INTRODUCCIÓN
Es tradicional que los estudiantes de Cálculo
manifiesten dificultades en el aprendizaje de
las integrales
indefinidas. La causa fundamental radica en que no existe
procedimiento
algorítmico para solucionarlas todas sino que se requiere
de mucha práctica.
OBJETIVOS
1) Reactivar algunos conceptos y
teoremas relacionados con los extremos de funciones de
varias variables.
2) Ilustrar mediante la resolución de ejercicios
una propuesta de cómo proceder para descubrir el éxito
en el cálculo de integrales indefinidas.
DESARROLLO
Estudiante, como verás a lo largo del primer
semestre de este curso te verás necesitado de aplicar
sistemáticamente en la asignatura M3 el cálculo de
integrales indefinidas, definidas e impropias. Por este motivo te
ofrecemos un resumen a modo de recordatorio en relación a
determinados aspectos relacionados con las integrales indefinidas
así como una colección de ejercicios de los
distintos tipos de integrales estudiados en M2.
Recordemos que cuando hallamos la integral indefinida de una
función
pues esa operación siempre hay que considerarla realizada
sobre cierto intervalo I el cual rara vez se da en
forma explícita. Si esta función se designa por
entonces buscamos ciertas funciones F las cuales
son diferenciables en tal intervalo y tales que
F´(x)=f(x) para
todos los puntos de dicho intervalo. Cada una de tales funciones
se denomina primitiva de la función en el intervalo
considerado y entre dos primitivas de la función en dicho
intervalo pues la diferencia es a lo sumo una función
constante y esto último es lo que justifica una escritura tal
como:
.
A diferencia de la diferenciación (basta conocer las
derivadas de las
funciones elementales básicas y las reglas de
derivación para las funciones que resultan de realizar
operaciones
aritméticas y de composición sobre tales funciones)
pues en la integración indefinida no existen reglas
generales para el cálculo de integrales.
No obstante lo expresado anteriormente el integrando y sobre todo
la práctica sistemática sugiere aplicar tal
método
de integración según sea el integrando.
De lo que se trata es de tener disponibles nuestros recursos
aritméticos y heurísticos para descubrir
cuál debe ser la clave de éxito.
¿A cuáles recursos me refiero?
– Reglas de integración.
– Métodos
clásicos de integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales
mediante fracciones simples.
– Uso de tablas
¿Qué metodología te recomendamos
seguir?
1) Analiza si la integral está incluida en la lista
de integrales declaradas como inmediatas. De ser así pues
halla el resultado en la tabla y si no pues valora la posibilidad
de transformarla en una o varias inmediatas aplicando alguna
transformación algebraica o simplificación del
integrando.
2) Clasifica el integrando en racional (a su vez en propia
o impropia) o no racional.
Si es una fracción propia y es una fracción simple
pues procedes como corresponda según el tipo de
fracción simple.
Si es una fracción racional propia no simple pues (excepto
en casos excepcionales) procede a descomponer en fracciones
simples y luego como en el inciso anterior.
Si la fracción es racional impropia efectúa la
división para transformarla en la suma de un polinomio y
una fracción racional propia.
3) Si el integrando no es racional(es algebraico
irracional o en caso contrario, trascendente) valora la
posibilidad de aplicar alguna sustitución o el
método de integración por partes y así
obtener directamente el resultado o en su defecto por lo menos
reducir el integrando a uno que esté en alguna tabla de
integrales.
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