Teoría del consumidor (página 2)

Separabilidad

Cuando usted va a comprar alimentos, es natural que
destine una parte de su ingreso para la compra de éstos.
Al igual como destina parte de su ingreso en comprar alimentos,
destinará dinero para alquiler, servicios públicos,
ropa, entretenimiento, Etc Observe que esto implica que en cada
ítem Estructura de las preferencias

se agrupe una serie de bienes (por ejemplo alquiler de
apartamento, garaje, etc.; ropa: camisas, zapatos, etc., y
así sucesivamente). Agrupar los bienes requiere que las
preferencias reflejen este agrupamiento.

4.1 ESTRUCTURA DE LAS PREFERENCIAS

Supongamos que los bienes son particionados en dos
subgrupos, con un vector x = (y,z), esto es, X =Y ´ Z. Para
un z fijo se define un orden condicional z sobre Y tal que la
relación y z y´ se mantiene si y sólo si
(y,z) (y´,z). De esta forma,

z , es una restricción sobre el orden original
definiendo un z fijo. Deberá observar que para
algún z la relación z es de hecho un orden de
preferencia sobre Y. Para una partición x = (y,z) si el
orden de preferencias condicionado sobre Y es independiente de z,
nosotros diremos que y es independiente de z.

Independencia

Suponga un orden de preferencia representado por una
función de utilidad u(y,z).

Entonces, si y es independiente de z la función
de utilidad será:

u(y,z) = U(n(y),z)

Donde U(n,z) es estrictamente creciente en n. Si u es
continua y fuertemente monótona, entonces n y u son
continuas.

Débil y fuerte independencia

Suponga la existencia de n bienes particionados en g
grupos. Una partición se define como {n1,n2,….,ng}
con ni Ç nj vacío para todo i¹j y .

Para una canasta de bienes arbitraria x Î
particionada como x = (x1,x2,…,xg) dado algún
i=1,2,…,g.

Sea x-i el vector de bienes en el complemento de ni, de
tal forma que

x-i = (x1,x2,x3,…..,xi-1,xi+1,…,xg),
entonces:

A) Un orden de preferencias es débilmente
independiente, con respecto a una partición
{n1,n2,….,ng}, si para cada i=1,2,..,g el vector xi es
independiente de su complemento.

B) Un orden de preferencias es fuertemente independiente
con respecto una partición {n1,n2,….,ng}, si este
es débilmente independiente con respecto a la
partición {n1,n2,….,ng} y, con respecto a las
particiones que consisten de todas las uniones de n1,….,ng
y a los subconjuntos propios de n.

4.2Separabilidad de las preferencias

Para definir grupos de bienes o estructuras de bienes,
deberemos partir de la definición de separabilidad en
torno a las preferencias. Si esto es plausible, los bienes pueden
ser particionados en grupos donde las cantidades en un grupo son
independientes de las cantidades en otros grupos. Si los
alimentos pertenecen a un grupo, el consumidor puede ordenar
diferentes canastas de alimentos en un orden bien definido, el
cual es independiente del consumo en gasolina, entretenimiento,
arrendamientos, y cualquier bien por fuera del grupo. Esto
significa que nosotros tendríamos funciones de
subutilidades para cada grupo y que los valores de cada subgrupo
de utilidades se combinan de tal forma que se puede obtener una
utilidad total.

4.3Separabilidad y sustitución
intergrupal

La separabilidad débil implica restricción
sobre el grado de sustituibilidad entre los bienes, en grupos
diferentes.

4.4Separabilidad y aditividad

La hipótesis de separabilidad [Sono (1962),
Leontief (1947)] implica que la utilidad puede ser aditiva o
separable.

4.5 Pruebas de separabilidad

La mayoría de las pruebas de separabilidad son
desarrolladas por Byron (1969), Jorgenson-Lau (1975) y Pudney
(1981), quienes han usado esta técnica para encontrar
patrones de separabilidad entre bienes con cierto grado de
separabilidad en un período determinado.

Barten ha comprobado la hipótesis de la
restricción de separabilidad entre bienes y ocio usando
series de tiempo para datos en U.S.A y ha rechazado la
separabilidad.

