Técnicas de conteo

Concepto

Suponga que se encuentra al final de una
línea de ensamble final de un producto y que un supervisor
le ordena contar los elementos de un lote que se ha manufacturado
hace unas horas y del que se desconoce el número de
productos que lo constituyen, de inmediato usted empezará
a contar un producto tras otro y al final informará al
supervisor que son, 48, 54 u otro número cualquiera. Ahora
suponga que ese mismo supervisor le plantea la siguiente pregunta
¿cuántas muestras o grupos será posible
formar con los productos del lote, si las muestras o grupos a
formar son de ocho elementos cada una de ellas?.

En el primer caso el cuantificar los elementos del lote
no presenta dificultad alguna para la persona encargada de
hacerlo, pero cuando se le hace el segundo planteamiento, al
tratar de formar las muestras o grupos de ocho elementos la
persona encargada empezará a tener dificultad para
hacerlo, en casos como este es necesario hacer uso de las
técnicas de conteo para cuantificar los elementos del
evento en cuestión (el número de muestras posibles
a formar de ocho elementos), luego, ¿qué son las
técnicas de conteo?

Las técnicas de conteo son aquellas que son
usadas para enumerar eventos difíciles de
cuantificar.

Ejemplos en los que definitivamente haremos uso de las
técnicas de conteo serían:

-¿Cuántas comisiones pro limpieza del
instituto se pueden formar si hay 150 alumnos que desean ayudar
en esta tarea y se desea formar comisiones de ocho
alumnos?

-¿Cuántas representaciones de alumnos
pueden ser formadas a) si se desea que estas consten solo de
alumnos de Ingeniería Química?, b) se desea que el
presidente sea un químico?, c) se desea que el presidente
y tesorero sean químicos? Para todos los casos, se desea
que las representaciones consten de once alumnos.

-¿Cuántas maneras tiene una persona de
seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si
encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5
modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de
licuadoras?

Se les denomina técnicas de conteo a: las
combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que
a continuación se explicarán y hay que destacar que
éstas nos proporcionan la información de 
todas las maneras posibles en que ocurre un evento
determinado.

Las bases para entender el uso de las técnicas de
conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a
continuación se definen y se hace uso de ellos

Principio
multiplicativo

Si se desea realizar una actividad que consta de r
pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar 
puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso
de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o
formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto
de;

                       
           
N1 x N2 x ……….x  Nr  maneras o
formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los
pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras
otro.

Ejemplos:

1)      Una
persona desea construir su casa, para lo cuál considera
que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos
maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes
las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo
puede ser de concreto o lámina galvanizada y por
último los acabados los puede realizar de una sola manera
¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su
casa?

Solución:

Considerando que r = 4 pasos

N1= maneras de hacer cimientos = 2

N2= maneras de construir paredes = 3

N3= maneras de hacer techos = 2

N4= maneras de hacer acabados = 1

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de
construir la casa

El principio multiplicativo, el aditivo y las
técnicas de conteo que posteriormente se tratarán
nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se
puede llevar a cabo una actividad cualquiera.

2)     
¿Cuántas placas para automóvil pueden ser
diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de
cuatro números, si las letras deben ser tomadas del
abecedario y los números de entre los dígitos del 0
al 9?, a. Si es posible repetir letras y números, b. No es
posible repetir letras y números, c. Cuántas de las
placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y
empiezan por el cero, d. Cuantas de las placas diseñadas
en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la
G.

Solución:

a.      Considerando 26 letras
del abecedario y los dígitos del 0 al 9

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas
para automóvil que es posible diseñar

b.      26 x 25 x 24 x 10 x 9 x
8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil

c.      1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8
x 7 = 302,400 placas para automóvil

d.      1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8
x 7 = 120,960 placas para automóvil

3)     
¿Cuántos números telefónicos es
posible diseñar, los que deben constar de seis
dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no
puede ir al inicio de los números y es posible repetir
dígitos, b. El cero no debe ir en la primera
posición y no es posible repetir dígitos, c.
¿Cuántos de los números telefónicos
del inciso b empiezan por el número siete?, d.
¿Cuántos de los números telefónicos
del inciso b forman un número impar?.

