;
y
-1-
INECUACIONES LINEALES
REGLAS :
1) Si a < b, entonces a+c < b+c (también se cumple para =, > y =).
Ejemplo : Si 3 < 5 y sumamos 2 a ambos términos, obtenemos 5 < 7.
En este ejercicio mantenemos a “X” al lado izquierdo del signo de la
desigualdad y pasamos a “+2” al lado derecho pero cambiándole el
signo.
X + 2 = 7
Así, la inecuación quedará expresada como:
2) Si a < b y c < d, entonces a+c < b+d (también se cumple para =,
> y =).
X = 7 – 2
X = 5
Ejemplo : Si 3 < 5
obtenemos 7 < 11.
4 < 6, entonces sumando las desigualdades,
Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a 5; esta
solución puede ser mostrada de tres formas :
3) Si a < b y c > 0, entonces ac < bc (también se cumple para =, >
y =).
Ejemplo : Si 3 < 5 y multiplicamos por 2 obtenemos 6 < 10.
En forma gráfica:
/////////////////////////////////////////////////
4) Si a < b y c < 0, entonces ac > bc (también se cumple para =, >
–8
5
+ 8
y =). Cuando se multiplica por un valor negativo se cambian los
signos de los términos y el sentido de la desigualdad.
Nota: Se coloca
solución.
en el número 5 indicando que él forma parte de la
Ejemplo : Si 3 < 5 al multiplicar por –2 obtenemos –6 > –10.
En forma de intervalo:
X = [5,+ 8 )
EJERCICIO 1 :
Resolver
X + 2 = 7
Intervalo cerrado en 5 (incluido el 5) hasta infinito positivo (tanto el
infinito positivo como el infinito negativo se indican como intervalo abierto
“paréntesis”).
De la misma forma que hemos trabajado con las ecuaciones lineales
podemos hacerlo con las inecuaciones, es decir se recomienda
ordenarla de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer
miembro (lado izquierdo del signo de desigualdad) y los números en el
segundo miembro (lado derecho del signo de desigualdad).
En forma de conjunto:
X = {X ? R /
X = 5 }
Igual que en las ecuaciones, al “pasar” un término de un miembro al otro
se debe cambiar el signo de dicho término.
INECUACIONES O DESIGUALDADES
X pertenece a los números reales tal que X sea mayor o igual a 5
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
+ 8
-2-
EJERCICIO 2 :
Resolver
3 = X – 2
Al “pasar” un término de un miembro al otro se debe cambiar el signo
de dicho término.
De la misma forma que hemos trabajado con las ecuaciones lineales
podemos hacerlo con las inecuaciones, es decir se recomienda
3X – X < 2 + 4
2X < 6
ordenarla de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer
miembro (lado izquierdo del signo de desigualdad) y los números en el
segundo miembro (lado derecho del signo de desigualdad).
Igual que en las ecuaciones, al “pasar” un término de un miembro al otro
se debe cambiar el signo de dicho término.
3 = X – 2
–X = – 2 – 3 ; –X = – 5
En aquellos casos (como este) en que la variable presente signo
negativo se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”,
teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los
términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
(– X = – 5).( – 1)
El “2” que está multiplicando a la “X” en el miembro izquierdo de la
inecuación pasará al miembro derecho dividiendo al “6” (Esto solo se
puede hacer si el coeficiente que acompaña a la variable es positivo).
Si la variable hubiese estado acompañada por un número negativo,
primero se multiplica toda la inecuación por “menos uno” (ver ejercicio 2)
y después se hace el despeje.
2X < 6 ; X < ; X < 3
Lo que significa que “X” puede tomar valores menores a 3 (no incluye al
3); esta solución puede ser mostrada de tres formas :
En forma gráfica:
///////////////////////////////////////////////////////////////////
–8 3
X = 5
Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a 5; esta
solución es la misma que la del ejercicio 1.
Nota: Se coloca
de la solución.
En forma de intervalo:
en el número 3 indicando que él NO forma parte
X = (– 8 , 3 )
Intervalo abierto desde menos infinito hasta intervalo abierto en 3 (no
incluye al 3).
EJERCICIO 3 :
Resolver
3X – 4 < X + 2
En forma de conjunto:
Ordenar de manera tal que las variables queden ubicadas en el primer
miembro (lado izquierdo de la desigualdad) y los números en el segundo
miembro (lado derecho de la desigualdad).
INECUACIONES O DESIGUALDADES
X = {X ? R / X < 3}
X pertenece a los números reales tal que X sea menor a 3
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
;
;
;
;
–8
en
+ 8
;
-3-
EJERCICIO 4 :
Resolver
2X – 1 = – 3X + 3
EJERCICIO 5 :
Resolver 4X + 1 – 2 = 7X – 6 – X
Ordenando las variables
derecho:
al lado izquierdo y los números al lado
Ordenando las variables al lado izquierdo y los números al lado
derecho:
2X + 3X = 3 + 1
5X = 4
X =
4X – 7X + X = – 6 – 1 + 2
– 2X = – 5
Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o mayores a
Esta solución puede ser mostrada de tres formas :
Como la variable “X” está acompañada por un coeficiente con signo
negativo (– 2) se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”,
teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los
términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
En forma gráfica:
(– 2X = – 5).( – 1)
2X = 5
X =
X = 2,5
/////////////////////////////////////////////////
+ 8
Lo que significa que “X” puede tomar valores iguales o menores a 2,5.
Esta solución puede ser mostrada de tres formas :
Nota: Se coloca
En forma de intervalo:
indicando que él forma parte de la solución.
En forma gráfica:
///////////////////////////////////////////////////////////////////
–8 2,5
En forma de intervalo:
X = [
,+ 8 )
X = (– 8 , 2.5 ]
Intervalo cerrado en
(incluido el ) hasta infinito positivo (tanto el
En forma de conjunto:
infinito positivo como el infinito negativo se indican como intervalo abierto
“paréntesis”).
X = { X ? R / X = 2,5 }
En forma de conjunto:
EJERCICIO 6 :
Resolver – 10X + 2 < 3X + 28
X = {X ? R / X = }
X pertenece a los números reales tal que X sea mayor o igual a
Ordenando las variables al lado izquierdo y los números al lado
derecho:
INECUACIONES O DESIGUALDADES
– 10X – 3X < 28 – 2
– 13X < 26
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
;
;
)
}
-4-
Como la variable ”X” está acompañada por un coeficiente con signo
negativo (– 13) se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”,
teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los
términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
Luego se multiplica TODA la inecuación por el m.c.m (se debe multiplicar
cada término por el m.c.m):
(– 13X < 26).( – 1)
X >
13X > – 26
X > – 2
Lo que significa que “X” puede tomar valores mayores a “ – 2” (no
incluye al “– 2”); esta solución puede ser mostrada de tres formas :
Posteriormente se divide cada numerador entre su respectivo
denominador.
2X – 4 + 18X < – 3X
En forma gráfica:
–8
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
-2 + 8
La inecuación ha quedado expresada en forma lineal y su solución
puede ser enfocada de la misma forma como los ejercicios anteriores:
En forma de intervalo:
X = ( – 2 , + 8 )
2X + 18X + 3X < 4
23X < 4
X <
En forma de conjunto:
Lo que significa que “X” puede tomar valores menores a
al ); esta solución puede ser mostrada de tres formas :
(no incluye
X = {X ? R / X > – 2 }
En forma gráfica:
////////////////////////////////////////////////////////////////
EJERCICIO 7 :
Resolver
–8
+ 8
En forma de intervalo:
Cuando alguno, varios o todos los términos de la inecuación presenten
fracciones, se recomienda “eliminar” los denominadores para que la
inecuación quede expresada en forma lineal.
La operación para “eliminar” los denominadores se realiza en forma
similar que con las ecuaciones.
En forma de conjunto:
X = (– 8 ,
Primero se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores:
(m.c.m de 6, 2 y 4 = 12)
X = {X ? R /
X <
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
;
,
+ 8
]
}
;
;
-5-
EJERCICIO 8 :
Resolver
3 = 4 (X – 2)
(– 21X = – 27).( – 1)
21X = 27
X =
Primero se realiza la multiplicación indicada en el miembro derecho de la
inecuación :
Como al reducir por tres
X =
3 = 4X – 8
Cuando alguno, varios o todos los términos de la inecuación presenten
fracciones, se recomienda “eliminar” los denominadores para que la
inecuación quede expresada en forma lineal.
La operación para “eliminar” los denominadores se realiza en forma
similar que con las ecuaciones.
Lo que significa que “X” puede tomar valores menores o iguales a
esta solución puede ser mostrada de tres formas :
En forma gráfica:
///////////////////////////////////////////////////////////////
–8
Primero se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores:
(cuando exista un solo denominador se tomará como m.c.m. En este
caso m.c.m = 5)
En forma de intervalo:
X = (– 8 ,
Luego se multiplica TODA la inecuación por el m.c.m (se debe multiplicar
cada término por el m.c.m):
(5)(3) = 5(4X – 8)
15 = 20X – 40
Posteriormente se divide cada numerador entre su respectivo
denominador.
2 – X – 15 = 20X – 40
La inecuación ha quedado expresada en forma lineal y su solución
puede ser enfocada de la misma forma como los ejercicios anteriores:
– X – 20X = – 40 – 2 + 15 ; – 21X = – 27
Como la variable ”X” está acompañada por un coeficiente con signo
En forma de conjunto:
X = {X ? R / X =
EJERCICIO 9 : Resolver – 1 < 2X – 5 < 7
Esta expresión representa realmente dos inecuaciones, la primera :
– 1 < 2X – 5 y la segunda : 2X – 5 < 7
La solución total estará representada por la intersección de las dos
soluciones parciales. En ese sentido, se procede a resolver cada
inecuación por separado y al final se consigue la intersección de ambas.
Resolviendo – 1 < 2X – 5
negativo (– 21) se debe multiplicar toda la inecuación por “menos uno”,
teniendo en cuenta que se deben cambiar los signos de todos los
– 1 < 2X – 5
– 2X < – 5 + 1
– 2X < – 4
términos y también se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Al multiplicar por menos uno :
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
+ 8
–8
;
;
+ 8
2
)
}
-6-
(– 2X < – 4) (-1)
2X > 4
X >
X > 2
Resolviendo 2X + 1 = 4X – 3
–8
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
2 + 8
2X – 4X = – 3 – 1
Al multiplicar por menos uno :
– 2X = – 4
Resolviendo 2X – 5 < 7
2X = 4
X =
X = 2
2X – 5 < 7
2X < 7 + 5
2X < 12
X <
X 0 la función tiene 2 raíces diferentes
(corta al eje X en dos puntos).
? Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
su vértice en un punto contenido en el eje X).
? Si b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
corta al eje X).
b2 – 4ac = (0)2 – 4(1)(4) = 0 – 16 = – 16
Como b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales ( NO corta al eje
X ).
Ing. José Luis Albornoz Salazar
simetría
X
(0,4)
X
– 10 –
Cuarto paso : Como no se pueden calcular las dos raíces de la función
se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno ubicado al lado
izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho, esto nos facilitará
visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
Como el eje de simetría es X = 0 puedo calcular los puntos cuando
X = – 1 y cuando X = 1, para lo cual sustituyo estos valores en la
función f(x) = X2 + 4
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
Y
Eje de
Para X = – 1 ;
f(-1) = (-1)2 + 4 = 1 + 4 = 5
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (–1,5)
Para X = 1 ;
f(1) = (1)2 + 4 = 1 + 4 = 5
Vértice (0,4)
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (1,5)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Y
Una vez graficada la parábola resulta extremadamente fácil visualizar
cuales son los valores positivos de la función (están por encima del eje
X) y los valores negativos (están por debajo del eje X).
(-1,5)
(1,5)
En este caso la parábola está ubicada completamente por encima del eje
X por lo tanto todos los valores que toma son positivos.
Como la desigualdad estudiada quedó ordenada como X2 + 4 = 0 nos
interesa determinar los valores mayores e iguales a cero (valores
positivos de la función) y es evidente al observar la grafica que serán
todos los números reales.
Solución en forma de intervalo:
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
INECUACIONES O DESIGUALDADES
En forma de conjunto:
X = (– 8 , + 8 )
X = { R }
Ing. José Luis Albornoz Salazar
2
=
;
;
– 11 –
Nota: Si la desigualdad estudiada hubiese quedado ordenada como
f(2,5) = – (2,5)2 + 5(2,5) – 4
= – 6,25 + 12,5 – 4 = – 2,25
X2 + 4 = 0 nos hubiese interesado determinar los valores menores e
iguales a cero (valores negativos de la función) y es evidente al
observar la grafica que estos no existen.
Luego, la solución será un conjunto vacío ( X no pertenece al conjunto
de los números reales).
f(2,5) = 2,25
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 2.5 , 2.25 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
EJERCICIO 3 :
Resolver
Solución :
5X – 4 – X
> 0
b2 – 4ac = (5)2 – 4(-1)(-4) = 25 – 16 = 9
Como b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
en dos puntos).
Ordenando el polinomio en forma descendente (aX2 + bX + c) :
– X2 + 5X – 4 > 0
Ahora procedemos a graficar el miembro que está al lado izquierdo del
signo de la desigualdad, considerándolo como una función.
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
siguientes pasos :
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
fórmula general de segundo grado o resolvente:
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.
a = –1
b=5
c= – 4
X1 =
=
X1 = 1
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(1,0)
X=
;
X=
;
X=
;
X = 2,5
X2 =
=
X2 = 4
Esto significa que por X = 2,5 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (4,0)
Se introduce este valor en la función
f(x) = – X2 + 5X – 4 para
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
determinar el vértice de la parábola.
INECUACIONES O DESIGUALDADES
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Ing. José Luis Albornoz Salazar
U
– 12 –
Como la inecuación es del tipo > los cortes con el eje X NO formarán
En forma gráfica:
parte de la solución y por lo tanto se indican con un círculo “hueco”.
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
–8
En forma de intervalo:
0
X = (1,4)
//////////////////
1 4
+ 8
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
En forma de conjunto:
X = {X ? R /
1 < X < 4}
Eje de
Vértice (2.5,2.25)
Nota: Si la
– X2 + 5X
menores a
observar la
“X”.
desigualdad estudiada hubiese quedado ordenada como
– 4 < 0 nos hubiese interesado determinar los valores
cero (valores negativos de la función) y es evidente al
grafica que serán los valores que están por debajo del eje
X = ( –8 , 1 )
(4 , + 8 )
simetría
EJERCICIO 4 :
Resolver
X2 = – 16 + 8X
Solución :
Una vez graficada la parábola resulta extremadamente fácil visualizar
cuales son los valores positivos de la función (están por encima del eje
X) y los valores negativos (están por debajo del eje X).
Como la desigualdad estudiada quedó ordenada como – X2 +5X – 4 > 0
nos interesa determinar los valores mayores a cero (valores positivos de
la función sin incluir al cero) y es evidente al observar la grafica que será
el intervalo
(1, 4)
La solución puede ser mostrada de tres formas :
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Lo primero que debemos hacer es “pasar” todos los términos al lado
izquierdo de la desigualdad y ordenarlo como un polinomio en forma
descendente (aX2 + bX + c) :
X2 – 8X + 16 = 0
Ahora procedemos a graficar el miembro que está al lado izquierdo del
signo de la desigualdad, considerándolo como una función.
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
siguientes pasos :
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
;
;
;
=
Eje de
X
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
Como el eje de simetría es X = 4 puedo calcular los puntos cuando
X = 3 y cuando X = 5, para lo cual sustituyo estos valores en la
a=1
b=-8
c = 16
función f(x) = X2 – 8X + 16
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
Para X = 3 ;
f(3) = (3)2 – 8(3) + 16 = 9 – 24 + 16 = 1
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (3,1)
X=
X=
X=
X=4
Para X = 5 ;
f(5) = (5)2 – 8(5) + 16 = 25 – 40 + 16 = 1
Esto significa que por X = 4 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 – 8X + 16 para
determinar el vértice de la parábola.
f(4) =(4)2 – 8(4) + 16 = 16 – 32 + 16 = 0 ; f(4) = 0
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 4 ,0 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (5,1)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
Como la inecuación es del tipo = los cortes con el eje X formarán
parte de la solución y por lo tanto se indican con un círculo “relleno”.
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
b2
– 4ac
(8)2
– 4(1)(16)
= 64 – 64 = 0
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
Como b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene su vértice
en un punto contenido en el eje X).
Otra particularidad que presenta el hecho de que el determinante sea
igual a cero es que al calcular el punto donde la parábola corta al eje X
es el mismo vértice.
Esta consideración anterior nos obliga a aplicar el cuarto paso como si
no existieran raíces reales.
Cuarto paso : Se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno
ubicado al lado izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho,
esto nos facilitará visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
(3,1)
simetría
(5,1)
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Vértice (4,0)
Ing. José Luis Albornoz Salazar
– 13 –
2
2
– 14 –
Una vez graficada la parábola resulta extremadamente fácil visualizar
cuales son los valores positivos de la función (están por encima del eje
X) y los valores negativos (están por debajo del eje X).
En este caso la parábola está ubicada por encima del eje X pero su
vértice está contenido en el eje X (4,0).
Como la desigualdad estudiada quedó ordenada como X2 – 8X +16 = 0
nos interesa determinar los valores menores e iguales a cero y es
evidente al observar la grafica que existe solo un punto que cumple con
esta condición (el vértice). Luego, la solución será :
X = 4
Nota: Si la desigualdad estudiada hubiese quedado ordenada como
EJERCICIO 6 :
Resolver – 8X + 24X – 16 = 0
Vértice (1.5,2)
X2 – 8X +16 = 0 nos hubiese interesado determinar los valores
mayores e iguales a cero y es evidente al observar la grafica que estos
serán todos los números reales.
Solución en forma de intervalo:
X = [1,2]
EJERCICIO 5 :
Resolver
X2 – 5X + 6 = 0
EJERCICIO 7 :
Resolver X – 2X – 3 < 0
Eje de
simetría
Vértice (2.5,-0.25)
Solución en forma de intervalo:
Vértice (1,-4)
X = [2,3]
Solución en forma de intervalo:
X =
( – 1,3)
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Ing. José Luis Albornoz Salazar
0
;
5
+ 8
;
;
– 15 –
INECUACIONES RACIONALES
Existen varios métodos para resolver este tipo de inecuaciones, en estos
ejercicios vamos a utilizar uno que consideramos más sencillo y sobre
todo tiene la particularidad de que paralelamente a su resolución permite
comprobar si los intervalos cumplen o no con la desigualdad planteada.
Pasos del método recomendado:
Estudiando el denominador :
4 + 2X = 0 ; 2X = – 4 ; X = ; X = – 2
Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “– 2” ya que anularía
al denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta
real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “– 2” para indicar que NO
forma parte de la solución (intervalo abierto)
1) Se calculan los valores críticos o de interés de la variable y se
señalan sobre la recta real. Estos valores de “X” serán aquellos
que anulan al numerador y al denominador de la inecuación.
–8 -2
Estudiando el numerador :
+ 8
2) Una vez indicados estos valores, la recta real quedará dividida
en intervalos.
3) Se escoge un valor en cada uno de los intervalos y se sustituye
en la inecuación inicial. Si se cumple para el punto escogido se
cumplirá para todos los puntos que se encuentren en dicho
intervalo y viceversa.
Muchos autores y profesores recomiendan “pasar” primero todos los
términos al lado izquierdo del signo de la desigualdad. Como esto trae
algunas dificultades a los alumnos menos aventajados, recomendamos
resolver la inecuación como una ecuación y resultará más cómodo :
; 3X – 1 = 1 (4 + 2X) ; 3X – 1 = 4 + 2X
4) Para indicar si los extremos de cada intervalo son abiertos o
cerrados se debe tomar en cuenta lo siguiente:
3X – 2X = 4 + 1
X = 5
? El valor donde el denominador se anula NO formará parte
de la solución porque la división por cero es
indeterminada (siempre se indicará como intervalo
abierto).
? En el valor donde se anule el numerador se tomará en
cuenta el signo de la desigualdad (intervalo cerrado si es
“=” o “=”. Intervalo abierto si es “”).
Como la desigualdad es del tipo “=” el “5” formará parte de la solución,
en la recta real colocamos un circulo “relleno” para indicar que es el
extremo de un intervalo cerrado ( ).
–8 -2 0
La recta real queda dividida en 3 intervalos :
( –8 , – 2)
( –2 , 5 ]
[ 5 , + 8 )
Para saber cuál o cuáles de estos intervalos cumplen con la
EJERCICIO 1 :
Resolver
Solución :
INECUACIONES O DESIGUALDADES
desigualdad, escojo un valor dentro de cada intervalo, lo sustituyo en la
inecuación inicial y observo si cumple o no con ella.
Si un punto de un intervalo cumple con la inecuación, cumplirán todos
los puntos de ese intervalo y viceversa.
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
;
;
;
– 16 –
Se puede escoger cualquiera de los puntos de cada intervalo.
Estudiando el intervalo ( – 8 , – 2 ) : escojo el valor “– 3” (está
ubicado a la izquierda de “– 2 “) y lo sustituyo en la inecuación inicial
1,06 = 1
Como “1,06” NO es menor ni igual a “1” significa que “6” no cumple
;
;
con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el
intervalo [ 5 , + 8 ) cumple.
;
5 = 1
–8
NO
-2
0
SI
5
NO
+ 8
Como “5” NO es menor ni igual a “1” significa que “– 3” no cumple con
la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el
intervalo ( – 8 , – 2 ) cumple.
La solución puede ser mostrada de tres formas :
En forma gráfica:
–8
NO
-2
0
5
+ 8
–8
///////////////////////////////////////////////
-2 0 5
+ 8
Estudiando el intervalo ( – 2 , 5 ] : escojo el valor “0” (está ubicado
entre “– 2” y “ 5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial
En forma de intervalo:
En forma de conjunto:
X = ( – 2,5]
– 0,25 = 1
Como “– 0,25 ” SI es menor a “1” significa que “0” si cumple con la
inecuación y por lo tanto todos los valores que están en el intervalo
estudiado ( – 2 , 5 ] cumplen.
X = {X ? R /
– 2 < X = 5}
–8
NO
-2
0
SI
5
+ 8
EJERCICIO 2 :
Resolver
Solución :
Estudiando el intervalo [ 5 , + 8 ) : escojo el valor “6” (está ubicado a
la derecha de “5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial
Estudiando el denominador :
INECUACIONES O DESIGUALDADES
X+2 = 0
X = – 2
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
;
;
– 17 –
Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “– 2” ya que anularía
al denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta
real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “– 2” para indicar que NO
forma parte de la solución (intervalo abierto)
–8
NO
-2
0
2
+ 8
–8
-2
0
+ 8
Estudiando el intervalo ( – 2 , 2 ] : escojo el valor “0” (está ubicado
entre “– 2” y “ 2”) y lo sustituyo en la inecuación inicial
Estudiando el numerador :
X – 2 = 0
X = 2
– 1 = 0
Como la desigualdad es del tipo “=” el “2” formará parte de la solución,
en la recta real colocamos un circulo “relleno” para indicar que es el
extremo de un intervalo cerrado ( ).
Como “– 1 ” SI es menor a “0” significa que “0” si cumple con la
inecuación y por lo tanto todos los valores que están en el intervalo
estudiado ( – 2 , 2 ] cumplen.
NO
SI
–8
-2
0
2
+ 8
–8
-2
0
2
+ 8
La recta real queda dividida en 3 intervalos :
( –8 , – 2) ; ( – 2,2]
[2 , + 8 )
Estudiando el intervalo [ 2 , + 8 ) : escojo el valor “3” (está ubicado a
la derecha de “2”) y lo sustituyo en la inecuación inicial
Para saber cuál o cuáles de estos intervalos cumplen con la
desigualdad, escojo un valor dentro de cada intervalo, lo sustituyo en la
inecuación inicial y observo si cumple o no con ella.
Si un punto de un intervalo cumple con la inecuación, cumplirán todos
los puntos de ese intervalo y viceversa.
; 0,20 = 0
Como “0,20” NO es menor ni igual a “0” significa que “3” no cumple
con la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el
intervalo [ 2 , + 8 ) cumple.
Se puede escoger cualquiera de los puntos de cada intervalo.
–8
NO
-2
SI
0
2
NO
+ 8
Estudiando el intervalo ( – 8 , – 2 ) : escojo el valor “– 3” (está
ubicado a la izquierda de “– 2 “) y lo sustituyo en la inecuación inicial
La solución puede ser mostrada de tres formas :
;
;
5 = 0
En forma gráfica:
Como “5” NO es menor ni igual a “0” significa que “– 3” no cumple con
la inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el
intervalo ( – 8 , – 2 ) cumple.
INECUACIONES O DESIGUALDADES
–8
///////////////////////////////////////
-2 0 2
Ing. José Luis Albornoz Salazar
+ 8
;
;
;
;
;
;
;
– 18 –
En forma de intervalo:
X = ( – 2,2]
En forma de conjunto:
–8
0
2
5
+ 8
X = {X ? R /
– 2 < X = 2}
La recta real queda dividida en 3 intervalos :
( –8 , 2 )
( 2,5)
( 5 , + 8 )
EJERCICIO 3 :
Resolver
Solución :
Para saber cuál o cuáles de estos intervalos cumplen con la
desigualdad, escojo un valor dentro de cada intervalo, lo sustituyo en la
inecuación inicial y observo si cumple o no con ella.
Si un punto de un intervalo cumple con la inecuación, cumplirán todos
los puntos de ese intervalo y viceversa.
Estudiando el denominador :
X – 2 = 0
X = 2
Se puede escoger cualquiera de los puntos de cada intervalo.
Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “2” ya que anularía al
denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta
real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “2” para indicar que NO
forma parte de la solución (intervalo abierto)
Estudiando el intervalo ( – 8 , 2 ) : escojo el valor “0” (está ubicado
a la izquierda de “2 “) y lo sustituyo en la inecuación inicial
–8
0
2
+ 8
;
;
– 2 > 3
Estudiando el numerador :
Muchos autores y profesores recomiendan “pasar” primero todos los
términos al lado izquierdo del signo de la desigualdad. Como esto trae
Como “– 2” NO es mayor que “3” significa que “0” no cumple con la
inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el
intervalo ( – 8 , 2 ) cumple.
algunas dificultades a los alumnos menos aventajados, recomendamos
resolver la inecuación como una ecuación y resultará más cómodo :
–8
NO
0
2
5
+ 8
X + 4 = 3 (X – 2)
X + 4 = 3X – 6
X – 3X = – 6 –4
– 2X = – 10
X = 5
Estudiando el intervalo ( 2 , 5 ) : escojo el valor “3” (está ubicado
entre “2” y “ 5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial
Como la desigualdad es del tipo “>” el “5” NO formará parte de la
solución, en la recta real colocamos un circulo “hueco” para indicar que
es el extremo de un intervalo abierto ( ).
;
;
;
7 > 3
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
0
2
;
;
;
;
0
;
;
– 19 –
Como “7” SI es mayor que “3” significa que “3” si cumple con la
inecuación y por lo tanto todos los valores que están en el intervalo
estudiado ( 2 , 5 ) cumplen.
EJERCICIO 4 :
Resolver
–8
NO
0
2
SI
5
+ 8
Estudiando el denominador :
Solución :
Estudiando el intervalo ( 5 , + 8 ) : escojo el valor “6” (está ubicado a
X – 2 = 0
X = 2
la derecha de “5”) y lo sustituyo en la inecuación inicial
; ;
2,5 > 3
Esto nos indica que “X” no puede tomar el valor de “2” ya que anularía al
denominador y la división por cero es indeterminada. Luego en la recta
real debo colocar un circulo “hueco” ( ) en “2” para indicar que NO
forma parte de la solución (intervalo abierto)
Como “2,5” NO es mayor que “3” significa que “6” no cumple con la
inecuación y por lo tanto ninguno de los valores que están en el
intervalo ( 5 , + 8 ) cumple.
–8
Estudiando el numerador :
+ 8
–8
NO
0
2
SI
5
NO
+ 8
Muchos autores y profesores recomiendan “pasar” primero todos los
términos al lado izquierdo del signo de la desigualdad. Como esto trae
algunas dificultades a los alumnos menos aventajados, recomendamos
resolver la inecuación como una ecuación y resultará más cómodo :
La solución puede ser mostrada de tres formas :
X + 4 = 3 (X – 2)
X + 4 = 3X – 6
En forma gráfica:
X – 3X = – 6 –4
– 2X = – 10
X = 5
–8
//////////////////
2 5
+ 8
Como la desigualdad es del tipo “ 5
; 3X – 8 = – X + 4
4X > 5
X >
X > 1,25
3X + X = 4 + 8
4X = 12
X =
X = 3
Como el signo de la desigualdad es >, el intervalo en 1.25 debe ser
abierto.
Colocando esta solución sobre la recta real se observa la
/////////////////////////////////////////////////
3 + 8
INTERSECCION de las tres soluciones y ésta representará la solución
total :
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Solución en forma de intervalo:
X = [3,+ 8 )
Ing. José Luis Albornoz Salazar
1)
;
1
+ 8
2)
;
;
–8
3)
1
4)
– 26 –
INECUACIONES CON VALOR
EJERCICIO 1 :
Resolver
¦4X – 1 ¦ = 3
Propiedades :
ABSOLUTO
Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en
dos partes (Propiedad 1) :
Para cualquier número real “X” y cualquier número
positivo “a” :
¦ X ¦ < a ???????a < X < a (también se
cumple para =). Se puede decir que la
desigualdad queda dividida en dos partes : En
la primera se “elimina” el módulo de valor
La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor
absoluto (4X – 1 = 3) y en la segunda se cambiará el sentido del signo
de la desigualdad y el signo del segundo miembro (4X – 1 = – 3)
La solución total será la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales
(Propiedad 1) :
absoluto y se mantiene lo demás igual
(X < a), y en la segunda se “elimina” el módulo
Resolviendo la primera parte:
4X – 1 = 3
de valor absoluto, se cambia el sentido de la
desigualdad y el signo del miembro de la
4X = 3 + 1 ;
4X = 4 ;
X =
X = 1
derecha ( X > -a ), la solución viene dada por la
INTERSECCIÓN de las dos soluciones
parciales.
///////////////////////////////////////////////////////////////
–8
¦ X ¦ > a ??????X > a U X < – a (también
Resolviendo la segunda parte:
4X – 1 = – 3
se cumple para =). Se puede decir que la
desigualdad queda dividida en dos partes : En
4X = – 3 + 1 ; 4X = – 2
X =
X = – 0,5
la primera se “elimina” el módulo de valor
absoluto y se mantiene lo demás igual
(X > a), y en la segunda se “elimina” el módulo
de valor absoluto, se cambia el sentido de la
desigualdad y el signo del miembro de la
derecha ( X < – a ), la solución viene dada por
la UNIÓN de las dos soluciones parciales.
//////////////////////////////////////////////////////////////////
-0,5 + 8
Solución Total
¦X ¦ < ¦a ¦
??????X2 < a2
(también se
En forma gráfica:
cumple para >, = y =).
La solución se
encuentra aplicando los métodos de resolución
de una inecuación cuadrática o de segundo
grado.
¦ X ¦ < – a Representa al conjunto vacío
(también se cumple para =)
INECUACIONES O DESIGUALDADES
–8
En forma de intervalo:
//////////////////////
-0,5
X = [ – 0.5 , 1 ]
Ing. José Luis Albornoz Salazar
+ 8
1
;
;
;
;
;
+ 8
– 27 –
En forma de conjunto:
EJERCICIO 2 :
Resolver
¦2X + 3 ¦ > 5
X = { X ? R / – 0.5 = X = 1 }
¿Como comprobar estos resultados?
Se escoge un valor cualquiera en cada uno de los intervalos y se
introduce en la inecuación inicial y se comprueba si cumple o no de
acuerdo a la solución obtenida.
En este ejercicio la solución fue :
Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en
dos partes (Propiedad 2) :
La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor
absoluto ( 2X + 3 > 5 ) y en la segunda se cambiará el sentido del
signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro ( 2X + 3 < –5 ).
La solución total será la UNIÓN de las dos soluciones parciales, es decir
la solución de la primera parte más la solución de la segunda parte
(Propiedad 2) :.
–8
//////////////////////
-0,5
+ 8
Resolviendo la primera parte:
2X + 3 > 5
2X > 5 – 3
2X > 2
X>
X>1
Escojo el valor X = –1 que está al lado izquierdo de “-0,5” (NO debe
cumplir con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación :
/////////////////////////////////////////////////
¦4X – 1 ¦ = 3
; ¦4(-1) – 1 ¦ = 3 ;
¦– 4 – 1 ¦ = 3
–8
Resolviendo la segunda parte:
1
2X + 3 < –5
+ 8
¦– 5 ¦ = 3 : 5 = 3 (esto es falso, se demuestra que NO cumple)
2X < –5 –3
; 2X < –8
X<
X < – 4
Escojo el valor X = 0 que está entre “-0,5” y “1” (debe cumplir con la
desigualdad) y lo introduzco en la inecuación :
////////////////////////////////////////////
–8 -4
¦4X – 1 ¦ = 3
; ¦4(0) – 1 ¦ = 3 ;
¦0 – 1 ¦ = 3
Solución Total
¦– 1 ¦ = 3 : 1 = 3 (esto es cierto, se demuestra que SI cumple)
En forma gráfica:
Escojo el valor X = 2 que está al lado derecho de “1” (NO debe cumplir
con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación :
////////////////////////////////////////////
–8 -4
/////////////////////////////////////////////
1 + 8
¦4X – 1 ¦ = 3
; ¦4(2) – 1 ¦ = 3 ;
¦8 – 1 ¦ = 3
En forma de intervalo:
¦7 ¦ = 3 : 7 = 3 (esto es falso, se demuestra que NO cumple)
INECUACIONES O DESIGUALDADES
X = (– 8 , – 4 ) U ( 1 , + 8 )
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
;
1
+ 8
;
;
;
–8
;
;
– 28 –
En forma de conjunto:
EJERCICIO 3 :
Resolver
¦2X + 3 ¦ < 5
X = {X ? R / X < – 4 ? X>1}
¿Como comprobar estos resultados?
Se escoge un valor cualquiera en cada uno de los intervalos y se
introduce en la inecuación inicial y se comprueba si cumple o no de
acuerdo a la solución obtenida.
En este ejercicio la solución fue :
Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en
dos partes (Propiedad 1) :
La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor
absoluto ( 2X + 3 < 5 ) y en la segunda se cambiará el sentido del
signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro ( 2X + 3 > –5 ).
La solución total será la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales
(Propiedad 1) :
////////////////////////////////////////////
–8 -4
/////////////////////////////////////////////
1 + 8
Resolviendo la primera parte:
2X + 3 < 5
2X < 5 – 3
2X < 2
X<
X 5
; ¦2(-5) + 3 ¦ > 5
¦- 10 + 3 ¦ > 5
Resolviendo la segunda parte: 2X + 3 > –5
¦– 7 ¦ > 5
: 7 > 5 (esto es cierto, se demuestra que SI cumple)
2X > –5 –3
; 2X > –8
X>
X > – 4
Escojo el valor X = 0 que está entre “- 4” y “1” (NO debe cumplir con la
desigualdad) y lo introduzco en la inecuación :
/////////////////////////////////////////////////////////////////////
-4 + 8
¦2X + 3 ¦ > 5
; ¦2(0) + 3 ¦ > 5
¦0 + 3 ¦ > 5
Solución Total
¦3 ¦ > 5
: 3 > 5 (esto es falso, se demuestra que NO cumple)
En forma gráfica:
Escojo el valor X = 2 que está a la derecha “1” (SI debe cumplir con la
desigualdad) y lo introduzco en la inecuación :
–8
////////////////
-4 1
+ 8
¦2X + 3 ¦ > 5
; ¦2(2) + 3 ¦ > 5
¦4 + 3 ¦ > 5
En forma de intervalo:
X = ( – 4 , 1 )
¦7 ¦ > 5
: 7 > 5 (esto es cierto, se demuestra que SI cumple)
En forma de conjunto:
INECUACIONES O DESIGUALDADES
X = {X ? R /
– 4 < X – 1
En base a las aclaraciones anteriores se desprende que la solución
serán TODOS LOS NÚMEROS REALES.
Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en
dos partes (Propiedad 2) :
La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor
absoluto ( X – 3 > – 1 ) y en la segunda se cambiará el sentido del
signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro (X – 3 < 1).
Note que si superponen las dos soluciones parciales quedarán incluidos
todos los valores de la recta real. Inclusive los valores que están
excluidos en cada una de las soluciones parciales ( ), están incluidas
en la otra.
La solución total será la UNIÓN de las dos soluciones parciales, es decir
la solución de la primera parte más la solución de la segunda parte
(Propiedad 2) :.
En forma de intervalo:
En forma de conjunto:
X = (– 8 , + 8 )
Resolviendo la primera parte:
X – 3 > – 1
X = { R }
–8
X > – 1+3
X > 2
////////////////////////////////////////////////////
+ 8
Compruebe los resultados atendiendo a lo explicado al final de los
ejercicios 1 y 2.
Resolviendo la segunda parte:
X – 3 < 1
EJERCICIO 5 :
Resolver
¦X – 3 ¦ < – 1
X < 1+3 ; X < 4
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
–8 4
Solución Total
El error más común que se comete en este tipo de ejercicios es creer
que la solución estará representada por la intersección de las dos
soluciones parciales, es decir, el intervalo ( 2 , 4 ).
Para evitar cometer este error se recomienda repasar las propiedades
que se encuentran en la página 26 de esta guía, sobre todo lo apuntado
en la PROPIEDAD 2 (la solución viene dada por la UNIÓN de
las dos soluciones parciales).
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Al recordar la PROPIEDAD 4, inmediatamente se deduce que la solución
está representada por un conjunto vacío.
El valor absoluto de cualquier número NUNCA podrá ser menor
que un número negativo. Pruebe con cualquier valor que se le
ocurra y comprobará que no se cumple la desigualdad.
EJERCICIO 6 : Resolver ¦2X + 5¦ = ¦X + 4¦
Para resolver esta inecuación con valor absoluto debo tener presente la
PROPIEDAD 3..
¦X ¦ < ¦a ¦ ??????X2 < a2 (también vale para >, = y =). La
solución se encuentra aplicando los métodos de resolución de una
inecuación cuadrática o de segundo grado.
Ing. José Luis Albornoz Salazar
2
=
=
2
=
¦
– 30 –
Luego la inecuación quedará indicada como (2X + 5)2 = (X + 4)2
EJERCICIO 9 :
Resolver
Resolviendo los productos notables de cada miembro de la inecuación:
Solución en forma de intervalo :
(2X + 5)
(X + 4)
(2X)2 + 2.(2X).(5) + (5)2
= (X)2 + 2.(X).(4) + (4)2
4X2 + 20X + 25
X2 + 8X + 16
X = [ – 2/3 , 4 ]
4X2 + 20X + 25 = X2 + 8X + 16
Al pasar todos los términos al lado izquierdo de la inecuación :
4X2 + 20X + 25 – X2 – 8X – 16 = 0
EJERCICIO 10 :
Resolver
3X2 + 12X + 9 = 0
La solución de este tipo de inecuaciones está detalladamente explicada
en la guía “INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO”.
Solución en forma de intervalo :
X = ( – 1/3 , 7 )
Solución :
X = (– 8 , – 3 ] U [ –1 , + 8 )
EJERCICIO 11 :
Resolver
Solución en forma de intervalo :
EJERCICIO 7 :
Resolver
X = (1, 2) U (2,5)
Solución en forma de intervalo :
X = (0, 6)
EJERCICIO 12 :
Resolver
Solución en forma de intervalo :
EJERCICIO 8 :
Solución : Conjunto vacío.
Resolver
INECUACIONES O DESIGUALDADES
X = (– 8 , 5 ] U [ –1 , 0 ) U ( 0 , + 8 )
Ing. José Luis Albornoz Salazar
–8
;
y
;
;
– 31 –
SISTEMAS DE INECUACIONES
(INECUACIONES SIMULTANEAS)
Resolver un “sistema de inecuaciones” es la operación que
nos permite determinar, encontrar o conseguir los valores
La forma más fácil de visualizar las soluciones es la gráfica :
/////////////////////////////////////////////////
5 + 8
Resolviendo la segunda inecuación :
de la variable que satisfacen simultáneamente las dos o
más inecuaciones que conforman dicho sistema.
X-3 < 6
; X < 6+3
X < 9
Se debe entonces, resolver cada una de las inecuaciones
por separado y posteriormente determinar la
INTERSECCIÓN de las soluciones parciales.
Al igual que con las ecuaciones, un sistema de
inecuaciones se indica utilizando el símbolo conocido como
llave.
Así, para calcular cuáles valores cumplen a la vez con las
Se indica la solución sobre la misma gráfica de la solución anterior.
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
/////////////////////////////////////////////////
–8 5 9 + 8
Sea muy cuidadoso. La solución total vendrá dada por la
INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales; es decir, los valores
que estén contenidos en las dos áreas sombreadas a la vez.
desigualdades X > a
siguiente manera :
Xa
se representa de la
Solución en forma de intervalo:
X = [5,9)
X 6
Solución :
Se resuelven por separado las dos inecuaciones.
X-3 < 6
Solución :
Se resuelven por separado las dos inecuaciones.
Resolviendo la primera inecuación :
Resolviendo la primera inecuación :
X + 2 = 7
X = 7– 2
; X = 5
X + 2 = 7
X = 7– 2
; X = 5
La forma más fácil de visualizar las soluciones es la gráfica :
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Ing. José Luis Albornoz Salazar
;
;
–8
;
– 32 –
/////////////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////
–8
5
+ 8
–8
5
+ 8
Resolviend
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