Determinación de la densidad de un cuerpo, y su expresión con sentido físico (página 2)

           
Decimos que dos o más mediciones son comparables si sus
intervalos de indeterminación coinciden en al menos un
punto. Por último, convenimos que adoptaremos una sola cifra
significativa para nuestras mediciones e incertezas

Materiales

           
Mediremos la altura y el diámetro de un cilindro
metálico utilizando distintos métodos:

1)     Calibre marca Vernier, y mínima
división de 0,02 mm.

2)     Regla de 20 cm. y mínima
división 0,1 cm.

3)     Probeta graduada de 250
cm3, y mínima división de 2
cm3.

Y la masa de cuerpo con balanza electrónica de 0,5 g de
incerteza.

[1]

Desarrollo y
resultados

           
En primer lugar, queremos calcular el volumen y la densidad del cilindro (mediciones
indirectas) a través de ciertas mediciones directas. Medimos
el objeto, altura y diámetro, varias veces con cada uno de
los instrumentos, para luego calcular el volumen, y de esta
forma, poder obtener su densidad. En
primer lugar con calibre, y luego con regla, cada integrante del
grupo se encargó de
realizar una medición de esas dos
magnitudes, con la finalidad de tener más de un valor y de esta forma, obtener
mediciones más exactas, y conseguir un intervalo de
indeterminación en el que podemos arriesgar que se encuentra
la medida exacta.  Finalmente, se llenó de agua la probeta hasta un
volumen conocido, se introdujo el cilindro y se midió de
manera directa el volumen del mismo, como la diferencia de
volumen que sufre el agua.

           
Por último, pesamos el cilindro en la balanza
electrónica, medición directa que fue de (189,0 ±
0,5)g.

1) Calibre.

Como valor representativo del diámetro tomamos la
moda, y de esta forma, su
expresión nos queda:

d ± Δd = (26,00 ±
0,04) mm.

           
Para calcular el Δd hicimos la semidiferencia entre el valor
máximo medido más la mínima división del
instrumento y el valor mínimo menos la mínima
división del instrumento (ver apéndice).

           
Para el valor representativo de la altura decidimos
despreciar  una de las mediciones (43,90 mm) por parecernos
alejadas de las otras, y entre las restantes, buscamos el valor
medio, que en este caso, coincidió con el promedio. Para la
incerteza, el criterio fue el mismo que en el caso del
diámetro. Lo obtenido:

           
h ± Δh = (43,68 ±
0,04) mm.

           
La ecuación para el cálculo del volumen es: V =
p* r2 * h = p * d2 * h / 4

           
Tomando la segunda ecuación de volumen, la propagación
de errores nos queda eV = ep + 2 ed + eh +
e4.

                       
e4 es igual a cero, y, como luego será explicado
en el apéndice, ep también.

           
El volumen finalmente queda: V = (23,2 ±
0,1) cm3.

           
Definida la densidad como d = m/V, la ed = em + eV. Por lo tanto,
la densidad queda:

d = (8,15 ± 0,06)
g/cm3.   á Error porcentual
0,74%

2) Regla

           
Tanto para el diámetro como para la altura, los valores medidos se
repitieron, así que fueron los adoptados como
representativos. La incerteza absoluta de dicho valor es la misma
que la de cada uno de dichos valores. De esta forma:

d ± Δd = (2,6 ±
0,1) cm 

h ± Δh = (4,3 ±
0,1) cm

           
Utilizando los mismos elementos que para la parte 1:

V  = (22,8 ± 2,3)
cm3

d = (8,3 ± 0,9)
g/cm3.    á Error porcentual
10,8%

3) Probeta:

Vcilindro = (|Vi-Vf|
± ΔV)= (22 ±
4) cm3

d= (8,6 ± 1,6)
g/cm3     á error
porcentual 18,6 %

Conclusiones

Al medir con regla, todos los integrantes medimos lo mismo,
porque el error de clase de la regla es mucho
mayor que la deformación del cilindro. Al medir con calibre
en cambio, las mediciones fueron
más diversas, ya que su error de clase es menor. Sin
embargo, al realizar una medición hay que tener en cuenta
también los costos y la utilidad práctica de ella, y
es por esto que dependiendo del fin podrá convenirnos o no
el uso del calibre en vez de la regla o la probeta.

En cuanto a las incertezas, podemos citar varias que seguro nos afectaron. Entre
ellas, las variaciones medioambientales durante las mediciones y
por lo tanto la deformación del cilindro, las imperfecciones
que ya de por sí tenía el mismo, error de clase de los
instrumentos, errores visuales al leer los instrumentos y/o al
colocarlos inadecuadamente. 

