Geometría divertida: Cuaderno de geometría con explicaciones etimológicas y apuntes históricos

Introducción

La razón principal que nos ha movido a escribir
éste cuaderno de Geometría, es la simplicidad de
ésta ciencia en sí, y lo difícil, engorroso
y complejo que resulta su enseñanza y a aun más su
aprendizaje en nuestras escuelas. Es por eso, que desde el primer
momento que quise escribir estas notas, la imagen de mi hija
Teresa Josefina, de once años, fue el espíritu
tutelar que hizo posible que coordinara las ideas, y que creo que
una niña de once años, puede entender los elementos
fundamentales de la Geometría que se enseña en las
escuelas del nivel medio.

Escribir una Geometría ceñida a sus
orígenes, una exposición etimológica, que
facilite con el sólo enunciado del concepto las ideas,
debe abrir la razón, como el grano abre la dura
cáscara de la granada, cuando éste está
maduro. Tal como el Revelador del libro Apocalipsis, en
éste cuaderno, el que lea, que entienda, lo que la
Geometría nos quiere enseñar con cada uno de sus
términos.

Los breves datos biográficos y los apuntes
históricos de los escasos personajes que presentamos, son
para despertar el interés, y dar a conocer a esos hombres,
de los cuales usamos sus nombres, pero sin conocer sus vidas.
Así como las puntualizaciones etimológicas, han de
ser explicaciones sencillas unas veces, y panorámicas
generales en otras, la utilizaremos para facilitar la tarea de
hace de la Geometría una tarea divertida.

Siempre se ha querido presentar a la Geometría,
partiendo de su definición etimológica, por lo cual
se dice que proviene del griego geo, que es decir tierra, y
metron, igual a medida; por lo cual la Geometría es la
medida de la tierra. Y eso es verdad, ya que nos expresa que la
Geometría es una ciencia que sirve para un fin
práctico y natural. Y era que los egipcios, tenidos por
sabios por los griegos, como nos dice Heródoto, quien en
su libro segundo, apartado 121, nos dice que fueron las crecidas
periódicas del río Nilo, que los hizo usar la
Geometría, ya que esas inundaciones, que no suceden hoy,
por la construcción de la represa de Asuan, tuvieron la
necesidad de medir sus tierras, ya que con cada crecida del
río, se borraban las marcas de los deslindes.

Los babilonios fueron otro pueblo, que aunque
desarrollaron la Astronomía y vigilaban la bóveda
celeste, tenían los pies sobre la tierra, tuvieron que
medir el suelo, para también hacer Geometría. Pero
fueron los griegos, los primeros que le dieron rigor
científico a la necesidad de medir, haciendo grandes
avances con su rústico compás y sus toscas reglas,
ya que esos eran todos sus instrumentos.

El aporte de los griegos es tal, que solo bastan los
nombres de Thales de Mileto, Pitágoras de Samos y de
Euclides, para conocer su importancia. Este Euclides, nacido en
el año 315 y que murió en el 225 antes de Cristo,
fue a Alejandría por pedido del faraón Ptolomeo
Primero, para que pusiera en forma ordenada lo que se
entendía por Geometría. Tomó Euclides como
punto de partida los escritos de Apolunio el Carpintero, escritos
que son el punto de partida de sus Elementos Geométricos.
También mejoró los trabajos de Eudoxio de Cnido y
los de Teeteto.

Aunque Euclides escribió mucho, solo se conservan
sus Elementos Geométricos, los cuales constan de X111
libros, aunque hay editores que lo llevan hasta XV1 libros.
También conservamos sus Datas, que consisten en 95
proposiciones, y un tratado sobre la División, y algunos
fragmentos de sus Lugares Superficiales, que pudieron ser usados
por Arquímedes. Se le atribuye un libro sobre la
Óptica.

Dice Aurelio Baldor, que la piedra angular de la
Geometría de Euclides es el postulado que reza: "De un
punto exterior a una recta sólo puede trazarse una
perpendicular a la mitad y sólo una". Ésta
Geometría fue libro de texto por más de dos mil
años, y cuando dejó de ser libro se texto
pasó a ser de consulta obligatoria.

