Algebra

Expresiones
algebraicas

Una expresión algebraica es una
combinación de números, variables, y operaciones de
sumas división etc.

Raíz cuadrada de 2x – 6 / x 4x – 7x +
2

Términos: Son las partes de las cuales consta una
expresión algebraica y están separados por signos +
y – ejemplo:

4 términos 2x – 6 x + 7x – 1 =

Términos semejantes: Son los que tiene el mismo
coeficiente numérico ejemplo:

Nota: el signo > significa elevado a la
potencia

6 x>5 75 x>5

Suma y producto de
expresiones algebraicas

Debemos saber que la suma solo se puede dar entre
términos semejantes, es decir, las x solo se suman con las
x y las x al cuadrado con las x al cuadrado ejemplo:

4x + 2x >2 + 5x – x>2 = 0

x>2 + 9x = 0

En el producto de las expresiones algebraicas no tenemos
que hacer todo entre términos semejantes, aquí se
puede mezclar todo, pero tenemos que seguir las leyes de los
exponentes:

Leyes de los exponentes:

a>0 = 1

a>1 = a

(a>n)m=a>n*m

a>n * a>m = a>n+m

a>n/a>m = a>n-m = 1/a>am-n

a>-n = 1/a>n

Con estas leyes podemos efectuar fácilmente el
producto ejemplo:

(2 a>2 b) (-3ab>2)= -6 a >3 b>3

Clasificación
de las expresiones algebraicas

Para su estudio las expresiones se clasifican
en:

Monomios: 

Son todas aquellas expresiones algebraicas que posee un
solo término algebraico. 

Binomios:

Son todas aquellas expresiones algebraicas que
están formadas de don y solo dos términos
algebraicos, separado por el signo más o menos.

 Trinomios.

Son todas aquellas expresiones algebraicas que
están formadas de tres y solo tres términos
algebraicos separados por el signo más o menos.

 Polinomios:

Son todas aquellas expresiones algebraicas que
están formadas por dos o más términos
algebraicos separados por el signo mas o menos:

 Grado de una expresión
algebraica:

El grado de una expresión algebraica se define
por el término que posee el mayor grado dentro de la
expresión algebraica o polinomio y el número de
incógnitas de un polinomio es el número de
literales que intervienen en el mismo.

Polinomios

Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma
de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es
una expresión algebraica constituida por una o más
variables, utilizando solamente operaciones de adición,
sustracción, multiplicación y exponentes
numéricos positivos. El polinomio de un sólo
término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres
trinomio.

La expresión general de los polinomios que
sólo tienen una variable, los más utilizados,
es:

Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados
de los monomios que lo componen.

Historia

Volumen de una pirámide truncada.

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la
determinación de las raíces de polinomios,
está entre los problemas más antiguos de la
matemática. Sin embargo, la elegante y práctica
notación que utilizamos actualmente se desarrolló a
partir del siglo XV.

En el problema 14º del papiro de Moscú (ca.
1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de
pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva
al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores
resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza
diciendo: «ves, es 56, lo has calculado
correctamente». En notación algebraica actual
sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de
cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite
obtener la cuarta variable.

Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen
ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si
el conjunto de las raíces posibles se extiende a los
números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una
raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del
álgebra.

Hay una diferencia entre la aproximación de
raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas
para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta
cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación
cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia).
Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron
irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En
1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber
fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o
mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado
marcó el comienzo de la teoría de Galois que se
ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre
las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue
diseñada para crear automáticamente tablas de
valores de funciones logarítmicas y diferenciales,
evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos,
usando el método de las diferencias de Newton.

Funciones
polinómicas

Las funciones polinómicas son aquellas que surgen
de evaluar los polinomios sobre las variables en las que
están definidos. Son una clase de funciones suaves, esto
es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos
los órdenes finitos).

A las funciones polinómicas de

• grado 0 se les llama funciones constantes

• grado 1 se les llama funciones lineales,

• grado 2 se les llama funciones
  cuadráticas,

• grado 3 se les llama funciones
  cúbicas.

Debido a su estructura simple, los polinomios son muy
sencillos de evaluar, y se usan ampliamente en análisis
numérico para interpolación polinómicas o
para integrar numéricamente funciones más
complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la
utilización de la regla de Horner.