Solución:

a.      9 x 10 x 10 x 10 x 10 x
10 = 900,000 números telefónicos

b.      9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =
136,080 números telefónicos

c.      1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =
15,120 números telefónicos

d.      8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 =
67,200 números telefónicos

Principio
aditivo

Si se desea llevar a efecto una actividad, la
cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde
la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras
o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o
formas ….. y la última de las alternativas puede ser
realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser
llevada  a cabo de,

           
           
M + N + ………+ W  maneras o formas

Ejemplos:

1)      Una
persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál
ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool,
Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se
encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos
de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y
puede ser automática o semiautomática, mientras que
la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8,
11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática y la lavadora de la
marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11
kilogramos, dos colores diferentes y solo hay
semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta
persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora
Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora
de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora
de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de
seleccionar una lavadora

2 ) Rafael Luna desea ir a las Vegas o a
Disneylandia  en las próximas vacaciones de verano,
para ir a las Vegas él tiene tres medios de transporte
para ir de Chihuahua al Paso Texas y dos medios de transporte
para ir del Paso a las Vegas, mientras que para ir del paso a
Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de
transporte, a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene
Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b)
¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a
Disneylandia en un viaje redondo, si no se regresa en el mismo
medio de transporte en que se fue?.

Solución:

a) V = maneras de ir a las Vegas

    D = maneras de ir a
Disneylandia

V = 3 x 2 = 6 maneras

D = 3 x 4 = 12 maneras

V + D = 6 + 12 = 18 maneras de ir a las Vegas o a
Disneylandia

b) V = maneras de ir y regresar a las Vegas

    D = maneras de ir y
regresar a Disneylandia

V = 3 x 2 x 1 x 2 = 12 maneras

D = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 maneras

V + D = 12 + 72 = 84 maneras de ir a las Vegas o a
Disneylandia en un viaje redondo

¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso
del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la
cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos,
entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la
actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para
ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

Permutaciones

Para entender lo que son las permutaciones es necesario
definir lo que es una combinación y lo que es una
permutación para establecer su diferencia y de esta manera
entender claramente cuando es posible utilizar una
combinación y cuando utilizar una permutación al
momento de querer cuantificar los elementos de algún
evento.

COMBINACIÓN Y
PERMUTACION.

COMBINACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el
lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que
constituyen dicho arreglo.

PERMUTACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el
lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que
constituyen dicho arreglo.

Para ver de una manera objetiva la
diferencia entre una combinación y una permutación,
plantearemos cierta situación.

Suponga que un salón de clase
está constituido por 35 alumnos.

a) El maestro desea que tres de los
alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula
limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea
necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los
representantes del salón (Presidente, Secretario y
Tesorero).

Solución:

a)      Suponga que por
unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar
el aula o entregar material, (aunque pudieron haberse
seleccionado a Rafael, Daniel y a Enrique, o pudo haberse formado
cualquier grupo de tres personas para realizar las actividades
mencionadas anteriormente).

¿Es importante el orden como se selecciona a los
elementos que forma el grupo de tres personas?

Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el
orden en este caso no tiene importancia, ya que lo único
que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho
de otra forma, ¿quiénes están en el grupo?
Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir
esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras
de elementos en donde lo único que nos interesa es el
contenido de los mismos.

b)      Suponga que se han
nombrado como representantes del salón a Daniel como
Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero,
pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios,
los que se muestran a continuación:

CAMBIOS

Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la
misma representación?

Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio
de función que se hace a los integrantes de la
representación original hace que definitivamente cada una
de las representaciones trabaje de manera diferente,
¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La
respuesta  definitivamente sería sí, luego
entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya
que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí
importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con
permutaciones.