Platón, el padre de la Dialéctica, se dice
que hizo escribir en el frontal de su escuela, la Academia, esta
frase: "Que nadie entre aquí si no sabe Geometría".
Pero para los fines de este cuaderno, la Geometría
será la rama de las Matemáticas que trata de las
propiedades, medidas y relaciones entre los elementos,
líneas, planos y espaciales. Y esto ha de ser así,
porque en ella se estudian las propiedades de las figuras, sin
importar el lugar que ocupan en el plano o en el espacio;
también se estudian las magnitudes y las formas que esas
figuras tienen.

Conceptos
Geométricos fundamentales

El punto, la recta y el plano, son los conceptos
primarios de la disciplina que vamos a estudiar.

El punto: La palabra que designamos como punto,
proviene del latín punctum, que es la marca que se hace
con una aguja. En Geometría, el punto es la marca
mínima que se puede hacer sobre una superficie plana.
Cuando apoyamos el lápiz sobre una hoja de papel, hacemos
un punto. Este punto no tiene tamaño específico.
Basta con apoyar el lápiz y tenemos un punto, pero ese
punto debe estar en un plano.

La recta: La palabra recta, proviene del
latín, y significa directa. La recta es la sucesión
de puntos, y que se extiende en sentido contrario. Esta
sucesión de puntos que hemos llamado recta no tiene un
grosor o anchura determinada, pero si una extensión o
longitud ilimitada. Al final de la recta hay una cabeza de
flecha, y se ha de designar con letra
mayúscula.

La recta la segmentamos, cuando designamos puntos
distintos de esa recta, las letras son minúsculas, como
por ejemplo

Plano: El nombre de plano proviene del
latín planus, y que significa que está a nivel; por
lo cual, el plano es una superficie lisa que se extiende en toda
dirección en forma ilimitada, aunque lo representamos con
cuatro lados. El ancho y el largo son ilimitados, aunque lo
representamos con cuatro lados.

Las dimensiones del plano son ancho y largo. Como
ejemplo de un plano es una hoja de papel. Cuando representamos un
plano ponemos una letra mayúscula dentro de
él.

La longitud de una recta: Longitud es una palabra
latina que significa largo, y con ella nos referimos a la
distancia que existe entre dos puntos o extremos. Por ejemplo,
esta recta la hemos segmentado

y podemos decir que el segmento ab es igual al segmento
cd.

Cuando se dice que dos segmentos de recta son
congruentes, estoy diciendo que son iguales, y lo represento
así ab cd, la rayita encima significa congruente; si
quiero decir que un segmento es mayor que otro escribo este
signo: >, y para menor uso este otro signo < .

Aplicando la Lógica a la Geometría,
encontramos estas propiedades:

1. Propiedad reflexiva o de igualdad: Todo segmento de
recta es igual a el mismo; la que significa que ab es igual a
ab.

2. Propiedad simétrica: lo que significa que si
ab es igual a cd, entonces cd es igual a ab.

3. Propiedad transitiva: esto significa que si ab es
igual a bc y bc es igual a cd, entonces ab es igualo a
cd.

La suma de los segmentos: esto se explica de esta
manera

Si el segmento ab es consecutivo del segmento cd, el
segmento ad es la suma de todos los segmentos.

No dejaremos la recta sin confirmar el enunciado del
teorema que dice: "dos rectas de un plano que ni son paralelas,
ni son superpuestas, tienen un punto y sólo uno, que es el
punto donde se intersectan". El punto donde estas dos rectas se
encuentran, es el punto C, por lo cual C es la unión de A
y B.

También debemos decir que cuando dos rectas no se
intersectan en un punto, esas rectas se llaman paralelas. La
palabra paralela es griega y significa una al lado de la otra.
Las líneas paralelas, por más que se prolonguen no
se intarsectan o se juntan.

Como ejemplo de paralelas tenemos las rectas A y
B:

______________________
A

______________________
B

Los ángulos: La palabra Angulo, es una
palabra griega, y significa encorvado. La definición que
dan los textos para ángulo, es que la figura
geométrica formada por dos líneas que tienen un
mismo punto de partida. El símbolo para el Angulo es >,
y para nombrarlo usamos letras minúsculas en su
interior.