Los resultados en últimas podrán sugerir
una considerable especificación errónea de los
estudios tradicionales.

CAPITULO V

La función
de Producción de Hogares

La función de producción de hogares fue
introducida entre 1965 y 1966 por los artículos de Gary
Becker y Kevin Lancaster; que los consumidores no obtienen
directamente de los bienes comprados en el mercado, sino derivan
de los atributos que poseen los bienes. Por ejemplo, aunque el
consumidor compre alimentos sin cocinar en el mercado, la
utilidad se deriva de consumir una comida que ha sido producida a
través de combinar alimentos crudos con trabajo, tiempo,
electricidad y otros insumos. Así mismo muchos bienes
pueden ser producidos de la forma anterior, al igual que los
alimentos, la ropa y gran parte de los bienes parecen exhibir una
gama de variedades y cualidades.

Becker (1965)propone que "ver una ópera" depende
de una serie de insumos como el tiempo, los actores, etc. El
algebra de maximización indica que debemos clasificar a un
bien X1 y otro bien como X2.

Lancaster (1966) postula que el vector de bienes X,
vector de precios P se transforma por alguna función
Z=g(X), Z produce alguna utilidad. Se puede plantear:

(5.1) Maximizar z u= u (z)

Sujeto a Z=g (X)

P X = Y Y = ingreso total del consumidor

Combinando la función de transformación y
la función de utilidad, se plantea el problema
así:

(5.2) Maximizar u= u (g(X)) = v (X); Sujeto a P X
– Y = 0

Las curvas de demandas compensadas X = X* (P, v) definas
como la solución:

(5.3) Minimizar PX= Y; Sujeto a v(X) = v0

Esto muestra que las derivadas parciales no tienen
realmente efectos puros de sustitución en el sentido
tradicional. Para Lancaster g(X) deberá ser
lineal

Z= b.X siendo b una matriz de coeficientes
tecnológicos constantes. Para alcanzar el máximo de
utilidad de Z, Z*, el consumidor deberá resolver el
problema lineal:

(5.4) Min {P.X | t (Z, X) = 0}; Sujeto a bX =
Z*

En caso de n bienes que satisfacen Z, se
plantea:

(5.5) Max m (g(x))

Sujeto a bX1 = Z*

. = .

bXn = Z*

(X1,…, Xn) = 0

(P1,…,Pn) = 0

Identificar y medir los atributos puede ser más
difícil que medir los bienes de mercado. En general el
modelo sirve bien en aquellos bienes que tienen atributos
aditivos y no conflictivos. De esta forma, Becker provee las
bases para explicar los cambios en el consumo como cambios en el
ingreso laboral en términos del efecto sustitución.
Asume que la utilidad es una función de un vector de
atributos Zi, u = u (Zi) pero adopta una estructura para la
producción de atributos; para cada Zi
tendríamos:

(5.6) Ti = ti Zi; XI = biZiti = parámetro que
indica por unidad de tiempo

Zi= gasto total de tiempo consumido

5.1 Estática Comparativa

Nos interesan las respuestas de los consumidores ante el
cambio en el salario y los coeficientes tecnológicos.
Considerando los efectos de sustitución puros las demandas
Hicksianas se obtienen de la siguiente forma:

El análisis de los cambios de salarios es
más problemático; es por eso que Becker arguye que
si el salario aumenta, el consumo puede cambiar los bienes
más intensos en tiempo a aquellos menos intensos en
tiempo. En un modelo simple de ocio y trabajo, un incremento
compensado en los salarios representa un incremento en el coste
de oportunidad del ocio y lleva a una caída en el ocio
consumido y a un incremento en el número de horas
trabajadas. Si los salarios para mujeres en el mercado aumentan,
aumenta el coste de oportunidad de los niños y de otras
tareas que deben realizar las mujeres en el hogar. La
teoría de la función producción de hogares
nos da para pensar más rigurosamente sobre la importancia
de las elecciones y provee un marco para reemplazar las
explicaciones basadas en los gustos, por aquella basada en el
cambio en las oportunidades.

