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Vertientes Críticas de las Secuencias de Collatz

Enviado por Mario Peral Manzo



  1. Abstract
  2. Desarrollo
  3. Concluyamos

Abstract

En este artículo intentaremos establecer una relación entre los conjuntos infinitos resultantes de la aplicación del algoritmo de Collatz y el conjunto resultante de la progresión geométrica que crece en razón de 2n desde el valor inicial 1 al infinito (2n;1,8). Asumimos que la clave de la relación entre estos dos tipos de conjuntos (los de Collatz y el de la progresión geométrica 2n;1,8) está en una sucesión de potencias de base cuatro y exponentes 3m sucesivos más un múltiplo de siete.

Palabras clave: sucesiones, algoritmo, números granizo, razón, potencias.

Desarrollo

Imaginemos un ancho río, al que llamaremos 40, y que es la confluencia de dos grandes ríos vertientes: la vertiente 80 y la vertiente 13 cada una de las cuales son, a su vez, los recipientes críticos de infinitas vertientes.

El ancho río 40 conduce a un destino final, ahí en donde la unidad se manifiesta; de acuerdo con el algoritmo de Collatz: 40,20,10,5,16,8,4,2,1.

Recordemos que el algoritmo propuesto por Collatz básicamente ordena: si se hace presente un número impar, triplícalo y al producto súmale la unidad; si se te presenta un número par divídelo por dos; continúa este procedimiento hasta que se exprese la unidad.

Así pues, en su camino a la unidad los números enteros positivos confluyen en el valor 40 a través de dos "vertientes": la "vertiente 80" o la "vertiente 13". Sostenemos que estos valores: el de "confluencia 40" y de "vertientes 80 o 13", son valores críticos que todos los números enteros positivos recorren hasta llegar a la unidad, de acuerdo con el algoritmo de los "números granizo" de Collatz.

En este artículo intentaremos establecer una relación entre los conjuntos infinitos resultantes de la aplicación del algoritmo de Collatz y el conjunto resultante de la progresión geométrica que crece en razón de 2n desde el valor inicial 1 al infinito (2n;1,8). Asumimos que la clave de la relación entre estos dos tipos de conjuntos (los de Collatz y el de la progresión geométrica 2n;1,8) está en una sucesión de potencias de base cuatro y exponentes 3m sucesivos más un múltiplo de siete.

Acordemos representar una secuencia cualquiera mediante la siguiente representación formal básica:

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Los números subrayados, al restarles la unidad y después dividirlos por 3, son los únicos elementos de estos conjuntos que dan por resultado un número entero.

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 80, tenemos:

(160-1)/3=53; (640-1)/3=213; (2560-1)/3=853…

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 13, tenemos:

(52-1)/3=17; (208-1)/3=69; (832-1)/3=277.

Observamos que cada uno de estos conjuntos crecen en razón de 4n+1, por lo que es fácil, a partir de estos resultados iniciales calcular los elementos de los dos nuevos conjuntos. Con cada uno de estos resultados configuramos el siguiente par de vertientes:

Vertiente 53:

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Nuevamente los números subrayados, al restarles la unidad y después dividirlos por 3, son los únicos elementos de estos conjuntos que dan por resultado un número entero.

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 53, tenemos:

(853-1)/3=284; (54613-1)/3=18204;…

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 17, tenemos:

(277-1)/3=92; (17749-1)/3=5916;...

Observamos que cada uno de estos conjuntos crecen en razón de 43n+7(4), por lo que es fácil, a partir de estos resultados iniciales calcular los elementos de los dos nuevos conjuntos. Con cada uno de estos resultados configuramos el siguiente par de vertientes:

Vertiente 284:

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En fin, nuevamente los números subrayados, al restarles la unidad y después dividirlos por 3, son los únicos elementos de estos conjuntos que dan por resultado un número entero.

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 284, tenemos:

(1165084-1)/3=388361; (305419896604-1)/3=101806632201;…

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 92, tenemos:

(378652-1)/3=126217; (99261466396-1)/3=33087155465;...

Observamos que cada uno de estos conjuntos crecen en razón de 49n+7(18031), por lo que es fácil, a partir de estos resultados iniciales calcular los elementos de los dos nuevos conjuntos. Con cada uno de estos resultados configuramos el siguiente par de vertientes:

Vertiente 388361:

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Los cálculos se complican, pues la siguiente razón que habría que contemplar para configurar otros conjuntos sería la de una potencia de base cuatro y exponente 27 más un cierto múltiplo de siete. Así que ahora trabajemos por lo menos con las tres primeras razones del siguiente conjunto con las que humanamente podemos lidiar a saber:

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Configuremos el siguiente cuadro con los elementos del anterior conjunto:

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Observemos que los factores que se consideran para dar por resultado de manera sucesiva los elementos de esta secuencia son: 16, 4096, pues…

8(16)=128

128(4096)=524288

Estos factores 16, 4096… también pertenecen a la progresión geométrica...

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Ahora bien, si conformamos otra secuencia en la que conjuntáramos las razones… 8, 128, 524288 con las razones 16, 4096, tendríamos:

{8,(16),128,(4096),524288,…} podríamos, a partir de esto, señalar los factores que hay que considerar para que cada elemento de este conjunto logre producir a su sucesor. Estos factores serían: 2,8,32,128… pues:

8(2)=16

16(8)=128

128(32)=4096

4096(128)=524288

Ahora bien: 2,8,32,128… progresan en razón de 4n, o sea…

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Concluyamos

En nuestra ponencia titulada "Los números granizo de Collatz" presentada en el XLIII Congreso de la Sociedad Matemática Mexicana afirmamos:

"Nos interesa determinar cuál es el primer elemento de cada cuadro (cada presentación modular de cinco columnas) de valores impares para que determinemos una nueva sucesión y podamos expresar la "razón" con la que progresa. Tal sucesión es: 1, 5, 17, 53, 161, 485, 1457…, esta nueva sucesión resultante progresa de acuerdo con la razón 3n+2.

"Ahora determinemos las distancias entre los elementos de esta sucesión (las distancias entre los elementos de este conjunto se muestran entre paréntesis) y son:

" 1 (4) 5 (12) 17 (36) 53 (108) 161 (324) 485 (972) 1457…

"Veamos por separado estas distancias:

"4, 12, 36, 108, 324, 972… estas diferencias progresan mediante la razón 3n.

"Entendemos, de esta manera, que las sucesiones de Collatz son en realidad una manera de presentar progresiones geométricas que crecen en razón de 3n pero que, al agregarle la unidad, hacemos que se comporte de una manera extraña.

"Mediante términos coloquiales podemos afirmar que el algoritmo propuesto por Collatz "obliga" a la progresión geométrica (que se incrementa a razón de 3n) a "comportarse" al agregar la unidad, como una progresión geométrica que se "decremente" a razón de 2n y por tal motivo, cuando se aplica el mencionado algoritmo, siempre queda al final expresada la unidad (el "1")." (2)

 

 

Autor:

Mario Peral Manzo

Institución: Universidad Pedagógica Nacional. Unidad 152, Atizapán.

____________

Notas:

1. Ver http://www.mensa.es/carrollia/c55.pdf (visita del 02/04/2012, a las 12:11 hrs.)

2. Ver http://www.smm.org.mx/tuxtla2010/teoriaNumeros (visita del 02/04/2012, a las 13:24 hrs.). Esta ponencia está publicada en diversos sitios de Internet, entre los cuales podemos mencionar:

a) http://www.comprendamos.org/az/alephzero/az60.pdf (Con el título de "Supra/razón de los Números Granizo")

b) www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ARTICULOS_V11.../index.html (Con el título de "Supra/razón de los Números Granizo")

c) http://subcero.unet.edu.ve/images/series/ALEPH-2010-II.pdf (Con el título de "Los Números Granizo de Collatz")

d) http://es.scribd.com/doc/80523485/CRIBAdeLOSnumerosGRANIZO (Con el título de "Criba de los Números Granizo")


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