Así se representa un ángulo:

Los ángulos por sus medidas:

Angulo agudo: Ante todo debemos decir que la
palabra agudo, se dice en latín acutu, que es lo mismo que
puntado. Se debe deber que su medida va de un grado, no de cero,
como dicen los textos, hasta menos de 90 grados. El ángulo
no puede medir cero grado, porque entonces sería una
recta, y una recta no es un ángulo.

Este es un ángulo agudo:

El ángulo recto: es el ángulo que mide
exactamente 90 grados.

Este es un ángulo recto:

El ángulo obtuso: Este ángulo fue
descubierto por Thales de Mileto, y lo designo con el nombre de
obtuso, porque está derivado al horizonte.

Este ángulo obtuso es que tiene sus medidas mayor
de 90 grados y menor de 180 grados.

Como acabamos de decir que el ángulo obtuso tiene
más de 90 grados y menos de 180 grados, con este enunciado
hemos hecho un postulado; entendiendo por postulado, la
proposición cuya verdad se admite sin prueba, y que es
necesaria para servir de base a ulteriores
razonamientos.

Para medir los ángulos usamos un instrumento
llamado transportador. Las medidas de los ángulos es en
grado, lo cual es un legado de los babilonios. Un grado, es cada
una de las 360 partes en que se divide la circunferencia. Cada
grado, en la superficie de la tierra, en el circulo imaginario
que se denomina Ecuador, mide ciento once kilómetros, o lo
que igual a 69.17 millas aproximadamente. Cada grado se divide en
60 partes iguales, llamadas minutos, y cada minuto a su vez se
divide en 60 partes llamadas segundos.

Al hablar de los tres ángulos anteriores no hemos
incluido los llamados ángulos nulo y llano,
extendidos o lineales, por no considéralos
ángulos, ya que no responden a la definición de
ángulo, al no ser encorvados. La palabra latina para
ángulo es angulus, que significa esquinas, y estos
dos ángulos, ni son encorvados, ni tienen
esquinas.

He aquí un ejemplo de esos
ángulos.

De estos ángulos no sabemos ni donde
se encuentra la bisectriz de ellos, ni podemos encontrar donde se
encuentran sus rectas.

Ángulos complementarios y
suplementarios:

Dos ángulos son complementarios si sus medidas
suman 90 grados. Como el ángulo recto mide 90 grados, y el
ángulo agudo mide menos de 90 grado, la suma de dos
ángulos agudos, que sumen 90 grados, son
complementarios.

Por ejemplo

Si tenemos un ángulo agudo, que sea este
denominado A, B, C, que mide 63 grados, y otro ángulo
agudo, el M, N Ñ, que mide 27 grados, ambos ángulos
son complementarios. A estos ángulos se le denomina
complementarios, porque proviene de la palabra latina que
significa completo; y al ángulo recto, que mide 90 grado
se le llama también ángulo completo. No es
necesario que ambos ángulos tengan que tener puntos en
común.

Los Angulo suplementarios: se denominan
ángulos suplementarios, a aquellos ángulos que
junto miden 180 grados. Para alcanzar esta suma, pueden reunirse
dos ángulos rectos, un ángulo agudo y un obtuso, o
varios ángulos agudos.

No olvides, que dijimos que los ángulos llanos o
rectos no existen; por lo cual no hay ángulo de 180
grados.

Enunciado: Dos rectas que se cortan, formando
ángulos opuestos por el vértice, son ángulos
opuestos y congruentes.

Fíjate como los ángulos a y b son
congruentes y opuesto por el vértice.

Los ángulos alternos internos son congruentes
también. Estos ángulos se presentan cuando una
recta transversal cruza dos paralelas, como en éste
ejemplo, donde los ángulos 2 y 3 son
congruentes

También se puede decir que los ángulos
alternos externos también son congruentes. Estos
ángulos están en la parte exterior de las
paralelas, con son los ángulos 1 y 4.

Los ángulos correspondientes son aquellos que se
forman cuando dos líneas se cruzan con otra (que se llama
transversal, los ángulos en las esquinas correspondientes
se llaman ángulos correspondientes.

En esta grafica, los ángulos ae, bf, cg, y dh son
ángulos correspondientes.