A continuación obtendremos las fórmulas de
permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo
que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las
fórmulas que se obtendrán y usarán para la
resolución de problemas.

n!= al producto desde la unidad hasta el valor que
ostenta n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x………..x  n

Ejem.

10!=1 x 2 x 3 x 4 x………x 10=3,628,800

 8!= 1 x 2 x 3 x 4 x………x 
8=40,320

 6!=1 x 2 x 3 x 4 x……….x 
6=720,    etc., etc.

Obtención de fórmula de
permutaciones.

Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay de
asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad
que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay
14 participantes?

Solución:

Haciendo uso del principio multiplicativo,

14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros
tres lugares del concurso

Esta solución se debe, a que al momento de
asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez
asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el
segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles
para el tercer lugar y por último tendríamos 11
candidatos posibles para el cuarto lugar.

Luego si n es el total de participantes en el
concurso y r es el número de participantes que
van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior,
entonces.

14x13x12x11= n x (n – 1) x (n – 2) x  ………. x
(n – r + 1)

si la expresión anterior es multiplicada por (n –
r)! / (n – r)!, entonces

= n x (n -1 ) x (n – 2) x ……… x (n – r + 1) (n –
r)! / (n – r)!

= n!/ (n – r)!

Por tanto, la fórmula de permutaciones de r
objetos tomados de entre n objetos es:

Esta fórmula nos permitirá obtener todos
aquellos arreglos en donde el orden es importante  y solo se
usen parte (r) de  los n objetos con que se cuenta,
además hay que hacer notar que no se pueden repetir
objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos
diferentes.

Entonces, ¿ qué fórmula hay que
usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se
cuenta?

Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar
de r, entonces.

         
nPn=  n!/ (n -n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostración
matemática,
entonces                                               

                                            
nPn= n!

Ejemplos:

1)     
¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles
formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario,
Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta
representación puede ser formada de entre 25 miembros del
sindicato de una pequeña empresa.

Solución:

Por principio multiplicativo:

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una
representación de ese sindicato que conste de presidente,
secretario, etc., etc.

Por Fórmula:

n = 25,      r = 5

25P5 = 25!/ (25 -5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x
23 x 22 x 21 x….x 1) / (20 x 19 x 18 x … x 1)=

          =
6,375,600 maneras de formar la representación

2) a. ¿Cuántas maneras
diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que
participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que
las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera
son dadas totalmente al azar)  b. ¿Cuántas
maneras diferentes hay de asignar los primeros tres premios de
esta carrera de fórmula uno?

Solución:

a. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 40,320 maneras de asignar
las posiciones de salida de los autos participantes en la
carrera

Por Fórmula:

n = 8,   r = 8

8P8= 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x……x 1= 40,320 maneras
de asignar las posiciones de salida ……etc., etc.

b. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 = 336 maneras de asignar los tres primeros
lugares de la carrera

Por fórmula:

n =8,   r = 3

8P3 = 8! / (8 – 3)! = 8! / 5! = (8 x 7 x 6 x 5 x
……..x1)/ (5 x 4 x 3 x……x1) = 336 maneras de asignar los
tres primeros lugares de la carrera

3)     
¿Cuántos puntos de tres coordenadas  ( x, y, z
), será posible generar con  los dígitos 0, 1,
2, 4, 6 y 9?, Si,  a. No es posible repetir dígitos,
b. Es posible repetir dígitos.

Solución:

a. Por fórmula

n = 6,     r = 3

    6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5
x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles

Nota: este inciso también puede ser resuelto por
el principio multiplicativo

b. Por el principio multiplicativo

6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

 ¿Cuál es la razón por la
cuál no se utiliza en este caso la fórmula?. No es
utilizada debido a que la fórmula de permutaciones
sólo se usa cuando los objetos no se repiten, esto quiere
decir que en el inciso a. Los puntos generados siempre van a
tener coordenadas cuyos valores son diferentes ejem. (1, 2, 4),
(2, 4, 6), (0, 4, 9), etc. etc., mientras que los puntos
generados en el inciso b. Las coordenadas de los puntos pueden
tener valores diferentes o repeticiones de algunos valores o
pueden tener todas las coordenadas un mismo valor  ejem. (1,
2, 4), (1, 2, 2), (1, 1, 1), etc., etc.

