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Distribuciones discretas con Excel y Winstats



    A)
    INTRODUCCIÓN

    Una distribución de probabilidad es
    una representación de todos los resultados posibles de
    algún experimento y de la probabilidad
    relacionada con cada uno.

    Una distribución de probabilidad es discreta
    cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de
    variables aleatorias discretas, es decir, de variables que
    sólo puede tomar ciertos valores, con frecuencia
    números enteros, y que resultan principalmente del proceso
    de conteo.

    Ejemplos de variables aleatorias
    discretas son:

    Número de caras al lanzar una moneda
    El resultado del lanzamiento de un dado Número de hijos de
    una familia

    Número de estudiantes de una
    universidad

    Ejemplo ilustrativo

    Sea el experimento aleatorio de lanzar 2
    monedas al aire. Determinar la distribución de
    probabilidades del número de
    caras.

    Solución:

    El espacio muestral es S = {CC, CS, SC,
    SS}

    La probabilidad de cada punto muestral es
    de 1/4, es decir, P(CC) = P(CS) = P(SC) = P(SS) = 1/4

    La distribución de probabilidades
    del número de caras se presenta en la siguiente
    tabla:

    Resultados (N° de
    Caras)

    Probabilidad

    0

    1/4 = 0,25 = 25%

    1

    2/4 = 0,50 = 50%

    2

    1/4 = 0,25 = 25%

    El gráfico de distribuciones de
    probabilidad en 3D elaborado en Excel se muestra en la siguiente
    figura:

    Monografias.com

    Interpretación:

    La probabilidad de obtener 0 caras al
    lanzar 2 monedas al aire es de 1/4 = 0,25 = 25%

    La probabilidad de obtener una cara al
    lanzar 2 monedas al aire es de 2/4 = 0,5 = 50%

    La probabilidad de obtener 2 caras al
    lanzar 2 monedas al aire es de 1/4 = 0,25 = 25%

    B) LA MEDIA Y LA
    VARIANZA DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS

    i) Media

    La media llamada también valor
    esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza de
    una distribución de probabilidad discreta es
    la media aritmética ponderada de todos los resultados
    posibles en los cuales los pesos son las probabilidades
    respectivas de tales resultados. Se halla
    multiplicando

    cada resultado posible por su probabilidad y sumando los
    resultados. Se expresa mediante la siguiente
    fórmula:

    Monografias.com

    Donde:

    u=E(X) Media, Valor Esperado, Esperanza
    Matemática o simplemente Esperanza

    Xi= Posible resultado

    P(Xi) Probabilidad del posible
    resultado

    ii) Varianza

    La varianza es el promedio de las desviaciones al
    cuadrado con respecto a la media. La varianza mide
    la dispersión de los resultados alrededor de la
    media y se halla calculando las diferencias entre cada uno de los
    resultados y su media, luego tales diferencias se elevan al
    cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, y
    finalmente se suman los resultados. Se expresa mediante la
    siguiente fórmula:

    Monografias.com

    Nota: La varianza se expresa en
    unidades al cuadrado, por lo que es necesario calcular la
    desviación estándar que se expresa en
    las mismas unidades que la variable aleatoria y que por lo tanto
    tiene una interpretación más lógica de la
    dispersión de los resultados alrededor de la media. La
    desviación estándar se calcula
    así: Monografias.com

    Ejemplo ilustrativo:

    Hallar la esperanza matemática, la
    varianza y la desviación estándar del número
    de caras al lanzar tres monedas al aire.

    Solución:

    El espacio muestral es S = {CCC, CCS, CSC,
    SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}

    La probabilidad de cada punto muestral es
    de 1/8

    Se elabora las distribuciones de
    probabilidad y se realiza los cálculos respectivos. Estos
    resultados se presentan en la siguiente tabla:

    Monografias.com

    Observando la tabla se tiene:

    Monografias.com

    Y calculando la desviación
    estándar se obtiene:

    Monografias.com

    Los cálculos en Excel de la
    esperanza matemática, la varianza y la desviación
    estándar se muestran en la siguiente
    figura:

    Monografias.com

    Interpretación:

    El valor de Monografias.comsignifica que si se promedian los resultados
    del lanzamiento de las tres monedas
    (teóricamente, un número infinito de lanzamientos),
    se obtendrá 1,5.

    Los valores de Monografias.commiden la dispersión de los resultados de
    lanzar las tres monedas alrededor de su media.

    TAREA DE
    INTERAPRENDIZAJE

    1) Elabore un organizador gráfico sobre las
    distribuciones discretas

    2) Al ser la esperanza matemática una media
    aritmética ponderada, explique el por qué en su
    fórmula no aparece la división por la suma de los
    pesos como en cualquier fórmula de la media
    aritmética ponderada.

    3) Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al
    aire.

    3.1) Elabore un gráfico de distribuciones de
    probabilidad en 2D de manera manual y empleando Excel

    Monografias.com

    3.2) Elabore un gráfico de distribuciones de
    probabilidad en 3D empleando Excel

    Monografias.com

    3.3) Calcule la esperanza
    matemática, la varianza y desviación
    estándar de manera manual y empleando Excel.

    Monografias.com

    4) Dada las distribuciones de
    probabilidad

    Xi

    P(Xi)

    0

    x

    1

    ¼

    2

    6x

    3

    4x

    4

    1/16

    4.1) Calcular el valor de x

    1/16

    4.2) Elabore un gráfico de
    distribuciones de probabilidad en 3D empleando Excel

    Monografias.com

    4.3) Calcule la esperanza
    matemática, la varianza y desviación
    estándar de manera manual y empleando
    Excel.

    Monografias.com

    5) El número de automóviles
    que la empresa D & M vendió mensualmente varió
    de 4 a 12 junto con la frecuencia de ventas que se muestra en la
    siguiente tabla:

    N° meses

    Automóviles (Xi)

    6

    4

    8

    8

    12

    10

    10

    12

    8

    14

    4

    12

    En meses anteriores el número promedio de ventas
    mensuales fue de 8 con una variabilidad de 4,2. Empleando las
    cifras presentadas, determine que ha pasado el promedio mensual
    de ventas y su variabilidad de la empresa D & M en
    comparación con los meses anteriores. Realice los
    cálculos empleando Excel.

    Como Monografias.comse
    evidencia que la empresa ha incrementado su promedio mensual de
    ventas y ha reducido su variabilidad en comparación con
    los meses anteriores.

    C)
    DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

    i) Definición:

    Cuando se dispone de una expresión
    matemática, es factible calcular la probabilidad de
    ocurrencia exacta correspondiente a cualquier
    resultado específico para la variable
    aleatoria.

    La distribución de probabilidad binomial
    es uno de los modelos matemáticos (expresión
    matemática para representar una variable) que se utiliza
    cuando la variable aleatoria discreta es el número de
    éxitos en una muestra compuesta por n
    observaciones.

    ii) Propiedades:

    – La muestra se compone de un número fijo de
    observaciones n

    – Cada observación se clasifica en una de dos
    categorías, mutuamente excluyentes (los eventos
    no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una
    persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente
    exhaustivos
    (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al
    lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A
    estas categorías se las denomina éxito y
    fracaso.

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