Cuando las dos líneas a las que cruza la
transversal son líneas paralelas, entonces los
ángulos correspondientes son iguales, o congruentes,
como en este ejemplo,

En esta figura, los ángulos 1 y 5, 2 y 6, 4 y 8,
3 y 7, son correspondientes.

Los triángulos: La palabra triangulo, es
una palabra latina, y significa tres ángulos. Es
así que un triangulo es una figura geométrica
formada por tres segmentos de rectas, no alineados, que se
intersectan en tres puntos, formando en cada punto un
ángulo.

Los triángulos, atendiendo a sus lados se
clasifican en cuatro tipos:

1. Triangulo equilátero; Su nombre de
equilátero, proviene del latín, y significa que
tiene sus tres lados iguales o congruentes. En estos
triángulos, el ángulo A es congruente con B, B es
congruente con C, y C y A son congruentes o iguales.

2. El triangulo isósceles: la palabra
isósceles, proviene de las raíces griegas isos, que
significa igual, y skelos, que significa piernas. El triangulo
isósceles es el que tiene dos lados o piernas iguales. El
segmento de recta de la base no es igual con los otros dos
segmentos.

3. El triangulo escaleno: Este triangulo fue descubierto
por Thales de Mileto, y le llamó escaleno, porque
significa oblicuo u inclinado, por no tener ninguno de sus lados
iguales o congruentes entre sí.

4. El triangulo recto: Es aquel triangulo que tiene uno
de sus lados recto, el cual cae perpendicularmente sobre su base.
Este triangulo puede tener dos lados iguales o congruentes, pero
también puede no tenerlo.

Los triángulos clasificados según sus
ángulos:

• 1. Equiángulo: es el triangulo que tiene
  sus tres ángulos iguales, y que ya conocemos como
  triangulo equilátero. Sus tres ángulos miden 60
  grados cada uno.

• 2. Acutángulo: es el triangulo que tiene
  sus tres lados agudos, pero ninguno congruente. Es el
  triangulo escaleno.

3. Triangulo rectángulo: es el triangulo en que
uno de sus ángulos es recto y los dos restantes pueden ser
o no congruentes. Lo conocemos como triangulo recto.

• 3. El triangulo obtusángulo: es el
  triangulo en que uno de sus ángulos es
  obtuso.

Nota: Sea un triangulo equiángulo,
rectángulo, acutángulo o obtusángulo, la
suma de todos sus ángulos es igual a 180
grados.

El perímetro de un triangulo: la palabra
perímetro, es griega, y proviene de peri, que significa
alrededor, en torno, y de metron, que significa medida; por lo
cual, el perímetro de un triangulo no es mas que la
relimitación de su contorno, la medida de la parte de
afuera del mismo.

Para hallar el perímetro se suman las tres
partes, y ya se tiene su medida perimetral. Su formula es P=
L+L+L

El área de un triangulo: La palabra
área, es que usaban los latinos para designar el espacio
de tierra que está comprendida entre ciertos
límites. Entonces el área de un triangulo es la
cantidad que se necesita para rellenar un triangulo. Para hallar
el área del triangulo se multiplica la base por la altura,
y el producto se divide por dos.

La formula del área es: a=1/2 (b/h).

Aunque en latín, la palabra alto, altura,
proviene de altus, en geometría se designa la
altura con una (h), y creemos que porque en francés, alto
se escribe (haut)

Como las medidas que usamos son del sistema
métrico decimal, y estas notas son también
históricas, para conocer sobre este sistema de medir,
recomendamos la lectura de la novela de Julio Verne: Aventura
de tres Rusos y tres Ingleses en el África
Austral.

Aunque se haya dicho muchas veces, una vez más no
sobre: por orden de la Convención Francesa, los
astrónomos Pierre Median y Jean Bastite Pelambre, midieron
el meridiano que va de Dunkerque a Barcelona, y ésta
medida es la base de nuestro sistema de medición; pero
cuando hablamos de millas, jardas, y pies y pulgadas, nos estamos
refiriendo al sistema métrico ingles.