4)      a.
¿Cuántas maneras hay de asignar las 5 posiciones de
juego de un equipo de básquetbol, si el equipo consta de
12 integrantes?, b. ¿Cuántas maneras hay de asignar
las posiciones de juego si una de ellas solo puede ser ocupada
por Uriel José Esparza?, c. ¿Cuántas maneras
hay de que se ocupen las posiciones de juego si es necesario que
en una de ellas este Uriel José Esparza y en otra Omar
Luna?

Solución:

a. Por fórmula:

n = 12,    r = 5

         
12P5 = 12! / (12 – 5 )! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 = 95,040 maneras
de asignar las cinco posiciones de juego

a. Por principio multiplicativo:

1 x 11 x 10 x 9 x 8 =7,920 maneras de asignar las
posiciones de juego

      Por
fórmula:

1 x 11P4 = 1 x 11! / (11 – 4)! = 11! / 7! = 11 x 10 x 9
x 8 = 7,920 maneras de asignar las posiciones de juego con Uriel
José en una determinada posición

     a. Por principio
multiplicativo

1 x 1 x 10 x 9 x 8 = 720 maneras de ocupar las
diferentes posiciones de juego

     Por fórmula:

1 x 1 x 10P3 = 1 x 1 x 10! / (10 – 3)! = 10! / 7! = 10 x
9 x 8 = 720 maneras de ocupar las posiciones de juego con Uriel
José y Omar Luna en posiciones previamente
definidas

5)     
Cuántas claves de acceso a una computadora será
posible diseñar, si debe constar de dos letras, seguidas
de cinco dígitos, las letras serán tomadas del
abecedario y los números de entre los dígitos del 0
al 9. a. Considere que se pueden repetir letras y números,
b. Considere que no se pueden repetir letras y números, c.
¿Cuántas de las claves del inciso b empiezan por la
letra A y terminan por el número 6?, d.
¿Cuántas de las claves del inciso b tienen la letra
R seguida de la L y terminan por un número
impar?

Solución:

a. Por principio multiplicativo:

26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 67,600,000 claves de
acceso

      Por
fórmula:

26P2 x 10P5 = 26 x 25 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6=19,656,000
claves de acceso

a.       Por
fórmula:

1 x 25P1 x 9P4 x 1 = 1 x  25 x 9 x 8 x 7 x 6 x 1 =
75,600 claves de acceso que empiezan por la letra A y terminan
por el número 6

b.      Por
fórmula:

1 x 1 x 9P4 x 5 = 1 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15,120
claves de acceso que tienen la letra R seguida de la L y terminan
por un número impar.

Permutaciones con
repetición

En los casos anteriores se han obtenido permutaciones en
donde todos los elementos utilizados para  hacer los
arreglos son diferentes. A continuación se obtendrá
una fórmula que nos permite obtener las permutaciones de n
objetos, cuando entre esos objetos hay algunos que son
iguales.

Ejemplo:

Obtenga todas las permutaciones posibles
a obtener con las letras de la palabra OSO.

Solución:

Para obtener la fórmula, es necesario primero
suponer que todas las letras de la palabra OSO son diferentes y
para diferenciarlas pondremos subíndices a las letras O,
por lo que quedaría, O1SO2, y las permutaciones a obtener
serían:

  3P3 = 3! = 6

definiendo las permutaciones tenemos que estas
serían,

                    
O1SO2, O2SO1, SO1O2, SO2O1, O1O2S, O2O1S

¿Pero realmente podemos hacer diferentes a las
letras O?, eso no es posible, luego entonces
¿cuántos arreglos reales se tienen?