En álgebra lineal el polinomio
característico de una matriz cuadrada codifica muchas
propiedades importantes de la matriz. En teoría de los
grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las
distintas maneras de colorear los vértices del grafo
usando x colores.

Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han
sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del
análisis numérico. Las splines se definen a partir
de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios
ordinarios cuando definen funciones simples y suaves.
Éstas son usadas en interpolación spline y
gráficos por ordenador.

Operaciones con polinomios

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los
términos y simplificando los monomios semejantes. Para
multiplicar polinomios se multiplica cada término de un
monomio por el término del otro monomio y se simplifican
los monomios semejantes, posteriormente.

Factorización

Para factorizar un polinomio de segundo grado completo
(con todos los términos) se divide por el inverso de una
de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los
factores el número por el que dividimos y el resultado; ya
que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo =
divisor ? cociente + resto. En caso de que el polinomio no tenga
término independiente se sacará la incógnita
como factor común y ya está factorizado.
También se puede factorizar usando las igualdades
notables.

Ejemplos

Las funciones polinómicas de una variable (x), se
corresponden con diversas curvas planas, que se pueden
representar en un sistema de coordenadas cartesianas
XY.

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE POLINOMIOS

1. Considere los siguientes polinomios:

Determine el polinomio que representan:

a) p(x) + q(x).

b) p(x) – h(x).

c) r(x)× h(x).

SOLUCION

Potenciación

Potencia de un número es el
resultado tras la sucesiva multiplicación de un
número por sí mismo.

Una potencia es un modo abreviado de
escribir un producto de un número por sí mismo.En
la expresión de la potencia de un número
consideramos dos partes:– La base es el número que
se multiplica por sí mismo– El exponente es el
número que indica las veces que la base aparece como
factor.Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el
número base de tamaño normal y junto a él,
arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño
más pequeño. Para nombrar o leer una potencia
decimos primeramente el número base, después
decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se
dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice
"elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a
la cuarta, quinta, sexta… potencia".

El área de cualquier cuadrado es igual al lado
multiplicado por sí mismo, es decir, al cuadrado de la
medida de su lado.

Debe observarse con cuidado que:

Propiedad 2

La segunda propiedad se refiere a la potencia de una
potencia, es decir, la operación de elevar un
número a una potencia, y el resultado se eleva a otra
potencia, por ejemplo:  

Propiedad 3

Al realizar el siguiente producto, elevado a una
potencia:  

Propiedad 4 La propiedad que sigue ahora es
muy sencilla, pero muy importante:

Se puede observar ahora lo que ocurre cuando se
multiplican potencias con distintas bases y distintos exponentes.
 

En este caso, no hay ninguna propiedad especial de la
potenciación que permita escribir este producto de
potencias de otra manera que facilite el
cálculo.

Sin embargo, hay casos de multiplicación de
potencias de distinta base, en los cuales sí se puede
aplicar alguna propiedad de la potenciación, como el
siguiente:  

Se han visto hasta ahora propiedades de la
potenciación que se refieren a productos de potencias. Se
mostró cómo una expresión se puede escribir
de una manera más sencilla usando estas propiedades. Es
muy natural que se puedan hacer esos cambios, porque la
potenciación no es más que una forma abreviada de
expresar una multiplicación, y al multiplicar potencias,
lo que se hace es multiplicar productos, es decir se está
siempre multiplicando.

En cambio, cuando se combina la potenciación con
la suma o la resta, se están realizando operaciones
diferentes y NO siempre se puede aplicar alguna de las
propiedades vistas hasta ahora. Por ejemplo:

Aquí están expresadas dos operaciones: la
suma y el producto. La manera más sencilla y directa de
realizar estas operaciones es simplemente calcular primero las
potencias y luego sumarlas.

Se tiene un cuadrado de lado 3 y un cuadrado de lado
7.

La potenciación y sus propiedades tienen gran
importancia en las Matemáticas. Hay una leyenda muy
interesante acerca del inventor del ajedrez que muestra lo
inmensa que puede ser una cantidad obtenida a través de la
potenciación.

