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Vertientes Críticas de las Secuencias de Collatz




Enviado por Mario Peral Manzo



  1. Abstract
  2. Desarrollo
  3. Concluyamos

Abstract

En este artículo intentaremos establecer una
relación entre los conjuntos infinitos resultantes de la
aplicación del algoritmo de Collatz y el conjunto
resultante de la progresión geométrica que crece en
razón de 2n desde el valor inicial 1 al infinito (2n;1,8).
Asumimos que la clave de la relación entre estos dos tipos
de conjuntos (los de Collatz y el de la progresión
geométrica 2n;1,8) está en una sucesión de
potencias de base cuatro y exponentes 3m sucesivos más un
múltiplo de siete.

Palabras clave: sucesiones, algoritmo,
números granizo, razón, potencias.

Desarrollo

Imaginemos un ancho río, al que llamaremos 40, y
que es la confluencia de dos grandes ríos vertientes: la
vertiente 80 y la vertiente 13 cada una de las cuales son, a su
vez, los recipientes críticos de infinitas
vertientes.

El ancho río 40 conduce a un destino final,
ahí en donde la unidad se manifiesta; de acuerdo con el
algoritmo de Collatz: 40,20,10,5,16,8,4,2,1.

Recordemos que el algoritmo propuesto por Collatz
básicamente ordena: si se hace presente un número
impar, triplícalo y al producto súmale la unidad;
si se te presenta un número par divídelo por dos;
continúa este procedimiento hasta que se exprese la
unidad.

Así pues, en su camino a la unidad los
números enteros positivos confluyen en el valor 40 a
través de dos "vertientes": la "vertiente 80" o la
"vertiente 13". Sostenemos que estos valores: el de "confluencia
40" y de "vertientes 80 o 13", son valores críticos que
todos los números enteros positivos recorren hasta llegar
a la unidad, de acuerdo con el algoritmo de los "números
granizo" de Collatz.

En este artículo intentaremos establecer una
relación entre los conjuntos infinitos resultantes de la
aplicación del algoritmo de Collatz y el conjunto
resultante de la progresión geométrica que crece en
razón de 2n desde el valor inicial 1 al infinito (2n;1,8).
Asumimos que la clave de la relación entre estos dos tipos
de conjuntos (los de Collatz y el de la progresión
geométrica 2n;1,8) está en una sucesión de
potencias de base cuatro y exponentes 3m sucesivos más un
múltiplo de siete.

Acordemos representar una secuencia cualquiera mediante
la siguiente representación formal
básica:

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Los números subrayados, al restarles la unidad y
después dividirlos por 3, son los únicos elementos
de estos conjuntos que dan por resultado un número
entero.

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 80,
tenemos:

(160-1)/3=53; (640-1)/3=213;
(2560-1)/3=853…

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 13,
tenemos:

(52-1)/3=17; (208-1)/3=69; (832-1)/3=277.

Observamos que cada uno de estos conjuntos crecen en
razón de 4n+1, por lo que es fácil, a partir de
estos resultados iniciales calcular los elementos de los dos
nuevos conjuntos. Con cada uno de estos resultados configuramos
el siguiente par de vertientes:

Vertiente 53:

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Nuevamente los números subrayados, al restarles
la unidad y después dividirlos por 3, son los
únicos elementos de estos conjuntos que dan por resultado
un número entero.

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 53,
tenemos:

(853-1)/3=284; (54613-1)/3=18204;…

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 17,
tenemos:

(277-1)/3=92; (17749-1)/3=5916;…

Observamos que cada uno de estos conjuntos crecen en
razón de 43n+7(4), por lo que es fácil, a partir de
estos resultados iniciales calcular los elementos de los dos
nuevos conjuntos. Con cada uno de estos resultados configuramos
el siguiente par de vertientes:

Vertiente 284:

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En fin, nuevamente los números subrayados, al
restarles la unidad y después dividirlos por 3, son los
únicos elementos de estos conjuntos que dan por resultado
un número entero.