Como:

                                        
Arreglos reales

O1SO2 =
O2SO1            
?         
   OSO

SO1O2 =
SO2O1            
 ?           
SOO

O1O2S=
O2O1S         
?            
OOS

Entonces se observa que en realidad sólo es
posible obtener tres permutaciones con las letras de la palabra
OSO debido a que las letras O son idénticas, ¿pero
qué es lo que nos hizo pensar en seis arreglos en lugar de
tres?, el cambio que hicimos entre las letras O cuando las
consideramos diferentes, cuando en realidad son
iguales.

Para obtener los arreglos reales es necesario partir de
la siguiente expresión:

El número de arreglos reales = No. de
permutaciones considerando a todos los objetos como
diferentes

                                                     
Los cambios entre objetos
iguales                                                  

           
El número de arreglos reales =  3! /  2! = 3 x
2! / 2! = 3

 Por tanto la fórmula a utilizar
sería;                                      
                                  

Donde:

nPx1,x2,……, xk = Número total de
permutaciones que es posible obtener con n objetos, entre los que
hay una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de
objetos de un segundo tipo,…… y una cantidad xk de objetos
del tipo k.

n = x1 + x2 + …… + xk

Ejemplos:

1)      Obtenga
todas las señales posibles que se pueden diseñar
con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes
y uno morado.

Solución:

n = 6 banderines

x1 = 2 banderines rojos

x2 = 3 banderines verdes

x3 = 1 banderín morado

                 
6P2,3,1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

2)      a.
¿Cuántas claves de acceso a una computadora
será posible diseñar con los números
1,1,1,2,3,3,3,3?, b.¿cuántas de las claves
anteriores empiezan por un número uno seguido de un dos?,
c. ¿cuántas de las  claves del inciso a
empiezan por el número dos y terminan por el número
tres?

Solución:

a. n = 8 números

    x1 = 3 números uno

    x2 = 1 número dos

    x3 = 4 números
cuatro

                       
8P3,1,4 = 8! / 3!1!4! = 280 claves de acceso

b. n = 6 (se excluye un número uno y un
dos)

    x1 = 2 números uno

    x2 = 4 números tres

                       
1 x 1 x 6P2,4 = 1 x 1 x 6! / 2!4! = 15 claves de
acceso

El primer número uno nos indica el número
de maneras como es posible colocar en la primera posición
de la clave de acceso un número uno, debido a que todos
los números uno son iguales, entonces tenemos una sola
manera de seleccionar un número uno para la primera
posición, el siguiente número uno nos indica el
número de maneras como se colocaría en la segunda
posición el número dos y la expresión
siguiente nos indica todos los arreglos posibles que es posible
diseñar con los números restantes.

c. n = 6 (se excluye un número dos y un
tres)

    x1 = 3 números uno

    x2 = 3 números tres

                       
1 x 6P3,3 x1 = 1 x 6! / 3!3! = 20 claves de acceso

El número uno inicial nos indica que existe una
sola manera de seleccionar el número dos que va en la
primera posición del arreglo, mientras que el
número uno final nos indica que hay una sola manera de
seleccionar el número tres que va al final del arreglo
aún y cuando haya cuatro números tres, como estos
son iguales al diseñar una permutación es
indistinto cuál número tres se ponga, ya que
siempre se tendrá el mismo arreglo y la expresión
intermedia nos indica todos los arreglos posibles a realizar con
los números restantes.

3)     
¿De cuántas maneras es posible plantar en una
línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos
y tres ciruelos?

Solución:

n = 9 árboles

x1 = 2 nogales

x2 = 4 manzanos

x3 = 3 ciruelos

 
               
9P2,4,3 = 9! / 2!4!3! = 1260 maneras de plantar los
árboles

4)      Si un
equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en
una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre
esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates
y 2 juegos perdidos?