Como ya tenemos el conocimiento de la recta, las
paralelas, los ángulos y los triángulos; es decir,
tenemos las herramientas necesarias para enfrentarnos con
nuestros primeros teoremas, y estos son: el de Thales, y el de
Pitágoras

Es necesario saber que Thales de Mileto, es el
más antiguo de los filósofos griegos
presocráticos, y que vivió entre los años
640 y el 544 antes de Cristo. De él se dice que
escribió dos tratados de astronomía: "Del
regreso del sol de un trópico a otro", y "Del
equinoccio". Para Pánfilo, Thales aprendió la
Geometría de los egipcios, descubrió que el
triangulo inscrito en un semicírculo es un triangulo
rectángulo. También se le atribuye haber
descubierto el triangulo escaleno, y que llegó a medir la
altura de las pirámides de Egipto, por la sobra que
proyectaban.

Según el historiador griego Heródoto,
Thales predijo el eclipse de sol ocurrido el 28 de mayo del
año 585 A.C. También se le tiene como el creador de
la filosofía natural, al afirmar que el agua es el
principio de todas las cosas. Es tenido como uno de los 7 sabios
de Grecia, y es que nos va a decir como se demuestra nuestro
primer teorema.

Es bueno saber que la palabra teorema, es una palabra
griega, y que significa examinar con la vista, contemplar. Un
teorema consta de dos partes. Primero es la
hipótesis, que es lo que suponemos como verdad; y
la segunda parte, la tesis, o la conclusión, que es
la demostración que se hace.

El teorema de Thales, nos habla de la proporcionalidad,
y se enuncia de esta manera: "Si por un
triángulo se traza una línea paralela a cualquiera
de sus lados, se obtienen dos triángulos
semejantes".

Con el trazado de la línea A, la cual es paralela
con D, se ha obtenido un triangulo semejante al existente, que
era un triangulo recto.

El teorema de Thales, nos habla de la proporcionalidad,
y se enuncia de esta manera diciendo: "Una recta paralela
a un lado cualquiera de un triangulo, determina en los otros dos
lados segmentos proporcionales"

Cuando observamos el triangulo original, formado por los
segmentos de rectas A, B, C, y luego trazamos la recta paralela a
B C, que es B" C", como se muestra en la grafica, se ha de notar
que se ha creado un segundo triangulo. En el enunciado de la
proporcionalidad, no se dice que los triángulos sean
iguales, semejantes o congruentes, se ha dicho que son
proporcionales.

El teorema de Pitágoras: Es necesario saber que
quien le dio el nombre a éste teorema fue el
filósofo y matemático griego Pitágoras, que
vivió entre los años 580 y 500 A.C., y que
nació en la isla de Samos. Pitágoras fundó
una especie de sociedad secreta y religiosa, en cuya secta sus
seguidores debían observar una moral elevada. Sus
seguidores creían en la trasmigración del alma,
idea que seguramente aprendieron de los egipcios. En las
enseñanzas pitagóricas, los números, los
astros y las esferas tenían almas.

Pitágoras fue el primer filósofo en darle
valor especulativo al pensamiento filosófico. Aporte que
hizo fue grande en el campo de las Matemáticas, la
Astronomía y la Geometría. La tabla de multiplicar
es uno de sus aportes.

Pitágoras murió en Trotona, donde
fundó una escuela después de regresar de un viaje
que hizo a Egipto. En éste momento vamos a estudiar su
teorema, el cual se enuncia diciendo: "En un triangulo
rectángulo, el cuadrado de hipotenusa es igual a la suma
del cuadrado de los otros dos catetos"

Antes de entrar al teorema, debemos saber que
hipotenusa, es el lado opuesto al ángulo recto en
el triangulo rectángulo, y que es una palabra griega que
significa tender por debajo. Cateto, que el nombre que tienen los
lados opuesto a la hipotenusa, también es una palabra
griega, y significa de arriba abajo, y es la palabra con que los
griegos designaban a la plomada de albañil.

He aquí un la grafica del teorema:

En ésta grafica, la suma del cuadrado a y de b,
da como resultado el cuadrado de c; por lo cual el cuadrado de c
es igual a la suma del cuadrado de a y de b.

Por medio del teorema de Pitágoras podemos
determinar cual es la medida de la hipotenusa si sabemos cual es
la medida de los dos catetos, como también se puede
determinar cual es la medida de un cateto se tenemos la medida de
la hipotenusa y de uno de los catetos.

