Consulta de Integrales

Integrales
definidas

Cálculo de una integral
definida:

Todo esto lo mostraremos de forma
gráfica como sigue:

Teorema de la
existencia de la integral definida

Reglas de cálculo de las
integrales definidas:

• 1. Fórmula de
  Newton-Leibniz:

• 2. integración por
  partes:

• 3. Cambio de variable:

Donde es
una función continua junto con su derivada en el segmento es una función continua en el segmento

Ejemplo:

En este caso hacemos un cambio de variable ya que el
argumento de la función es aparentemente complejo, o
sea:

Por lo que la integral nos quedará
de la siguiente forma:

Propiedades principales de una
integral definida

Posteriormente resolveremos el miembro
derecho de la igualdad:

Por lo que queda demostrada la
propiedad.

EJERCICIOS RESUELTOS
(1)

• 1) Calcule las siguientes
  integrales:

Para el segundo integrando:

Ahora los límites de
integración cambiarán de la siguiente
manera:

Ahora aplicamos el método de
integración por partes, donde:

El segundo integrando también
procederemos por partes, o sea:

Aplicaciones de las integrales
definidas:

Las integrales definidas son muy aplicables en las
ciencias exactas, técnicas, económicas y naturales.
En este caso trataremos de las aplicaciones que estarán
relacionadas con las ingenierías, para ello es importante
tener en cuenta los siguientes aspectos que a nuestro humilde
juicio son importantes para la mejor asimilación de este
tema:

Cálculo del área de una figura
plana:

Generalmente es importante para cualquier ingeniero
calcular las áreas de determinados planos, que a
diferencia de lo conocido por nosotros en la geometría
plana donde las figuras son regulares, casi siempre nos
encontramos con figuras geométricamente irregulares por lo
que nos sería muy difícil aplicar los
métodos tradicionales para el cálculo del
área, por ejemplo:

Si tuviésemos una parcela de tierra para un
futuro cultivo cuya forma fuese regular, o sea:

En este caso como en otros es fácil
determinar el área, pero en caso que la parcela sea con
sus lados, o al menos uno de sus lados curvos. Es por ello que
debemos tener en cuenta los siguientes aspectos.

Caso I

Caso II

Caso III

Caso IV

Caso V

Aplicaciones
económicas de la integración

Extracción del petróleo de un
pozo:

De igual manera sucede con los recursos forestales que
el hombre explota en ocasiones sin tener en cuenta la reserva,
siendo este uno de los grandes problemas existentes en el mundo
actual, para estos casos:

Reserva de divisas de un país:

EJERCICIOS RESUELTOS
(2)

En este caso, no quedará
que:

Ahora aplicamos el método de sustitución
de variables, o sea;

En otras palabras hay que evaluar las curvas en los
puntos donde se cortan para saber cuál de ellas tiene
mayor valor, esto significa que en el gráfico una
estará por encima de la otra, o sea, el área de la
figura plana es real (No Negativa), de aquí
que:

Resolución

Este caso es parecido a los anteriores, con la
diferencia que se trata de una recta y una curva por lo que
igualaremos ambas funciones para saber dónde se cortan, o
sea:

Resolución

Entonces nos quedará
que:

Resolución

Este caso se puede resolver de la siguiente
forma:

Derivamos la ecuación de la curva, o
sea:

Ejercicios resueltos sobre aplicaciones de las
integrales definidas

• 2A.1- El rendimiento de plantas de
  café con buenas condiciones de fructificación
  en un intervalo de tiempo normal de una cosecha se expresa
  por la siguiente ecuación, o función de
  densidad probabilística:

Resolución

En este caso procederemos teniendo en cuenta que el
intervalo de tiempo es desde 4 hasta 15 años, o
sea:

Aunque parezca un valor insólito este es el
rendimiento por planta de café en 11 años con
óptimas condiciones.

El rendimiento medio en este caso
será:

Con óptimas condiciones el rendimiento medio
será de 99,77 %.

• 2A.2- La densidad de probabilidad de una
  variable aleatoria que nos representa el tiempo expresado en
  años que demora en contaminarse determinada zona de
  cultivos que producto de la cercanía a una central
  nuclear, cuyas medidas de protección no se cumplen se
  ha comprobado que la misma se rige por la siguiente
  ley:

Resolución

En este ejercicio que es típico
de una posible investigación sobre contaminación
ambiental, por lo que le proponemos los siguientes
pasos:

• 2A.3- Si la fuerza de Coriolis que
  actúa sobre un cuerpo de masa está dada por la siguiente
  ecuación

Resolución

Este es un caso típico de aplicación
de las integrales definidas en uno de los fenómenos
físicos más comunes existentes en nuestro planeta a
gran escala, o sea, la existencia de un grupo de fenómenos
relacionados con las fuerzas de Coriolis donde se ha comprobado
que la rotación de la Tierra ejerce un efecto sobre los
objetos que se mueven sobre su superficie que se llama "Efecto
Coriolis". En el Hemisferio Norte este efecto curva su
dirección de movimiento hacia la derecha y viceversa por
lo que el efecto Coriolis curva la dirección inicial de
los vientos que se mueven entre dos puntos de alta y baja
presión desviándolos, en el Hemisferio Norte, hacia
la derecha de su dirección de avance y en el Hemisferio
Sur, hacia la izquierda. Por lo anteriormente analizado le
proponemos aplicar el siguiente procedimiento:

Esta es la expresión de la
velocidad para esta latitud geográfica

Para obtener la expresión del desplazamiento
de un cuerpo que cae libremente en esta latitud es fácil,
sólo hay que tener en cuenta que:

Y esta es la expresión que rige
el desplazamiento del cuerpo en estas condiciones.

