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Como graficar una desigualdad o inecuación (programación lineal)



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    100 80 60 40 20 100 80 60 40 -1- COMO GRAFICAR UNA DESIGUALDAD O
    INECUACIÓN (PROGRAMACIÓN LINEAL) Para fijar mejor
    la idea procederemos a mostrar varios ejemplos de menor a mayor
    grado de dificultad. EJEMPLO 1: Determinar gráficamente el
    área que cumple con la siguiente desigualdad: X + Y = 100
    El primer paso consiste en graficar la recta X + Y = 100,
    recordando que en Programación Lineal solo se estudia el
    primer cuadrante ya que los valores que pueden tomar las
    variables son positivos o iguales a cero ( X = O , Y = O). Una
    expresión matemática del tipo “aX + bY >
    c” ó “aX + bY < c” divide al plano
    “ XY” en dos áreas, una que cumple con la
    expresión y otra que no cumple, la separación de
    dichas áreas está representada por la recta
    “aX + bY = c”. Para determinar estas áreas
    basta con escoger cualquier punto en el plano e introducir sus
    valores en la desigualdad. Si se cumple para dicho punto se
    cumplirá para todos los puntos que se encuentran de ese
    mismo lado. Si no se cumple, tampoco se cumplirá para
    ninguno de los otros puntos de ese mismo lado. En este caso
    escogeremos el punto (40,20) para determinar si cumple o no con X
    + Y = 100 20 40 60 80 100 Sustituyendo estos valores (40,20) en
    la desigualdad tendremos: 40 + 20 = 100 ; 60 = 100 Como si se
    cumple la desigualdad (60 es menor que 100) quiere 20 X + Y = 100
    decir que todos los puntos que se encuentran a la izquierda y
    debajo de la recta cumplen con la desigualdad X+Y<100. Los
    puntos que se encuentran a la derecha y por encima de la recta no
    cumplirán. 20 40 60 80 100 Probemos con un punto que se
    encuentre por encima de la recta para verificar que es cierto lo
    que hemos dicho anteriormente: es decir NO DEBE CUMPLIR con
    X+Y<100. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José Luis
    Albornoz Salazar

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    60 40 100 80 60 40 20 -2- Estudiando el punto (60,70): Recuerde:
    Si se cumple para un punto se cumplirá para todos los que
    estén de ese mismo lado. Si no se cumple para un punto no
    se cumplirá para ninguno de los que estén de ese
    mismo lado. 100 80 EJEMPLO 2: Determinar gráficamente el
    área que cumple con la siguiente desigualdad: A –3 B
    = 0 20 Graficamos la recta A – 3 B = 0 : 20 40 60 80 100
    Sustituyendo estos valores (60,70) en la desigualdad tendremos:
    60 + 70 = 100 ; 130 = 100 NO se cumple la desigualdad (130 NO es
    menor que 100). El plano quedará dividido de la siguiente
    manera: 60 A – 3B = 0 40 100 20 80 20 40 60 80 100
    Estudiando el punto (100,10) tendremos: A – 3 B = 0 ; 100
    – 3 (10) = 0 ; 100 – 30 = 0 ; 70 = 0 20 40 60 80 100
    Como 70 NO es menor que cero, quiere decir que NO cumple con la
    desigualdad y por consiguiente todos los puntos que están
    debajo de La parte sombreada representará el área
    del plano que cumple con la desigualdad “X + Y <
    100” , y esta misma área más los puntos
    contenidos en la recta cumplen con la desigualdad “X + Y =
    100”. Para determinar las áreas que cumplen o no con
    la desigualdad basta estudiar un solo punto. En el ejemplo
    anterior trabajamos con dos puntos para fijar bien la idea. COMO
    GRAFICAR LA DESIGUALDAD la recta “A – 3 B = 0”
    tampoco cumplen. En atención a lo dicho anteriormente, la
    zona que cumple con la expresión “A – 3 B =
    0” será la que se encuentra ubicada por encima de la
    recta graficada más los puntos contenidos en ella. El
    área sombreada cumple con la desigualdad: “A –
    3 B = 0”: ING. José Luis Albornoz Salazar