Solución:

n = 12 juegos

x1 = 7 victorias

x2 = 3 empates

x3 = 2 juegos perdidos

                 
12P7,3,2 = 12! / 7!3!2! = 7,920 maneras de que en la temporada
este equipo logre siete victorias, tres empates y dos juegos
perdidos.

Pruebas
ordenadas

Se le llama prueba ordenada al hecho de seleccionar
r objetos de entre n objetos contenidos en una
urna uno tras otro. Una prueba ordenada puede ser llevada a
efecto de dos maneras:

1)      Con sustitución
(con reemplazo).- En este caso se procede a seleccionar el primer
objeto de entre los n que hay, se observa de qué
tipo es y se procede a regresarlo a la urna, luego se 
selecciona el siguiente objeto, lo anterior se repite hasta que
se han extraído los r objetos de la prueba, por
tanto el número de pruebas ordenadas de con
sustitución se obtiene:

Número total de pruebas ordenadas con
sustitución = n x n x n x ………x n = nr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al
seleccionar el segundo objeto, dado que se ha regresado a la urna
el primer objeto, también se tendrán n objetos y
así sucesivamente.

 2)      Sin
sustitución (sin reemplazo).- En este caso se procede a
seleccionar el primer objeto, el cual no es regresado a la urna,
luego se selecciona el segundo objeto, lo anterior se repite
hasta completar los r objetos de la prueba, por lo que
el número total de pruebas ordenadas sin 
sustitución se obtiene:

Número total de pruebas ordenadas sin
sustitución = n(n-1)(n-2)………(n-r +1) =
nPr

Hay n maneras de seleccionar el primer objeto, luego al
seleccionar el segundo objeto, hay n -1  maneras, dado que
el primer objeto no se regresa a la urna, luego cuando se extrae
el r-ésimo objeto, hay (n -r +1) de que sea
seleccionado.

Ejemplos:

1)     
¿Cuántas maneras hay de que se asignen tres premios
de un sorteo en donde el primer premio es una departamento, el
segundo premio es un auto y el tercer premio es un centro de
cómputo, si los participantes en este sorteo son 120
personas, a.sí la asignación se puede hacer con
sustitución, b.sí la asignación se puede
hacer sin sustitución.

Solución:

a. Por principio multiplicativo:

120 x 120 x 120 = 1,728,000 maneras de asignar los
premios

        Por
fórmula:  n =120,    r =
120

      
      nr = 1203 = 1,728,000 maneras de
asignar los tres premios

Hay que considerar que en este caso, al regresar cada
boleto que es extraído de la urna, las personas que
participan en el sorteo tienen la posibilidad de no ganar uno
solo de los premios, de ganar un premio, dos de los premios o los
tres premios. Cosa que generalmente no ocurre.

b. Por principio multiplicativo:

     
       120 x 119 x 118 = 1,685,040
maneras de asignar los premios

Por fórmula:

n = 120,     r = 3

120P3 = 120! / (120 – 3)! = 120! / 117! = 120 x 119 x
118 = 1,685,040 maneras de asignar los premios

Hay que hacer notar que en este caso, como los boletos
que son seleccionados ya no regresan a la urna de donde fueron
extraídos, los participantes solo pueden recibir un premio
en caso de que fueran de los afortunados. Esta es la forma en que
generalmente se efectúa un sorteo.

2)     
¿Cuántas formas hay de asignar las primeras cinco
posiciones de una carrera de autos de fórmula K, si
participan 26 autos en esta carrera?. Considere que la
asignación es totalmente al azar.

Solución:

Esta asignación debe ser sin sustitución,
esto es, se trata de una prueba ordenada sin sustitución,
por lo que la solución es la que se muestra.

n = 26,     r = 5

      26P5 = 26! / (26 – 5)! =
26! / 21! = 26 x 25 x 24 x 23 x 22 = 7,893,600 maneras de asignar
las cinco primeras posiciones de salida

3)     
¿Cuántas formas hay de asignar el orden de
participación de las primeras 5 concursantes de 11
finalistas de un concurso de Miss Mundo?

Solución:

Esta asignación debe realizarse sin
sustitución, por lo que se trata de una prueba ordenada
sin sustitución.

n = 11,   r = 5

11P5 = 11! / (11 – 5)! = 11! / 6! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7
= 55,440 maneras de asignar la participación

Combinaciones

Como ya se mencionó anteriormente, una
combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos
interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro
del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos
y el contenido de los mismos.

La fórmula para determinar el número de
combinaciones es:

La expresión anterior nos explica como las
combinaciones de r objetos  tomados de entre
n objetos pueden ser obtenidas a partir de las
permutaciones de r objetos tomados de entre n
objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos
importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las
permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos
quitando el orden y por tanto transformándolas en
combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular
permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con
multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones
requeridas.

                                              
nPr = nCr r!

Y si deseamos r = n entonces;

                                              
nCn = n! / (n -n)!n! = n! / 0!n! = 1

¿Qué nos indica lo anterior?

Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad
de elementos con que se cuenta solo es posible formar un
grupo.

Ejemplos:

1)      a. Si
se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una
campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza
podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada
uno de ellos, b.si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres,
¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3
mujeres?, c.¿cuántos de los grupos de limpieza
contarán con 4 hombres por lo menos?

Solución:

a. n = 14,  r = 5

      
                                    14C5
= 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!

                                   
     = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/
9!5!

                                   
     = 2002 grupos

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que
contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y
grupos mixtos, con hombres y mujeres.

b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres),   
       r = 5

En este caso nos interesan aquellos grupos que
contengan  3 mujeres y 2 hombres

                                          
8C3*6C2  = (8! / (8 -3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!)

                                           
     = (8! / 5!3!)*(6! /
4!2!)

                                           
     = 8 x7 x 6 x 5 /2!

                                          
      = 840 grupos con 3 mujeres y
2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5
personas

c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4
hombres o más

Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres
+ grupos con 5 hombres

                
         =
6C4*8C1    +     6C5*8C0
=  15 x 8   +   6 x 1 = 120 + 6 =
126

2)      Para
contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12
preguntas,

a. ¿Cuántas maneras tiene
el alumno de seleccionar las 9 preguntas?,

b. ¿Cuántas maneras tiene
si forzosamente debe contestar las 2  primeras
preguntas?,

c. ¿Cuántas maneras tiene
si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?,

d .¿Cuántas maneras tiene
si debe contestar como máximo una de las 3 primeras
preguntas?

Solución:

a.  n = 12,    r = 9

12C9 = 12! / (12 – 9)!9! = 12! / 3!9! = 12 x 11 x 10 /
3!

 = 220 maneras de seleccionar las nueve preguntas o
dicho de otra manera,

el alumno puede seleccionar cualquiera de 220 grupos de
9 preguntas para contestar el examen

b.      2C2*10C7 = 1 x 120 =
120 maneras de seleccionar las 9 preguntas entre las que
están las dos primeras preguntas

c.       3C1*9C8 = 3 x 9 =
27 maneras de seleccionar la 9 preguntas entre las que
está una de las tres primeras preguntas

d.      En este caso debe
seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas

 3C0*9C9  +  3C1*9C8 = (1 x 1) + (3 x 9)
= 1 + 27 = 28 maneras de seleccionar las preguntas a
contestar

3)      Una
señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene,
a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, b.
¿cuántas maneras tiene si entre ellos está
una pareja de recién casados y no asisten el uno sin el
otro, c. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos si
Rafael y Arturo no se llevan bien y no van juntos?

Solución:

a. n = 11,    r = 5

      11C5 = 11! / (11 – 5 )!5!
= 11! / 6!5!

             
  = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5!

             
  = 462 maneras de invitarlos

Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco
personas para ser invitadas a cenar.