Resolución

Este ejercicio aparentemente es difícil,
pero, si tenemos en cuenta las siguientes consideraciones desde
el punto de vista físico es fácil percatarse de las
siguientes condiciones de frontera o contorno.

La fuerza de atracción entre un planeta y el
Sol o entre dos cuerpos en el espacio cósmico es central y
conservativa, por lo que para que estos cuerpos se acerquen o sea
alejen, la fuerza gravitacional realizará un trabajo que
depende de las posiciones iniciales y finales de ambos cuerpos, o
sea, en este caso variará la energía potencial del
campo gravitatorio. Esto se puede expresar matemáticamente
de la siguiente forma:

Integrales impropias

Conceptos básicos: Se llaman
integrales impropias a aquellas que:

• 1. A las que tienen límites
  infinitos.

• 2. A las de las funciones
  infinitas.

Ejemplos:

Como este límite no existe. Por
ende, la integral impropia diverge.

O sea, la integral impropia
converge

Por lo que la integral impropia
converge.

Por lo que la integral impropia
diverge.

Por lo que la integral impropia
converge.

Criterios de comparación: Al
investigar la convergencia de integrales impropias se
utilizaremos uno de los criterios de
comparación:

Ejemplos:

Integrales en
función de un parámetro. Derivación e
integración bajo el signo de integral

Consideremos la siguiente integral:

Para derivar respecto al parámetro una
integral impropia:

Ejemplos:

Posteriormente hallamos la derivada del integral
respecto con respecto a o sea:

Luego derivamos respecto a una vez más, o
sea:

Resolución:

En este caso lo primero que haremos es examinar la
integral:

• XI-b)- Hallar:

Resolución:

En este caso procederemos como
sigue:

Resolución:

En este caso procederemos como
sigue:

Por consiguiente:

Función
gamma

Se llama función gamma o Integral de Euler de
segundo género a una integral que tiene la siguiente
forma:

Propiedades de la función
gamma:

A modo de
conclusión

Ejemplos:

Resolución:

En este caso emplearemos otros recursos, ya
conocidos, o sea:

Resolución:

En este caso utilizaremos la
relación:

Función
Beta

Se llama función beta o integral de Euler de
primer género a la integral:

A las formas anteriores se reducen muchas integrales
que se resuelven en problemas prácticos. Para calcular los
valores de la función beta se utiliza la siguiente
dependencia entre la función beta y la función
gamma:

Entonces como:

Ejemplos:

Resolución:

En este caso procederemos como sigue, o
sea:

Resolución:

En este caso procederemos como
sigue:

• 1. Primero para mayor facilidad de trabajo,
  escribiremos la integral de la siguiente
  forma:

Entonces nos quedará
que:

• XIII-c)- Demuestre que si:

Resolución:

En este caso aparentemente es difícil, pero,
en realidad es todo lo contrario, para ello le proponemos la
siguiente forma de resolución:

Aplicaciones en
la física

El objetivo fundamental de el conocimiento de este
tema es para una de las aplicaciones más importantes en la
Física Moderna, específicamente en la Óptica
Cuántica, cuando se estudia la radiación
térmica, donde se pone de manifiesto una de las leyes
más importantes no sólo de la Física, sino,
también de la naturaleza la Ley de Conservación de
la Energía y aunque nos parezca extraño es un
aspecto importantísimo en la comprensión de las
cuestiones referentes a la Física Nuclear, aspecto este de
gran aplicación en la ciencia actual. Pero no pretendemos
en este capítulo profundizar en el tema desde el punto de
vista físico, nuestra intención es dar a conocer
algunas de las aplicaciones más importantes referentes al
tema y profundización de estos métodos
matemáticos, por lo que resumiremos a continuación
los siguientes aspectos:

EJERCICIOS RESUELTOS
(3)

• 3.1- Hallar:

Resolución:

En este caso procederemos realizando los siguientes
pasos:

Resolución:

Este inciso se refiere como hemos visto en ejemplos
anteriores a un caso típico de la función gamma
para una fracción negativa, por lo que procederemos de la
siguiente forma:

Resolución:

Este inciso se refiere como hemos visto en ejemplos
anteriores a un caso típico de la función gamma
para una fracción positiva semientera, por lo que
procederemos de la siguiente forma:

Resolución:

Este inciso se refiere como hemos visto en ejemplos
anteriores a dos casos comunes de la función gamma para un
número natural y uno real entero, por lo que procederemos
de la siguiente forma:

• Para determinar aplicamos la 4ta propiedad
  de la función gamma, o sea:

• Luego determinamos aplicando la 6ta propiedad
  de la función gamma, de la siguiente
  forma:

• Ahora determinamos

Autor:

Profesor: Lic. Juan Carlos Chávez
Turiño