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    100 80 60 40 y -3- EJEMPLO 4: Determinar gráficamente el
    área que cumple con la siguiente desigualdad : “Y =
    60” Primero grafico la recta “Y = 60” y observo
    que los valores menores a 60 se encontrarán por debajo de
    esta recta.: 60 40 20 100 20 40 60 80 100 80 Y=60 Escoja
    cualquier punto que esté en esta área sombreada y
    verifique que si cumple con A – 3 B = 0. 20 20 40 60 80 100
    EJEMPLO 3: Determinar gráficamente el área que
    cumple con la siguiente desigualdad : “X = 40”
    EJEMPLO 5: Determinar gráficamente el área que
    cumple con las siguientes desigualdades : Primero grafico la
    recta “X = 40” y observo que los valores mayores a 40
    se encontrarán a la derecha de esta recta. Dicha
    área sombreada es la que cumple con “X = 40”.
    “X + Y = 100” y. “X – 3Y = 0”
    Primero estudio la primera desigualdad ( “X + Y =
    100”) determino el área que cumple con ella: 100 80
    100 60 40 20 X=40 80 60 40 X + Y = 100 20 20 40 60 80 100 20 40
    60 80 100 COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José Luis
    Albornoz Salazar

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    y ; ; ; ; -4- Sobre esta misma gráfica estudio la otra
    desigualdad teniendo presente que el área a determinar
    debe cumplir con las dos desigualdades al mismo tiempo. El
    área que cumple las desigualdades “X + Y =
    100” “X – 3Y = 0” será la que se
    muestra sombreada a continuación : Graficando la recta
    “X – 3Y = 0” tenemos: 100 100 80 80 60 X + Y =
    100 X – 3Y = 0 60 40 X – 3Y = 0 40 20 20 20 40 60 80
    100 20 40 60 80 100 Para comprobar que esta zona cumple con las
    dos restricciones Cuando estudiamos la segunda desigualdad
    “X – 3Y = 0” notamos que los puntos que cumplen
    con ella están ubicados por encima de la recta “X
    – 3Y = 0”. Quiere decir que el área sombreada
    por debajo de la recta “X – 3Y utilice cualquier
    punto que esté ubicado en la zona sombreada e
    introdúzcalo en las dos desigualdades. Probemos con el
    punto (20,40), que está resaltado en el gráfico
    anterior dentro del área sombreada: = 0” cumple con
    la primera desigualdad “X + Y = 100” pero no con la
    segunda (entonces no forma parte del área buscada). X + Y
    = 100 20 + 40 = 100 ; 60 = 100 De igual forma notamos que hay dos
    áreas ubicadas por encima de la recta “X – 3Y
    = 0”, una que está sombreada (cumple con la X
    – 3Y = 0 20 – 3 (40) = 100 ; – 100 = 0 primera
    desigualdad “X + Y = 100” ) y otra que está en
    blanco (no cumple con la primera desigualdad pero cumple con la
    segunda). Como debemos indicar el área que cumple con las
    dos desigualdades no tomo en cuenta la que está ubicada
    por encima de la Notamos que al sustituir los valores (20,40) en
    las dos desigualdades ambas se cumplen. Probemos con el punto
    (60,80), que está ubicado fuera del área sombreada:
    recta “X – 3Y = 0” (cumple con la segunda
    desigualdad “X – 3Y = 0” ) y que no cumple con
    “X + Y = 100”. En otras palabras dejo la que
    está sombreada y no tomo en cuenta la que está en
    blanco. X + Y = 100 X – 3Y = 0 60 + 80 = 100 ; 140 = 100 60
    – 3 (80) = 100 ; – 180 = 0 Quedará sombreada
    únicamente el área que cumpla con las dos
    desigualdades. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD Notamos que al
    sustituir los valores (60,80) en las dos desigualdades, se cumple
    en la segunda pero NO en la primera. ING. José Luis
    Albornoz Salazar