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 284,
tenemos:

(1165084-1)/3=388361;
(305419896604-1)/3=101806632201;…

Para el primer elemento subrayado de la vertiente 92,
tenemos:

(378652-1)/3=126217;
(99261466396-1)/3=33087155465;…

Observamos que cada uno de estos conjuntos crecen en
razón de 49n+7(18031), por lo que es fácil, a
partir de estos resultados iniciales calcular los elementos de
los dos nuevos conjuntos. Con cada uno de estos resultados
configuramos el siguiente par de vertientes:

Vertiente 388361:

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Los cálculos se complican, pues la siguiente
razón que habría que contemplar para configurar
otros conjuntos sería la de una potencia de base cuatro y
exponente 27 más un cierto múltiplo de siete.
Así que ahora trabajemos por lo menos con las tres
primeras razones del siguiente conjunto con las que humanamente
podemos lidiar a saber:

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Configuremos el siguiente cuadro con los elementos del
anterior conjunto:

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Observemos que los factores que se consideran para dar
por resultado de manera sucesiva los elementos de esta secuencia
son: 16, 4096, pues…

8(16)=128

128(4096)=524288

Estos factores 16, 4096… también
pertenecen a la progresión geométrica…

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Ahora bien, si conformamos otra secuencia en la que
conjuntáramos las razones… 8, 128, 524288 con las
razones 16, 4096, tendríamos:

{8,(16),128,(4096),524288,…} podríamos, a
partir de esto, señalar los factores que hay que
considerar para que cada elemento de este conjunto logre producir
a su sucesor. Estos factores serían: 2,8,32,128…
pues:

8(2)=16

16(8)=128

128(32)=4096

4096(128)=524288

Ahora bien: 2,8,32,128… progresan en razón
de 4n, o sea…

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Concluyamos

En nuestra ponencia titulada "Los números
granizo de Collatz" presentada en el XLIII Congreso de
la Sociedad Matemática Mexicana afirmamos:

"Nos interesa determinar cuál es el primer
elemento de cada cuadro (cada presentación modular de
cinco columnas) de valores impares para que determinemos una
nueva sucesión y podamos expresar la "razón" con la
que progresa. Tal sucesión es: 1, 5, 17, 53, 161, 485,
1457…, esta nueva sucesión resultante progresa de
acuerdo con la razón 3n+2.

"Ahora determinemos las distancias entre los
elementos de esta sucesión (las distancias entre los
elementos de este conjunto se muestran entre paréntesis) y
son:

" 1 (4) 5 (12) 17 (36) 53 (108) 161 (324) 485 (972)
1457…

"Veamos por separado estas
distancias:

"4, 12, 36, 108, 324, 972… estas diferencias
progresan mediante la razón 3n.

"Entendemos, de esta manera, que las sucesiones de
Collatz son en realidad una manera de presentar progresiones
geométricas que crecen en razón de 3n pero que, al
agregarle la unidad, hacemos que se comporte de una manera
extraña.

"Mediante términos coloquiales podemos
afirmar que el algoritmo propuesto por Collatz "obliga" a la
progresión geométrica (que se incrementa a
razón de 3n) a "comportarse" al agregar la unidad, como
una progresión geométrica que se "decremente" a
razón de 2n y por tal motivo, cuando se aplica el
mencionado algoritmo, siempre queda al final expresada la unidad
(el "1")."
(2)

 

 

Autor:

Mario Peral Manzo

Institución: Universidad
Pedagógica Nacional. Unidad 152,
Atizapán.

____________

Notas:

1. Ver http://www.mensa.es/carrollia/c55.pdf (visita del
02/04/2012, a las 12:11 hrs.)

2. Ver http://www.smm.org.mx/tuxtla2010/teoriaNumeros
(visita del 02/04/2012, a las 13:24 hrs.). Esta ponencia
está publicada en diversos sitios de Internet, entre los
cuales podemos mencionar:

a) http://www.comprendamos.org/az/alephzero/az60.pdf
(Con el título de "Supra/razón de los
Números Granizo")

b)
www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ARTICULOS_V11…/index.html (Con
el título de "Supra/razón de los Números
Granizo")

c)
http://subcero.unet.edu.ve/images/series/ALEPH-2010-II.pdf (Con
el título de "Los Números Granizo de
Collatz")

d)
http://es.scribd.com/doc/80523485/CRIBAdeLOSnumerosGRANIZO (Con
el título de "Criba de los Números
Granizo")

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