
sillas vacías, cada uno elige un asiento de los que
están vacíos. Naturalmente el primer alumno
podrá elegir de entre 40 sillas, el segundo de entre 39, y
así el número irá disminuyendo hasta que
llegue el último alumno. En este punto no hay otra
elección (grado de libertad) y aquel último
estudiante simplemente se sentará en la silla que queda.
De este modo, los 40 alumnos tienen 39 o n-1 grados de
libertad.

Para leer en la tabla de la distribución t se
procede de la siguiente manera:

Usted encontrará los valores críticos de t
para los grados de libertad adecuados en la tabla para la
distribución t. Las columnas de la tabla representan el
área de la cola superior de la distribución t. Cada
fila representa el valor t determinado para cada grado de
libertad específico. Por ejemplo, con 10 grados de
libertad, si se quiere un nivel de confianza del 90%, se
encuentra el valor t apropiado como se muestra en la tabla. El
nivel de confianza del 90% significa que el 5% de los valores (un
área de 0,05) se encuentran en cada extremo de la
distribución. Buscando en la columna para un área
de la cola superior y en la fila correspondiente a 10 grados de
libertad, se obtiene un valor crítico para t de 1.812.
Puesto que t es una distribución simétrica con una
media 0, si el valor de la cola superior es +1.812, el valor para
el área de la cola inferior (0,05 inferior) sería
-1.812. Un valor t de -1.812 significa que la probabilidad de que
t sea menor a -1.812, es 0,05, o 5% (vea la figura).

Ejemplos ilustrativos:

Solución:

Con lectura en la tabla

En la tabla con 12 grados de libertad y 0,025 de
área se obtiene un valor de t =2,1788, y por
simetría es igual también a t = -2,1788

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:

El gráfico en Winstats se muestra en la siguiente
figura:

2) Un fabricante de papel para computadora tiene
un proceso de producción que opera continuamente a lo
largo del turno. Se espera que el papel tenga una media de
longitud de 11 pulgadas. De 500 hojas se selecciona una muestra
de 29 hojas con una media de longitud del papel de 10,998
pulgadas y una desviación estándar de 0,02
pulgadas. Calcular la estimación del intervalo de
confianza del 99%

Solución:

Los datos del problema son:

Como en los datos aparece el tamaño de la
población, se debe verificar si el tamaño de la
nuestra es mayor que el 5% para emplear la fórmula con el
factor finito de corrección. Se remplaza valores en la
siguiente fórmula:

Por lo tanto se debe utilizar la fórmula con el
factor finito de corrección.

Calculando la proporción de la cola superior e
inferior de la distribución se obtiene:

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:

Interpretación: Existe un 99% de confianza
de que la media poblacional se encuentra entre 10,998 y
11,008

El gráfico elaborado en Winstats y Paint se
muestra en la siguiente figura:

Estimación del
intervalo de confianza para una proporción

Sirve para calcular la estimación de la
proporción de elementos en una población que tiene
ciertas características de interés.
´

Ejemplo ilustrativo

En un almacén se está
haciendo una auditoria para las facturas defectuosas. De 500
facturas de venta se escoge una muestra de 30, de las cuales 5
contienen errores. Construir una estimación del intervalo
de confianza del 95%.

Solución:

Los datos del problema son:

Como en los datos aparece el tamaño de la
población, se debe verificar si el tamaño de la
nuestra es mayor que el 5% para emplear la fórmula con el
factor finito de corrección. Se remplaza valores en la
siguiente fórmula:

Con lectura en la tabla de la distribución normal
para un área de 0,025 se obtiene Z = -1,96, y por
simetría Z =1,96

Calculando la proporción de la muestra se
obtiene:

Los cálculos en Excel se muestran en
la siguiente figura:

El gráfico elaborado en Winstats y Paint se
muestra en la siguiente figura:

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes