Como resolver una situación con las herramientas de la programación lineal
¿ Recuerdas como se calcula el àrea de un
rectàngulo ? La Geometrìa enseña que el
àrea de un rectàngulo es igual al producto de su
base por su altura. Luego, llamando A al àrea del
rectàngulo, b a la base y h a la altura, la fòrmula
: A = b x h altura base ING. J.L. ALBORNOZ
A = b x h Representarà de un modo general el àrea
de cualquier rectàngulo, puès èsta se
obtendrà con solo sustituir b y h en la fòrmula
anterior por sus valores en el caso dado. Por ejemplo, si
queremos conocer el àrea de un terreno que tiene 8 metros
de frente por 20 metros de largo, solo tenemos que introducir
estos dos valores en la fòrmula, su àrea
serà: A = b x h = 8 m x 20 m = 160 m2 ING. J.L.
ALBORNOZ
Al igual que en la Geometrìa, en la Programaciòn
Lineal se utilizan letras para identificar de manera general los
valores que puedan alcanzar las incògnitas. Estas
incògnitas pueden ser : La cantidad de productos
elaborados, el nùmero de productos vendidos, la cantidad
de artìculos adquiridos, el nùmero de obreros
asignados a una actividad, etc. La ventaja de utilizar la
notaciòn algebraica estriba en que al indicar; por medio
de una ecuaciòn, inecuaciòn o modelo
matemàtico; el comportamiento de una actividad
empresarial, nos permitirà visualizar rapidamente el
resultado de la misma en cualquier momento del proceso. ING. J.L.
ALBORNOZ
Imaginemos que estudiamos las actividades de una PANADERÌA
donde se elaboran panes, galletas y tortas. Para
“bautizar” las incògnitas podemos utilizar la
siguiente nomenclatura: P = Cantidad de panes producidos
diariamente G = Cantidad de galletas producidas diariamente T =
Cantidad de tortas producidas diariamente Si el dìa de hoy
se fabricaron 100 panes, 40 galletas y 10 tortas, se puede
indicar que la producciòn diaria fue de : P = 100 ; G = 40
; T = 10 ING. J.L. ALBORNOZ
Si queremos indicar que se elaboran mas panes que galletas : P =
G Se producen menos tortas que panes : T = P El nùmero de
panes elaborados es mayor que el resto de los demàs
productos : P = G + T ING. J.L. ALBORNOZ
Al entrevistar al “panadero”, èste nos
indicò que para fabricar cada pan se utilizan 2 tazas de
harina de trigo, para cada galleta media taza y para cada torta 6
tazas. Tambièn indicò que la cantidad de harina de
trigo que pueden adquirir alcanza para suministrar hasta 280
tazas. Esta consideraciòn limita la producciòn de
tal manera que la cantidad de harina a utilizar no puede ser
mayor a la disponible. Debemos relacionar la cantidad de tazas
que necesita cada unidad de cada producto con respecto a las 280
tazas de que se disponen: 2 P + 0,5 G + 6 T = 280 ING. J.L.
ALBORNOZ
¿ Con la cantidad de harina que se adquiere normalmente
puedo fabricar 80 panes, 40 galletas y 15 tortas ? Para resolver
esta situaciòn solo debo sustituir las incògnitas
por los valores indicados y ver si se cumple la
inecuaciòn. En este caso en particular 2P + 0,5G + 6T =
280. Al sustituir los valores de las incògnitas: 2 (80) +
0,5 (40) + 6 (15) = 280 160 + 20 + 90 = 280 ; 270 = 280 Como 270
es menor que 280 si se cumple la inecuaciòn; por lo tanto
Si se pueden fabricar las cantidades indicadas en la pregunta.
ING. J.L. ALBORNOZ
¿ Con la cantidad de harina que se adquiere normalmente
puedo fabricar 90 panes, 30 galletas y 15 tortas ? Para resolver
esta situaciòn solo debo sustituir las incògnitas
por los valores indicados y ver si se cumple la
inecuaciòn. En este caso en particular 2P + 0,5G + 6T =
280. Al sustituir los valores de las incògnitas: 2 (90) +
0,5 (30) + 6 (15) = 280 180 + 15 + 90 = 280 ; 285 = 280 Como 285
no es menor que 280 no se cumple la condiciòn; por lo
tanto no se pueden fabricar las cantidades indicadas en la
pregunta. ING. J.L. ALBORNOZ
Si queremos indicar que por cada torta vendida se venden 4
galletas, debemos “construir” una ecuaciòn de
manera que cuando sustituyamos la cantidad de tortas obtengamos
el cuàdruple de unidades de galletas: El error màs
comùn es indicar la ecuaciòn como 1 T = 4 G Analice
bien lo que quiere indicar y utilice la ecuaciòn 4 T = 1 G
, sustituya T=1 (por cada torta vendida) y obtendrà G=4
(se venden 4 galletas). Como esa es la condiciòn que
quiere indicar, la ecuaciòn a utilizar serà: 4 T =
G ING. J.L. ALBORNOZ
Al entrevistar al dueño de la panaderìa nos
indicò que tiene un contrato de suministro diario de 40
panes con el comedor de la escuela local. Todos los dìas
vende 10 galletas a la bodega de la cuadra y 4 tortas a la
cantina del liceo. Esta situaciòn nos obliga a que
cualquier consideraciòn en la producciòn diaria de
dicha panaderìa contemple por lo menos cumplir con esos
pedidos. P = 40 G = 10 T = 4 ING. J.L. ALBORNOZ
El precio unitario de venta al publico de los tres
artìculos es el siguiente: Pan = Bs 1000, Galleta = Bs
600, Torta = Bs 8000. El costo de producción de cada
artìculo es : Pan = Bs 800, Galleta = Bs 500, Torta = Bs
6500. Para determinar cuàl es la utilidad por cada uno de
los productos es bueno aclarar que utilidad = Precio de venta
menos precio de costo Utilidad de P = 1000 – 800 = Bs 200
Utilidad de G = 600 – 500 = Bs 100 Utilidad de T = 8000
– 6500 = Bs 1500 Si llamamos Z a la ecuaciòn de
utilidad de la panaderìa, obtendremos que : Z = 200 P +
100 G + 1500 T ING. J.L. ALBORNOZ
¿ Y què hacemos con esas expresiones algebraicas ?
ING. J.L. ALBORNOZ
A continuaciòn resolveremos un problema sencillo para
fijar mejor la idea ING. J.L. ALBORNOZ
Tome su cuaderno, copie el enunciado del problema y a medida que
vaya viendo la presentaciòn verifique la
informaciòn. Esto le permitirà garantizar la
secuencia de resoluciòn. ING. J.L. ALBORNOZ
PROBLEMA TIPO Una panaderìa fabrica pan dulce y pan
salado. La utilidad por cada pan salado es de Bs 100 y la de cada
pan dulce es de Bs 150. Diariamente se venden mas panes salados
que dulces. Se tiene un contrato de suministro con el comedor
popular de 180 panes salados y 90 panes dulces diariamente. La
capacidad de producciòn es de 500 panes diarios. El
dueño de la panaderìa le pide a usted que le diga
que cantidad de panes debe fabricar diariamente para obtener la
màxima utilidad. ¿ Cuàl serà su
recomendaciòn ?. NOTA: Recuerde y ponga en pràctica
los mismos cinco pasos que se recomiendan para solucionar un
problema de Àlgebra. ING. J.L. ALBORNOZ
1.- Identificar el problema: Se pide MAXIMIZAR las utilidades de
una empresa que elabora panes (Panaderìa). 2.- Identificar
y “bautizar” las incognitas Se nos habla de pan dulce
y pan salado, quiere decir que existen dos incògnitas. Las
que pueden ser “bautizadas” como: S = Cantidad de
panes salados que se deben elaborar diariamente. D = Cantidad de
panes dulces que se deben elaborar diariamente. ING. J.L.
ALBORNOZ
3.- Elaborar el MODELO MATEMÀTICO La funciòn
objetivo o ecuaciòn de la utilidad serà: Z = Bs
100xS + Bs 150xD Analizando las restricciones que se deben
cumplir tenemos que : Se venden mas panes salados que dulces: S =
D (1) ING. J.L. ALBORNOZ
Se tiene un contrato de suministro diario de 180 panes salados y
90 panes dulces : Para garantizar el cumplimiento de dicho
contrato se deben elaborar diariamente 180 ò màs
panes salados y 90 ò mas panes dulces. Por lo tanto: S =
180 (2) D = 90 (3) ING. J.L. ALBORNOZ
La capacidad de producciòn es de 500 panes diarios : S + D
= 500 (4) El MODELO MATEMÀTICO de PL quedarà
expresado como: MAXIMIZAR Z = 100 S + 150 D Sujeta a las
siguientes restricciones: S = D (1) S = 180 (2) D = 90 (3) S + D
= 500 (4) ING. J.L. ALBORNOZ
4.- Resolver el MODELO MATEMÀTICO : (Este paso lo
aprenderemos en la pròxima presentaciòn) Al
utilizar el Mètodo Gràfico o cualquiera de los
programas de modelado matemàtico para computadoras, se
obtendràn los siguientes resultados : S = 250 y D = 250
Estos resultados se leen: Para obtener la màxima utilidad
se deben producir diariamente 250 panes salados y 250 panes
dulces. ING. J.L. ALBORNOZ
Para determinar cual es la utilidad màxima que puede
obtener la panaderìa diariamente, basta con introducir
estos valores en la funciòn objetivo o ecuaciòn de
utilidad. Z = 100 S + 150 D Z = ( 100 x 250 ) + ( 150 x 250) Zmax
= Bs 62.500,oo La utilidad màxima diaria que puede obtener
la panaderìa es de Bs 62.500,oo ING. J.L. ALBORNOZ
5.- Comprobar los resultados : No existe otra combinaciòn
de valores que se puedan asignar a S y a D que arrojen una
utilidad mayor y que al mismo tiempo cumplan con todas las
restricciones del problema. Compruèbelo utilizando la hoja
de càlculo EXCEL. ING. J.L. ALBORNOZ
ING. J.L. ALBORNOZ Para resolver un Modelo Matemático de
Programación Lineal se pueden utilizar dos métodos
: El método gráfico (para 2 incógnitas) y el
uso de programas en computadora (para 2 o más
incógnitas). Aunque el método gráfico ya no
es utilizado en el campo profesional algunos institutos de
educación lo siguen dictando, si ese es su caso, observe
la presentaciòn identificada como mètodo
gràfico de programaciòn lineal albornoz que se
encuentran en la web.
Para la solución de los Modelos Matemáticos de
Programación Lineal con el uso del computador recomendamos
consultar el archivo 69 ejercicios resueltos de
programación lineal albornoz que se encuentra en la web.
Ing. José L. Albornoz S.