5.2 Análisis de la Riqueza en el Mercado de
Bienes

Esto quiere decir que la función de
Producción de Hogares también la usan para analizar
el daño realizado por la contaminación del aire, o
los beneficios derivados de actividades recreativas, o proyectos
de evaluación social. Esto también depende de la
distinción entre bienes comprados y bienes consumidos. Las
medidas de riqueza pueden ser derivadas en un espacio de bienes
pero de una forma diferente. Se usara Z1 pensando que
algún Z!podrá ser elegido. Supongamos la siguiente
participación de bienes Z= (Z1, Z) donde
Z= (Z2,…, Zn), entonces al derivar
encontramos que Z1:

Donde Z = Z (Z1, p, uº), el primer término a
la derecha en (5.20) es el valor marginal compensado para Z1 y el
segundo termino es el costo marginal de producir Z1. Se refleja
el cambio en el gasto necesario para mantener el nivel de
utilidad uº cuando se incrementa Z1.

5.3 Bienes Públicos

La variación compensada asociada con un cambio en
a puede ser medida a través de los cambios en el
área perteneciente a la demanda compensada y la curva de
costo marginal para Z1.

CAPITULO VI

Variables
Dependientes, Discretas y Limitadas

Aquí se verán algunos modelos
estadísticos que lo que quieren es facilitar la
teoría del consumidor.

6.1 Especificación del Modelo

La ecuación (6.1) es muy general, ya que Yi son
distribuidos independientemente y es la probabilidad de comprar
un carro; entonces para la ecuación (6.2) se escoge una
función sobre un vector de parámetros. Y la cual
tomara el valor de 1 si el evento ocurre y 0 si no
ocurre.

6.2 Formas Comunes de las Funciones de
Probabilidad

Cuando se desea comparar modelos con diferentes
funciones de probabilidad, es mejor comparar directamente las
probabilidades que los coeficientes estimados.

6.3 Estimación

Los modelos de Probit y Logit se estiman por
máxima verosimilitud donde cada observación es
extraída de una distribución de
Bernoulli.

6.4 Algunos Modelos Aplicados

6.4.1 Domencich y McFadden

Sustentan que el término aleatorio de error
está determinado por el tipo de transporte, que a su vez
vendrá determinado por una serie de características
socioeconómicas que no son observadas por el
investigador.

6.4.2 Lee,L.F.

6.4.3 Pencavel

Estudia como inciden en las decisiones de trabajar de la
esposa y el esposo. Estima la probabilidad de trabajar la esposa
usando 1657 familias durante 2 años. La ayuda
económica que le brinda el gobierno.

6.5 Modelo de Efectos Fijos y Aleatorios en Datos de
Panel

Si las observaciones son independientes, la
función de verosimilitud es el producto de las
probabilidades.

6.6 El Modelo Logit Condicionado

Esta es una versión reciente para incluir los
atributos presentes en los bienes.

El cual se denomina Logit Condicionado.

6.7 Modelos Multinomiales

Se define de la siguiente manera.

6.7.1 Modelos Ordenados

Se pueden clasificar como modelos ordenados y no
ordenados.

A diferencia de un modelo no ordenado, donde la
participación correspondería a particiones no
sucesivas sobre la línea real o a particiones de
dimensiones mayores sobre el espacio euclidiano.

6.7.2 Modelo LogitMultinomial

6.8 Variables Dependientes Limitadas

Lleva dos tipos de efectos: el truncamiento y la
censura. El primero ocurre cuando la muestra de datos es
extraída aleatoriamente de una población de
interés, y el segundo es un procedimiento en el cual los
rasgos de una variable son limitados a priori por el
investigador.

6.8.1 Truncamiento

Es la parte de una distribución no-truncada antes
o después de un valor especifico.

6.8.1.2 Densidad de una Variable Aleatoria
Truncada

6.8.2 Censuramiento

Consiste en censurar la variable dependiente, los
valores en un determinado rango son todos transformados a un
valor singular.