El perímetro y el área de un
cuadrado:

1. El cuadrado, nos dice el diccionarios, es una figura
cuadrangular, y el latín, cuadrangular es que tiene cuatro
ángulos. Recordemos que el rectángulo, el trapecio,
el rombo y el paralelogramo; a todos estos cuadriláteros
se les encuentra el perímetro, sumando la media de cada
uno de sus lados.

La formula para halla su perímetro es:
P=L+L+L+L.

Para hallar el área de este cuadrado, se usa la
formula: a=b x h , si uno de sus lados mide 6 cm, se multiplica
el 6×6=36. Por lo cual es necesario 36 centímetros para
cubrir un cuadrado que mida 6 centímetros por cada uno de
sus lados.

2. El trapecio: la palabra trapecio es griega, y
significa pequeña mesa. El trapecio es una figura
geométrica cuadrilátera convexa, o sea, salida
hacia los exteriores, donde dos de sus lados son congruentes y
sus otros dos lados pueden ser desiguales entre
sí.

Trapecio escaleno

Esta es la formula para hallar el área del
trapecio: a= (b+d) x h.

Un trapecio que su base b mida 7 centímetros, y
su base d mida 12 centímetros y su lado a es de 10
centímetros, con una altura de 9 centímetros, esto
es un trapecio escaleno como en la figura de arriba. Procedemos a
sumar 12+7, multiplicado por 9=84 dividido por 2=42
centímetros de área.

3. El paralelogramo, es que tiene sus lados convexos
paralelos. Su área se encuentra, como en el cuadrado,
multiplicando su base por la altura: a=b x h.

4. El rombo: La palabra rombo significa losa, mosaico, y
su área se encuentra por el producto de su base
multiplicado por la altura. También se encuentra
multiplicando sus dos diagonales y dividiendo por dos. La palabra
que hemos usado como diagonal es griega, y es la línea
recta que va de un ángulo a otro en un polígono; el
polígono es la porción del plano que está
limitada por líneas rectas.

Para el área de éste rombo procedemos de
esta manera: a= 30 x 16 Dividido 2= 240
centímetros.

El circulo: El nombre de el circulo proviene del
latín circus, que significa aro, anillo; para nosotros, el
circulo es una superficie plana, limitada por una curva, donde
todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo
en interior llamado centro. En el círculo no hablamos de
perímetro, sino de circunferencia, lo que significa dar la
vuelta, tornar. La circunferencia se obtiene al multiplicar el
diámetro por el phi, que es 3.1416. El diámetro es
el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y que
necesariamente pasa por el centro. El diámetro tiene dos
veces la medida del radio.

Antes de entrar a trabajar con la circunferencia, es
necesario que dominemos este vocabulario
mínimo:

• Centro, el punto interior equidistante de
  todos los puntos de la circunferencia;

• Radio, el segmento que une el centro con un
  punto cualquiera de la circunferencia;

• Diámetro, el mayor segmento que une
  dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el
  centro); diámetro significa: medir con el
  metro.

• Cuerda, el segmento que une dos puntos de la
  circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son
  los diámetros)

• Recta Secante, la que corta a la
  circunferencia en dos puntos;

• Recta Tangente o simplemente Tangente, la que
  toca a la circunferencia en un sólo punto;

• Punto de tangencia, el de contacto de la
  recta tangente con la circunferencia;

• Arco, el segmento curvilíneo de puntos
  pertenecientes a la circunferencia;

• Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos
  delimitados por los extremos de un
  diámetro.

Esta es la formula para hallar la circunferencia: C=ph x
d.

Si el diámetro de la circunferencia es 14, al
multiplicarlo por 3.1417=43.9

Esta es la formula del área del circulo, que es
ph por radio al cuadrado: A=Ph x r2. El radio es el segmento que
une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la
misma.

Si el radio de este círculo es 7, elevo el 7 al
cuadrado, que es 49 y lo multiplico por 3.1416, es igual a:
153.9.

Si te pregunta por qué es necesario multiplicarlo
por 3.1416, te puedo decir que es una muy buena pregunta. Te
puedo decir que el 3.1416 es un número irracional, y fue
usado por Pitágoras al notar la relación que hay
entre este número y la diagonal de un cuadrado o el
diámetro de un círculo. Recuerdas que un
número irracional, es el número que no puede ser
expresado como una fracción.