Mediante el análisis de los gráficos adjuntados,
podemos comparar los resultados de cada medición indirecta
(densidad, volumen) vemos que los intervalos coinciden en algunos
puntos, y por esta razón podemos decir que son mediciones
comparables. Por lo tanto cualquiera de los tres procedimientos es válido. A
la hora de buscar precisión, analizando los intervalos de
medición, el método del calibre es el que
posee un intervalo de incerteza más chico, y por lo tanto
éste es el método más preciso de los tres. Por
ejemplo, para la medición de la densidad, se puede apreciar
las diferencias entre los métodos mediante el error
porcentual: el resultado con el calibre arroja un error de 0,74%,
el de la regla, 10,8 %, y el de la probeta, 18,6 %.

Según datos de tabla, el metal que
tiene densidad más parecida a la que obtuvimos es el
latón, cuya densidad es de aproximadamente 8,45 g/cm3.
[2]

Apéndice

1) Calibre:

           
Δd = [(26,00 + 0,02) mm – (25,96 – 0,02) mm] /2  = 0,04
mm

           
Δh = [(43,70 + 0,02) mm – (43,66 – 0,02) mm] /2 = 0,04
mm

           
V = p* 43,68 mm / 4 * (26,00 mm)2 = 23191
mm3 = 23,2 cm3

                       
ΔV = 23,2 cm3 * [(0,04 / 43,68) + 2 * (0,04 / 26,00)] = 0,1
cm3

Hay que aclarar acá por qué podemos despreciar la
incerteza de p. Consideramos que podemos despreciarla si el error
relativo de p es menor que la décima parte del error
relativo de lo demás.

           
ep * 10 < 2 * ed + eh

           
10 * (Δp / p) < 2 * (0,04 / 26,00) + (0,04 / 43,68)

           
(Δp / p) < 3,99 x 10 -4

Y ahora probamos cuántas cifras decimales hay que tomar
de p para que esa desigualdad se cumpla: si tomamos p = 3,141
entonces Δp=0,001, y por lo tanto (Δp / p) = 3,18 x 10
-4 y la desigualdad no se cumple. Si tomamos p =
3,1415, Δp=0,0001 y entonces Δp / p = 3,18 x 10
-5  < 3,99 x 10 -4. Con lo cual con
tomar a p con al menos 4 cifras decimales ya podemos despreciar
su incerteza, y es justamente lo que hicimos al momento de
realizar los cálculos.

d = 189,0 g / 23,2 cm3 = 8,15 g/cm3

Δd = 8,15 g/cm3 * [(0,5 /
189,0) + (0,1 / 23,2) ] = 0,06 g/cm3

2) Regla:

           
V = p* 4,3 cm / 4 * (2,6 cm)2 = 22,8
cm3  

ΔV = 22,8 cm3 * [2 * (0,1 / 2,6) + (0,1 /
4,3)] = 2,3 cm3

d = (189,0 g / 22,8cm3) = 8,3
g/cm3

Δd = 8,3 g/cm3 * [(0,5 /
189,0) + (2,3 / 22,8)] = 0,9 g/cm3

3) Probeta:

           
ΔV = ΔVi + ΔVf = 4
cm3

                       
d = 189,0 g / 22 cm3 = 8,6 g/cm3

           
Δd = 8,6 g/cm3 * [(0,5 / 189,0) +
(4 / 22)] = 1,6 g/cm3

Bibliografía

[1] Imagen obtenida de: http://es.wikipedia.org/wiki/Calibre_%28instrumento%29

[2] Información obtenida de:

Trabajo práctico I "Parte B"
"Estudio de un movimiento"

Introducción
teórica

Velocidad media: "Se define velocidad media de la
partícula vm, como el cociente entre el
desplazamiento ∆X y el intervalo de tiempo  ∆T= Tf -Ti"
[1]:

Expresión matemática:

Vm = Xf -Xi   =  
∆X

         Tf –
Ti        ∆T

Velocidad instantánea: "A primera vista puede
parecer imposible definir la velocidad de la partícula en un
solo instante, es decir, en un tiempo específico. En un
instante t1, la partícula está en un solo punto x1. Si
está en un solo punto ¿cómo puede estar
moviéndose? Por otra parte, si no se está moviendo,
¿no debería permanecer en el mismo punto? Esto
constituye una antigua paradoja que puede resolverse cuando nos
damos cuenta que para observar el movimiento y así
definirlo, debemos observar la posición del objeto en
más de un instante. Entonces resulta posible definir la
velocidad en un instante mediante un proceso de paso al
límite. La velocidad instantánea es el límite del
cociente  ∆X cuando ∆T tiende a cero".
[2]

    
                                         
      ∆T

Expresión matemática:

lim       ∆X

                                
  ∆T→0     
 ∆T

Trayectoria: lugar del espacio en el que se encuentra el
móvil a cada instante.