Productos
notables

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y
cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su
denominados también "Identidades Algebraicas". Son
aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto
se le reconoce fácilmente. Las más importantes
son:

Ejemplos:

• Simplificar :

• Simplificar :

Solución

Desarrollando las potencias mediante productos notables
tenemos:

• Hallar el valor de P :

• Hallar el valor de E :

Factorización

En álgebra, la factorización es expresar
un objeto o número (por ejemplo, un número, una
matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más
pequeños (factores), (en el caso de números debemos
utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos,
resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se
factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b²
se factoriza en el binomio conjugado (a – b)(a + b).

La Factorización se utiliza
normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes.
Factorizar enteros en números primos se describe en el
teorema fundamental de la aritmética y factorizar
polinomios en el teorema fundamental del
álgebra.

Factorizar significa descomponer en dos o
más componentes. Por ejemplo: Factorizar los siguientes
números 15= 3x 5 27=3 x 9 99 = 9 x 11 6 = 3 x 2 y
así

En álgebra se emplearan técnicas que nos
ayuden a factorizar expresiones.

Como por ejemplo: Diferencia de Cuadrados:
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este
tipo

X² – Y² = (X -Y )(X + Y) Y esa es
la manera de factorizarlas. Veamos algunos ejemplos. 4X² –
9Y² = (2x + 3y) (2x – 3y) 25X² – 49Y² = (5x – 7y)
(5x + 7y) c² – 9Y² = (c + 3y) (c – 3y)

De la misma manera lo podemos aplicar a
números por ejemplo: 9 – 4 = (3 + 2) (3 – 2) 121 – 81 =
(11 + 9) (11 – 9) 64 – 16 = (8 – 4) (8 + 4)

Lo que se hizo fue buscar la raíz
cuadrada de cada número y como están restados, se
procedió a factorizarlos. Incluso si los números no
tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo
procedimiento. Y también se aplica a números
fraccionarios. (Como el editor no permite el símbolo
raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria
raíz cuadrada de 2). Por ejemplo: 5 – 2 = (R5 + R2) (R5 –
R2) 9 – 5 = (R9 + R5) (R9 – R5) 11 – 8 = (R11 – R8) (R11 + R8)
125 – 94=( R125 + R94) (R125 – R 94) (a+2x+1)² – (
x+2a+a²)² = (a+1 )² – (x+2a+a²)² = {(
a+1 )+(x+2a + a²)} – {( a+1 )-(x+2a + a²)}

FACTORIZAR UN POLINOMIO.

Antes que nada, hay que decir que no todo
polinomio se puede factorizar utilizando números reales,
si se consideran los números complejos sí se puede.
Existen métodos de factorización, para algunos
casos especiales.

• Binomios

• Diferencia de Cuadrados

• Suma o Diferencia de Cubos

• Suma o Diferencia de Potencias impares
  Iguales

• Trinomios

• Trinomio Cuadrado Perfecto

• Trinomio de la forma x²+bx+c

• Trinomio de la forma ax²+bx+c

• Polinomios

• Factor Común

Caso I – Factor común

Sacar el factor común es extraer la literal
común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor
exponente y el divisor común de sus
coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de
términos

Factor común polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los
coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor
exponente)

Veamos el siguiente ejemplo: 5×2(x -y) + 3x(x -y) +7(x
-y)

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el
polinomio (x -y), entonces ese será el factor
común. El otro factor será simplemente lo que queda
del polinomio original, es decir: (5×2 + 3x +7)

Finalmente la respuesta será: (x -y)(5×2 + 3x
+7)

En algunos casos debemos utilizar el número 1,
por ejemplo en: 5a2(3a +b) +3a +b Que se puede utilizar como:
5a2(3a +b) +1(3a +b)

Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1)

Caso II – Factor común por
agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de
términos, se debe tener en cuenta que son dos
características las que se repiten. Se identifica porque
es un número par de términos. Para resolverlo, se
agrupan cada una de las características, y se le aplica el
primer caso, es decir:

Caso III – Trinomio cuadrado
perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los
cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale
al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P.
debemos reordenar los términos dejando de primero y de
tercero los términos que tengan raíz cuadrada,
luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer
término y los escribimos en un paréntesis,
separándolos por el signo que acompaña al segundo
término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el
binomio al cuadrado. Ejemplo:

Caso IV – Diferencia de
cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al
cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de
dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma
(a-b)(a+b)), uno negativo y otro positivo. En los
paréntesis deben colocarse las raíces.
Ejemplo:

Caso V – Trinomio cuadrado perfecto por
adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de
ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que
completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de
sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta
para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se
usan como ayuda los casos número III y IV. Para moldar
debe de saber el coseno de la raíz de la suma de dos
polinomios x que multiplicado salga igual a la raíz de
2,

Caso VI – Trinomio de la forma X2 + bX +
c

Se identifica por tener tres términos, hay una
literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el
término independiente. Se resuelve por medio de dos
paréntesis, en los cuales se colocan la raíz
cuadrada de la variable, buscando dos números que
multiplicados den como resultado el término independiente
y sumados (pudiendo ser números negativos) den como
resultado el término del medio. Ejemplo:

Ejemplo 2: x2+5x+6=0la factorización
queda como:(x+3)(x+2)=0ya que 3×2=6 y 3+2=5

Caso VII Suma o diferencia de potencias a
la n

La suma de dos números a la potencia n, an +bn se
descompone en dos factores (siempre que n sea un número
impar):

Quedando de la siguiente manera: xn + yn
=(x+y)(xn-1-xn-2y+xn-3y2-…+xyn-2+yn-1)

Ejemplo: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)

La diferencia también es factorizable y en este
caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente
manera:

xn – yn
=(x-y)(xn-1+xn-2y+xn-3y2+…+xyn-2+yn-1)

Ejemplo:

x3 – 1=(x-1)(x2+x+1)

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Como podrán notar las famosas diferencias, ya sea
de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta
generalización.

Caso VIII Trinomio de la forma
ax²+bx+c

En este caso se tienen 3 términos: El primer
termino es un cuadrado perfecto, ósea que tiene
raíz cuadrada exacta, el segundo termino tiene la mitad
del exponente del termino anterior y el tercer termino es un
termino independiente, ósea sin una parte literal,
así:

Para factorizar una expresión de esta forma;
primero se extraen los factores de los dos términos de los
extremos, después de extraídos se multiplican
cruzándolos entre si, ósea el primer factor del
término de la derecha y el segundo factor del
término de la izquierda y lo mismo con los otros dos,
así:

Los factores de 4x² son: 4x y x, y los de 9 son:3 y
3. Por lo tanto se multiplica 4x entre 3 y x entre 3, luego se
suman los productos y el total debe ser el término de en
medio, en este caso 15x, veamos:

Referencias
electrónicas

INFORMACION SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PUBLICADA EN LA PAGINA WEB
(http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/5759/index.htm)

VISTA EL DIA 22/02/2009

IGN CARLOS RAUL COBAR. PUBLICADO EN LA
PAGINA WEB
(http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/5759/index.htm)
VISTO EL DIA 22/O2/2009.

ENCICLOPEDIAS WIKIPEDIA.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio) ESTA INFORMACION FUE
MODIFICADA POR ULTIMA VEZ EL, 19/ 02/ 2009. VISTO EL DIA
22/02/2009. POLINOMIOS.

POTENCIACION. TEMA PUBLICADO EN LA PAGINA
WEB DE LA RENA
(http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA2/potenciacionN.html)

REVISADO EL DIA 22/02/2009.

JOSE LUIS CARRILLO RIGOFRIO, MONOGRAFIAS
PAGINA WEB
(http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables)
PUBLICADO EL DIA 11 de Julio de 2008, REVISADO EL DIA
22/02/2009.

ENCICLOPEDIAS WIKIPEDIA TEMA FACTORIZACION,
(http://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_factorial) ESTA
PAGINA FUE MODIFICADA POR ULTIMA VEZ EL 25/02/2009 REVIZADA EL
DIA 27/02/2009.

Enviado por:

Carla Santaella

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
SUPERIOR

INSTITUTO POLITECNICO DEL ESTADO BOLIVAR

MECÁNICA

MATEMÁTICA 1

CIUDAD BOLÍVAR, FEBRERO DE 2009