6.8.2.1 Momentos

6.8.3 Modelos Tobit

Las funciones de verosimilitud serán:

6.9 Contrastes de
Especificación

De la mano con el desarrollo de las formas de
estimación de los modelos, la literatura ha venido
ofreciéndonos una serie de contrastes para conocer la
"bondad" de los modelos estimados. El origen de estos contrastes
se remonta a los trabajos de Rao (1947) en lo que se conoce como
"contraste Score" o "contraste de puntuación".
Posteriormente Silvey (1959) propone el contraste de
multiplicadores de Lagrange que no es otra cosa que el mismo
contraste de Rao.

El contraste de multiplicadores de Lagrange no es el
único que se pueda usar, pues están el de Hausman
(1978) y el contraste de momentos condicionales Newey (1985) y
Tauchen (1985)]. Para Pagan y Vella (1989) el uso del contraste
de especificación en variables dependientes limitadas no
es muy común debido a la dificultad computacional de los
mismos. Los contrastes de especificación que se
desarrollarán serán: El contraste de Rao
ócontraste de puntuación; el contraste de
especificación de Hausman, el cual parte delos trabajos de
Durbin (1954) y por lo tanto se conoce también como
Durbin-Hausmano Durbin-Wu-Hausman debido a los trabajos de Wu
(1973); el contraste de la matrizde información de White
(1982) y el contraste de momentos condicionales sugerido por
Newey (1985) y Tauchen (1985).

6.9.1 Contraste de Rao ó contraste de
puntuación

Breusch y Pagan (1980) sugieren usar este
estadístico como un contraste de especificación. La
ventaja del contraste de puntuación consiste en que
depende solamente de los estimadores máximos
verosímiles del modelo restringido, ya que tanto el vector
de puntuación como la matriz de información se
basan en el modelo total. Una extensión del contraste de
puntuación consiste en un estimador general más que
en la restricción máximo verosímil, a esta
extensión se le denomina el contraste Neyman-RaoHall y
Mathiason (1990). Para modelos de elección binarios,
Davidson y Mackinon (1989) muestran que el contraste de
puntuación con base en la matriz de información
puede ser computado fácilmente y Orme (1992) muestra que
las propiedades se conservan en los modelos Tobit.

6.9.2 El contraste de la matriz de información
de White

La matriz de información de White(1982) se basa
en el hecho de que en un modelo especificado correctamente,
tendremos:

Éste deberá tener media cero para un
modelo especificado correctamente. Como problema de esta
constante se encuentra el hecho de que al tratar de obtener la
varianza de este contraste se requieren derivadas de orden
superior de al de L. Lancaster (1984) ha mostrado que este
estadístico se puede obtener a partir de la
regresión:

6.9.3 El contraste de momentos condicionados
(CM)

Donde G es la matriz e i es un vector de unos. G es
ortogonal a i dado que i x G = 0 son las ecuaciones de
solución máximo verosímil. Un último
contraste de especificación proviene de Pregibon (1980);
este contraste consiste en que si la regresión está
bien especificada, no se deberían encontrar variables
independientes significativas. De esta forma, una clase de error
consistiráen que la variable dependiente necesitase
algún tipo de transformación en su relación
con las variables dependientes, en lo que se conoce como una
función de unión (LINK FUNCTION). El contraste
consiste en la regresión:

6.9.4 Contrastes de heterocedasticidad

Entre los primeros trabajos sobre Heterocedasticidad
realizados por Maddala y Nelson (1975) se argumentan que una
regresión con Heterocedasticidad en los errores, los
estimadores son consistentes pero ineficientes. En el caso del
Tobit, el estimador máximo verosímil (ML) es
inconsistente en la presencia de HeterocedasticidadBrannas y
Laitila (1989).