Materiales

• Carril
• Móvil con rozamiento
• Sensor de posición Pasco modelo CI-6742
• Interfaz de adquisición de datos ScienceWorkshop
  500
• PC

Desarrollo y
resultados

La segunda parte de este trabajo práctico consiste
en intentar estimar la velocidad de un móvil a partir de
mediciones hechas con un sensor de posición. La experiencia
consiste en lanzar un móvil, existiendo rozamiento con el
carril y el sensor mide 20 veces por segundo la posición del
móvil.

Gráficos

Velocidad
media:                    
        Cálculo de
incerteza absoluta por derivadas parciales:

Vm = Xf -Xi
                                ∆V
= ∆xf + ∆xi  +  (∆tf +
∆ti)(xf – xi)

          Tf –
Ti                                            
Tf –
Ti                
(Tf –
Ti)2        

V (A,B1) = -0,65
m/s                       
∆V = 0,53 m/s

V (A,B2) = -0,52
m/s                       
∆V = 0,16 m/s

V (A,B3) = -0,43
m/s                       
∆V = 0,08 m/s

V (A,B4) = -0,35
m/s                       
∆V = 0,06 m/s

Conclusiones

Luego de analizar los valores obtenidos, se llega a la
conclusión de que no son comparables las velocidades
obtenidas ya que mediante la observación del intervalo
no son comparables los resultados. Gráficamente se puede
observar mediante la representación en la recta real y ver
que los intervalos no coinciden. Físicamente, no
tendría sentido que den valores similares de velocidad ya
que el móvil lanzado va cambiando su velocidad a medida que
se acerca al final de su recorrido: la va disminuyendo.

Observando los resultados vemos que a medida que desminuye la
velocidad el error de medición es cada vez menor: notar la
diferencia entre las incertezas absolutas de la velocidad medida
entre el tiempo 0,2 segundos y 0,4 segundos y la velocidad medida
entre el intervalo de tiempo 0,2 y 1,6 segundos.

De todas las velocidades calculadas la mejor medida de la
velocidad instantánea en t = 2 segundos es la primera:
-0.65m/s ya  que al aplicar la definición de velocidad
instantánea (que es el límite del cociente entre
∆X/∆T cuando ∆T tiende a cero) se observa que
es la que mejor se ajusta, aunque de con mayor error
absoluto.

Los gráficos muestran (tendiendo en cuenta los ejes
coordenados): el primero la posición respecto del tiempo y
el segundo la velocidad respecto del tiempo. En el segundo
podemos observar como varia la velocidad y su relación con
los datos obtenidos con los cálculos de velocidades medias.
A medida que aumenta el tiempo vemos que la velocidad se va
acercando a cero: parte de aproximadamente -0.65 m/s cuando el
tiempo es cero y cuando se acerca a 2 segundos la velocidad
también se acerca a 0 m/s. Hay aceleración de distinto
signo de la velocidad, es decir aceleración positiva, por lo
tanto va frenando. Observamos que mediante el calculo de
velocidades medias también se observa que a medida que
aumenta el tiempo la velocidad se acerca a 0 m/s.

Apéndice

Cálculo de velocidades medias:

 Vm = Xf -Xi
                                ∆V
= ∆xf + ∆xi  +  (∆tf +
∆ti)(xf – xi)

          Tf –
Ti                    
                        Tf
–
Ti                
(Tf –
Ti)2        

V (A, B1):        
(1,08 – 1,21) m    =  – 0,65 m/s

                     
(0.40 – 0.20) s

∆V (A, B1):      
0,04m +  (0,10) s (0,13) m  
=   0,53 m/s

           
           
0,20
s             
(0,2 s) 2

V ± ∆V = (-0,65 ± 0.53) m/s

V (A,
B2):         (0,90
– 1,21) m   =   -0,52 m/s

           
(0,80 – 0,20) s

  ∆V (A,
B2):      0,04 m
  +  (0,10) s (0,31) m
  =    0,16 m/s

                       
0,60
s               
(0,6 s) 2

V ± ∆V = (-0,52 ± 0,16) m/s

V (A,
B3):         (0,78
– 1,21) m   =   -0,43 m/s

           
(1,20 – 0,20) s

  ∆V (A,
B3):      0,04 m
  +  (0,10) s (0,43) m
  =    0,08 m/s

                       
1,00
s               
(1,00 s)2

V ± ∆V = (-0,43 ± 0,08) m/s

V (A,
B4):         (0,72
– 1,21 )m   =   -0,35 m/s

           
(1,60 – 0,20) s

  ∆V (A,
B4):      0,04 m
  +  (0,10) s (0,49) m
  =    0,06 m/s

                       
1,40
s               
(1,40 s)2

V ± ∆V = (-0,35 ± 0,06) m/s

Bibliografía

[ 1 ] "Fisica. Paul A. Tipler" Editorial
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[ 2 ] "Fisica. Paul A. Tipler" Editorial
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Autor:

Agustín Binora