Solución en forma cerrada de un problema de valor inicial de orden n
Resumen
Este artículo presenta un
método simple para encontrar la solución general de
una ecuación de orden n en forma cerrada usando de
integrales anidadas.
Abstract
This paper presents a simple method to find
the general solution of an equation of order n in closed form by
using of nested integrals.
Palabras claves: Problemas de valor inicial,
Integrales anidadas .
Keys words: Initial value
problems, Nested integrals.
Introducción
Para su demostración ver (ver [G.
Shilov]).
En particular, se resolverá el PVI (2) integrando
repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las
condiciones iniciales dadas. En cada paso se usará la
ecuación (1) para llegar a la solución general en
forma cerrada, esto es, la obtención de una
formula.
Demostración
Para su demostración integraremos repetidamente
la ecuación (2) y usaremos la igualdad integral
(1)
En efecto, integrando con respecto a x la
ecuación (2) se obtiene:
Integrando nuevamente con respecto a x en
ambos miembros de la ecuación anterior (6),
tenemos:
Observar que si se integra nuevamente la
ecuación anterior, se tiene:
Nota: la integral que aparece en el lado derecho
puede ser ahora resuelta por integración por
partes.
Ejemplo 1. Resolver el
PVI:
Luego aplicando la fórmula de
integración por partes
Aplicando dos veces integración por
partes en el primer término del segundo miembro de la
ecuación, tenemos
Ejemplo 3. Resolver el
PVI:
Ejemplo 4. Resolver el
PVI:
Conclusiones
Al resolver un problema de valor inicial se
encontró la solución general en forma cerrada de un
tipo de ecuación diferencial lineal de n-ésimo
orden junto n valores iniciales. En cualquier caso, para su
solución deberá hacerse uso de la
integración por partes.
Bibliografía
[1] Chilov, G. E. Analyse Mathématique, Fonctions
de plusieurs variables réelles, Éditions Mir,
moscou, 1975.
[2] García J. O,Villegas G. ,J.
Castaño B., Sánchez C., J. A. Ecuaciones
Diferenciales. Fondo Editorial Universidad EAFIT,
2010.
Autor:
José Albeiro Sánchez
Cano
Departamento de Ciencias Básicas_
Universidad EAFIT
P. O. Box 3300, Medellin,
Colombia.