Y ya que estamos en el círculo, veamos los
ángulos central e inscrito en una
circunferencia.

Ángulo central es aquel que tiene su
vértice en el centro de la circunferencia.

Ángulo inscrito es aquel que tiene su
vértice sobre la circunferencia.

Según Euclides, e n una circunferencia, el
ángulo cuyo vértice está en el centro es el
doble del ángulo cuyo vértice está en la
circunferencia cuando los rayos que forman el ángulo
cortan a la circunferencia en los mismos dos puntos.

En la figura de abajo se ha trazado un arco, si del
centro de la circunferencia trazamos un ángulo que toque
los dos extremos de ese arco, ese ángulo ha de tener la
misma medida que tenga el arco.

El área y el volumen del cono:

El cono debe su nombre al cuerno, tanto en griego como
en latín, y es la figura geométrica cuya superficie
está engendrada por una generatriz, pasando de un punto
fijo llamado cumbre o cima y apoyada en una curva fija o
directriz.

La generatriz de un cono es cada uno de los
segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la
circunferencia de la base.

Esta es la formula para hallar el área del cono:
A= phr2+g+h. Esto se debe leer: Área es igual a pi
multiplicado por el radio al cuadrado, más la suma de la
generatriz, más la suma de la altura.

Si el cono tiene un radio de 8 cm, una generatriz de 12
cm y una altura de 10 cm, procedo a: 3.1416 x 8 al cuadrado que
es 64, más 12, más 10= A=223.06 cm.

Para hallar el volumen del cono: hasta ahora no
habíamos usado la palabra volumen, que significa
envoltura, enrollar. El volumen es el espacio que ocupa un
cuerpo. Para hallar el volumen del cono se multiplica el ph por
el radio al cuadrado, lo que luego se multiplica por la altura y
se divide entre tres.

Esta es la formula del volumen del cono: V= 3.1416 x r2
x h/3. Como en el ejemplo anterior hacemos esta
operación:

V= 3.1416 x 64 x 10 /3= 67o.20 centímetros
cuadrados.

Área y volumen de la esfera: La palabra
esfera significa bola en griego, y es el cuerpo limitado por una
superficie cuerva, donde todos los puntos están a igual
distancia de un punto interior llamado centro.

La formula para hallar el área de la esfera es:
A= 4 x ph x r2, esto es que el área es igual a 4
multiplicado por el pi, es 3.1416, multiplicado por el cuadrado
del radio.

Pongamos como ejemplo que esta esfera tiene un radio de
8 centímetros, entonces procedemos a multiplicar 4 x
3.1416 x el cuadrado de 8 que es 64 y nos dará:
804.20.

Para hallar el volumen de la esfera se multiplica por 4
el ph, luego se multiplica por el cuadrado del radio y se divide
por 3.

Esta es la formula del volumen de la esfera: V= 4 x ph x
r2 /3.

Si tomamos la esfera anterior que tiene un radio de 8
centímetros esto es lo que obtenemos: V= 4 x 3.1416 x
64/3= 268 centímetro cuadrados.

El área y el volumen del cilindro:
Cilindro significa rollo, y es el cuerpo limitado por una
superficie enrollada, con dos planos paralelos que se encuentran
en la generatriz.

Para hallar el área de un cilindro, se suman sus
dos caras, mas la suma del cuerpo o área lateral del
mismo. Esta es su formula: A= 2 x ph x r + (b x h).

Si nuestro cilindro tuviera un radio de 15
centímetros por una altura de 40 centímetros, con
47 de base, esto es lo que tendríamos: A= 2 x 3.1416 x 15
+ (47 x 40)=1974.24.

La formula para el volumen es: V= ph x r2 x
h/3.

El cilindro anterior nos daría: V= 3.1416 x 225 x
40= 28,244.4/3= 9424.8 centímetros cuadrados.

Área y volumen de la pirámide: El
nombre pirámide, le viene del latín piramidis, lo
que significa monumento. La pirámide es el solidó
que por base tiene un polígono,( palabra que significa
muchos ángulos) y varias caras laterales triangulares, las
cuales se unen un punto llamado cúspide o cima.