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    500 – -5- EJEMPLO 6: Determinar gráficamente el
    área que cumple con las siguientes desigualdades : A1 + A2
    = 500 (1) – A1 + A2 = 0 (2) – 2 A1 + A2 = 0 (3) A1 = 100 (4) Y a
    la condición de no negatividad que implica que todas las
    variables de decisión sean positivas (valores mayores o
    iguales a cero) A1 , A2 = 0 (5) Solución Gráfica:
    El problema tiene solamente dos variables de decisión, A1
    y A2, y por lo tanto sólo dos dimensiones, así que
    podemos usar un procedimiento gráfico para resolverlo.
    Dicho proceso consiste en dibujar un gráfico en dos
    dimensiones, utilizando a A1 y A2 como los ejes. El primer paso
    consiste en identificar los valores de A1 y A2 permitidos por las
    restricciones, esto es, la región o área factible
    de solución determinada por las restricciones. El
    procedimiento más recomendado consiste en trazar la recta
    (“generada por la restricción”) y sombrear el
    lado factible y a medida que vayamos graficando nuevas rectas
    “borramos” el área sombreada anteriormente que
    no cumpla con esta nueva restricción. En el gráfico
    anterior notamos que el punto (100,200) cumple con la
    restricción (100 + 200 < 500) por lo que todos los que
    están en el primer cuadrante y del lado izquierdo de la
    recta también. – Estudiando la restricción 2: – A1
    + A2 = 0 (2) A2 El área sombreada representa el espacio de
    solución factible de A1 + A2 = 500 y – A1 + A2 = 0 – A1 +
    A2 = 0 A1 + A2 = 500 Recuerde que las restricciones de no
    negatividad ( A1 = 0 ; A2 = 0) limitarán la región
    factible a estar en el cuadrante positivo (conocido como primer
    cuadrante). Estudiando la primera restricción A1 + A2 <
    = 500 (1) 100 300 500 A1 A2 500 A1 + A2 = 500 El área
    sombreada representa el espacio de solución factible de A1
    + A2 = 500 El punto (100,200) cumple con la restricción
    dos (-100 +200 > 0) y ya vimos que cumple con la
    restricción 1. Sin embargo el punto (200,100) cumple con
    la restricción 1…. (200+100 < 500) pero NO
    cumple con la restricción 2… (-200+100 no es mayor
    que 0) por lo tanto no estará dentro del espacio de
    solución. El estudiante debe recordar que para formar
    parte del espacio de solución o área factible los
    puntos deben cumplir con todas las restricciones que se vayan
    estudiando. El último aspecto señalado permite
    garantizar que la solución encontrada cumpla con todas las
    restricciones o limitaciones que impone el Modelo
    Matemático. 100 300 500 A1 Nótese también
    que a medida que se van analizando las restricciones el espacio
    factible (área sombreada) se hace menor. JAMAS
    crecerá. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING. José
    Luis Albornoz Salazar

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    -6- – A2 Estudiando la restricción 3: – 2A1 + A2 = 0 (3)
    El área sombreada representa el espacio de solución
    factible 500 – 2 A1 + A2 = 0 – A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 500 A1
    de – 2 A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 – A1 + A2 = 0 – Estudiando la
    restricción 4: A2 A1 = 100 (4) A1 = 100 – 2 A1 + A2 = 0 El
    área sombreada representa el espacio TOTAL de
    solución 500 – A1 + A2 = 0 A1 + A2 = 500 A1 500 Definida
    como ha sido el área total de factibilidad, el
    último paso consiste en escoger el punto de dicha
    región que maximiza o minimiza el valor de la
    función objetivo. COMO GRAFICAR LA DESIGUALDAD ING.
    José Luis Albornoz Salazar

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