A)
INTRODUCCIÓN
Una distribución de probabilidad es
una representación de todos los resultados posibles de
algún experimento y de la probabilidad
relacionada con cada uno.
Una distribución de probabilidad es discreta
cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de
variables aleatorias discretas, es decir, de variables que
sólo puede tomar ciertos valores, con frecuencia
números enteros, y que resultan principalmente del proceso
de conteo.
Ejemplos de variables aleatorias
discretas son:
Número de caras al lanzar una moneda
El resultado del lanzamiento de un dado Número de hijos de
una familia
Número de estudiantes de una
universidad
Ejemplo ilustrativo
Sea el experimento aleatorio de lanzar 2
monedas al aire. Determinar la distribución de
probabilidades del número de
caras.
Solución:
El espacio muestral es S = {CC, CS, SC,
SS}
La probabilidad de cada punto muestral es
de 1/4, es decir, P(CC) = P(CS) = P(SC) = P(SS) = 1/4
La distribución de probabilidades
del número de caras se presenta en la siguiente
tabla:
Resultados (N° de | Probabilidad |
0 | 1/4 = 0,25 = 25% |
1 | 2/4 = 0,50 = 50% |
2 | 1/4 = 0,25 = 25% |
El gráfico de distribuciones de
probabilidad en 3D elaborado en Excel se muestra en la siguiente
figura:
Interpretación:
La probabilidad de obtener 0 caras al
lanzar 2 monedas al aire es de 1/4 = 0,25 = 25%
La probabilidad de obtener una cara al
lanzar 2 monedas al aire es de 2/4 = 0,5 = 50%
La probabilidad de obtener 2 caras al
lanzar 2 monedas al aire es de 1/4 = 0,25 = 25%
B) LA MEDIA Y LA
VARIANZA DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
i) Media
La media llamada también valor
esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza de
una distribución de probabilidad discreta es
la media aritmética ponderada de todos los resultados
posibles en los cuales los pesos son las probabilidades
respectivas de tales resultados. Se halla
multiplicando
cada resultado posible por su probabilidad y sumando los
resultados. Se expresa mediante la siguiente
fórmula:
Donde:
u=E(X) Media, Valor Esperado, Esperanza
Matemática o simplemente Esperanza
Xi= Posible resultado
P(Xi) Probabilidad del posible
resultado
ii) Varianza
La varianza es el promedio de las desviaciones al
cuadrado con respecto a la media. La varianza mide
la dispersión de los resultados alrededor de la
media y se halla calculando las diferencias entre cada uno de los
resultados y su media, luego tales diferencias se elevan al
cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, y
finalmente se suman los resultados. Se expresa mediante la
siguiente fórmula:
Nota: La varianza se expresa en
unidades al cuadrado, por lo que es necesario calcular la
desviación estándar que se expresa en
las mismas unidades que la variable aleatoria y que por lo tanto
tiene una interpretación más lógica de la
dispersión de los resultados alrededor de la media. La
desviación estándar se calcula
así:
Ejemplo ilustrativo:
Hallar la esperanza matemática, la
varianza y la desviación estándar del número
de caras al lanzar tres monedas al aire.
Solución:
El espacio muestral es S = {CCC, CCS, CSC,
SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}
La probabilidad de cada punto muestral es
de 1/8
Se elabora las distribuciones de
probabilidad y se realiza los cálculos respectivos. Estos
resultados se presentan en la siguiente tabla:
Observando la tabla se tiene:
Y calculando la desviación
estándar se obtiene:
Los cálculos en Excel de la
esperanza matemática, la varianza y la desviación
estándar se muestran en la siguiente
figura:
Interpretación:
El valor de significa que si se promedian los resultados
del lanzamiento de las tres monedas
(teóricamente, un número infinito de lanzamientos),
se obtendrá 1,5.
Los valores de miden la dispersión de los resultados de
lanzar las tres monedas alrededor de su media.
TAREA DE
INTERAPRENDIZAJE
1) Elabore un organizador gráfico sobre las
distribuciones discretas
2) Al ser la esperanza matemática una media
aritmética ponderada, explique el por qué en su
fórmula no aparece la división por la suma de los
pesos como en cualquier fórmula de la media
aritmética ponderada.
3) Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al
aire.
3.1) Elabore un gráfico de distribuciones de
probabilidad en 2D de manera manual y empleando Excel
3.2) Elabore un gráfico de distribuciones de
probabilidad en 3D empleando Excel
3.3) Calcule la esperanza
matemática, la varianza y desviación
estándar de manera manual y empleando Excel.
4) Dada las distribuciones de
probabilidad
Xi | P(Xi) | |
0 | x | |
1 | ¼ | |
2 | 6x | |
3 | 4x | |
4 | 1/16 |
4.1) Calcular el valor de x
1/16
4.2) Elabore un gráfico de
distribuciones de probabilidad en 3D empleando Excel
4.3) Calcule la esperanza
matemática, la varianza y desviación
estándar de manera manual y empleando
Excel.
5) El número de automóviles
que la empresa D & M vendió mensualmente varió
de 4 a 12 junto con la frecuencia de ventas que se muestra en la
siguiente tabla:
N° meses | Automóviles (Xi) | |
6 | 4 | |
8 | 8 | |
12 | 10 | |
10 | 12 | |
8 | 14 | |
4 | 12 |
En meses anteriores el número promedio de ventas
mensuales fue de 8 con una variabilidad de 4,2. Empleando las
cifras presentadas, determine que ha pasado el promedio mensual
de ventas y su variabilidad de la empresa D & M en
comparación con los meses anteriores. Realice los
cálculos empleando Excel.
Como se
evidencia que la empresa ha incrementado su promedio mensual de
ventas y ha reducido su variabilidad en comparación con
los meses anteriores.
C)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
i) Definición:
Cuando se dispone de una expresión
matemática, es factible calcular la probabilidad de
ocurrencia exacta correspondiente a cualquier
resultado específico para la variable
aleatoria.
La distribución de probabilidad binomial
es uno de los modelos matemáticos (expresión
matemática para representar una variable) que se utiliza
cuando la variable aleatoria discreta es el número de
éxitos en una muestra compuesta por n
observaciones.
ii) Propiedades:
– La muestra se compone de un número fijo de
observaciones n
– Cada observación se clasifica en una de dos
categorías, mutuamente excluyentes (los eventos
no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una
persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente
exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al
lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A
estas categorías se las denomina éxito y
fracaso.
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