El área de la pirámide se obtiene al medir
el área de su base, a la cual se le suma el área de
cada uno de los triángulos que forma sus caras. Por
ejemplo, si nuestra pirámide tiene en su base un cuadrado
de 4 centímetros de largo por 4 centímetros de
ancho, y sus caras tiene 5 centímetros de alto, entonces
tendremos 16 centímetros en la base, y cada una de sus
cuatro caras mediría 10 centímetros, que al ser 4,
serian 40 centímetros, mas los 16 de la base nos
daría un área de 56 centímetros
cuadrados.

Para hallar el volumen de la pirámide, se plantea
esta formula V= b x h/3, esto es que se multiplica el área
de la base por el área de la altura, y se divide entre
3.

En el ejemplo anterior, de una pirámide de cuatro
lado, con una base de 16 centímetros, en el que sus caras
miden 40 centímetros, al multiplicarlos tenemos 440
centímetros, que al ser divididos por 3, es igual a un
volumen de 213.33 centímetros.

El prisma: su área y volumen: La palabra
prisma, es proviene de la palabra griega prisein, que significa
prisión. El prisma regular es el solidó que tiene
dos pares de bases paralelas, formadas por un polígono,
donde las caras laterales son un paralelogramo. El prisma tiene 6
caras.

Para tener una idea del prisma, una caja, una casa, una
nevera, es un prisma. Para hallar el área del prisma, se
busca el área de cada una de sus 6 caras y se
suman.

Por ejemplo, si la figura de arriba tiene una altura de
4 centímetro de prefundida o anchura, por 4
centímetros de altura, y una longitud de 6
centímetros, dos de sus lados miden 16 centímetros
cada uno, y los otros cuatro 24 centímetros cada uno, lo
cual al ser sumados dan un área de 124 centímetros
cuadrados.

Para hallar su volumen, se multiplica el área del
largo, por el área ancho, por área de la
altura.

En el prisma anterior al multiplicar 16 x 16 x 36 nos
dice que V= 9,216 centímetros.

Para finalizar, queremos hacerlo con la
demostración del Teorema de Thales de Mileto que se
enuncia diciendo: "Todo ángulo inscrito en una
semicircunferencia es una ángulo recto".

Conclusiones

Hemos llegado al final de éste cuaderno de
Geometría divertida, pero quiero como una nota
histórica dejar anotado, que ésta ciencia de
niños y para niños, tuvo un gran cultivador en
Eratóstenes este filósofo, matemático,
astrónomo, arqueólogo, poeta y geógrafo, que
vivió entre los años 275 y 194 a.C. Este sabio fue
llamado a la ciudad de Alejandría por el rey Ptolomeo, y
observó que en el solsticio de verano, el 21 de junio, el
sol no se alejaba mucho del cenit, y vio como los rayos caer
perpendicularmente sobre la tierra. Basado en esa
observación, calculó la circunferencia de la
tierra, de una forma asombrosa.

Al igual que Eratóstenes, tú puedes hacer
tus observaciones, y proponer tus propios teoremas, y verá
lo divertido que es. Por razón te proponemos que realice
estos ejercicios, y lo observe. Toma tu cuaderno, transportador,
regla, lápiz y compás, y que demuestre:

1. Que los ángulos de los cuatro tipos de
triángulos suman siempre miden 180 grados.

2. Dibuja los cuatro tipos de triángulos y
trázale una paralela a su base para observar como se
obtienen triángulos semejantes y a la vez
proporcionales.

3. Traza tantos semicírculos como desees, y el
interior traza ángulos en los puntos que quieras, y al
medirlo siempre obtendrás Angulo rectos.

4. En una circunferencia traza arcos y mides sus
ángulos centrales e inscritos, y
mídelos.

5. traza un cuadrado, un rombo o un rectángulo, y
con un transportador verifica que sus cuatro ángulos
sumados dan 360 grados

5. Demuestra con regla y compás el postulado de
Euclides, piedra angular de sus Elementos, que dice: "Por un
punto exterior a una recta sólo se puede trazar una
perpendicular a la mitad y sólo una".

6. Enuncia y demuestra tu propio teorema.

Autor:

Humberto R. Méndez
B.