En un modelo de regresión, la comprobación
de Heterocedasticidad se realiza con base en los residuos del
modelo de mínimos cuadrados. Pagan y Park (1993) sugieren
que los contrastes existentes para probar heterocedasticidad
pueden ser considerados como un contraste de momentos
condicionados(CM). La condición de momentos para un
contraste CM, será:

La condición de momentos para probar
Heterocedasticidad en el contraste CM, es:

De esta forma, el test para comprobar Heterocedasticidad
se reduce al CM. Otro contraste comúnmente usado consiste
en el contraste de las razones de verosimilitud o LR-test, el
cual consiste en:

6.9.5 Contrastes de normalidad

Cuando no existe normalidad, existen sesgos en los
estimadores Goldberger (1983). Pagan y Vella (1989) sugieren un
contraste CM para normalidad con base en el tercer y cuarto
momento de los residuos. En términos generales, ya se
trate de un Logit, Probit o Tobit, el problema consiste en
evaluar el momento. Lee y Maddala (1985) sugieren usar el
método de recursividad para los momentos:

Los supuestos distribucionales del contraste
podrían ser afectados por especificaciones erróneas
en la ecuación [Blundell y Meghir (1986)]. Por otro lado,
cuando existen distorsiones en el tamaño el contraste
podría sobre rechazar la hipótesis nula [Newey
(1987)]. Algunos autores como Chesher, Lancaster e Irish (1985)
proponen usar métodos gráficos para detectar fallas
en los supuestos distribucionales. Aunque el procedimiento es
menos formal, podría informarnos preliminarmente sobre
problemas de distribución, y consiste en tomar los
residuos y computar la función de distribución
usando el método de Kaplan-Meier (KPM). La
comparación visual de estafunción con respecto a la
distribución F se hace a través de graficar
F-1[KPM(&µ)] contra en el caso de una
distribución normal F = &µ?. Si el modelo es
correcto, la gráfica que resulta será
continuaHorowitz y Neuman (1989).

6.9.6 Contraste de correlación
contemporánea

Kiefer (1982) desarrolla un contraste Score para un
Probitmultivariado: él comienza con el supuesto general de
que la matriz de correlación de los errores es R y crea un
contraste de puntuación para la hipótesis R = I.
Kiefer también desarrolla un contraste para la
hipótesis ?=0 cuando R = (1-?)I +?ee´, donde e es un
vector de unos; este contraste es bastante conveniente en modelos
de efectos aleatorios con datos de panel.

Contraste de sesgos de
selección

El contraste para sesgos de selección fue el
primer contraste de especificación en modelos con
variables dependientes limitadas. Este contraste fue desarrollado
por Gronau (1974) y Heckman (1979). En términos generales
se le conoce como el contraste de Heckman. El problema planteado
parte del modelo de autoselección tipo Heckman, de la
forma:

Y la ecuación de selección es:

6.9.7 Contraste de estabilidad

No es muy común contrastar estabilidad en modelos
de variables dependientes limitadas, sin embargo, Anderson (1987)
abre el camino en este tipo de contrastes. Anderson propone
comparar el logaritmo de la verosimilitud cuando el modelo es
regresado sobre un período, con respecto a un
período posterior. El trabajo se inspira en el contraste
de estabilidad de Chow, extendiéndose el uso de las
variables dummy a los modelos Tobit y Probit. Hoffman y Pagan
(1989) sugieren, siguiendo a Anderson, definir primero un
período de 1 hasta s y un período de s+1 hasta
s+S,y elaborar el estadístico:

El cual sigue una distribución chi-cuadrada con s
grados de libertad. Este contraste puede ser aplicado a cualquier
modelo de variables dependientes limitadas y se estima por
máxima verosimilitud.

Contraste de exogeneidad

En modelos de ecuaciones simultáneas que
involucran variables dependientes limitadas, Groger (1990)
considera un contraste de exogeneidad tipo Hausman a
través de una estimación de mínimos
cuadrados ordinarios no-linelaes. Smith y Blundell (1986)
consideran el siguiente modelo:

Rivers y Voung (1988) consideran el mismo modelo que
Blundell y Smith pero en un contexto Probit y Vella y Verbeek
(1993) lo consideran para el caso de un modelo de
panel.

6.9.7 Variables latentes

Las variables latentes representan conceptos
unidimensionales en su más pura forma, puede decirse que
se trata de variables abstractas como inteligencia, paisaje, etc.
Como todas las variables latentes corresponden a conceptos, ellas
son variables hipotéticas que varían en su grado de
abstracción: inteligencia, clase social, poder y
expectativas son variables latentes abstractas creadas en la
teoría. Variables menos abstractas son la educación
y el tamaño de la población.

Un modelo latente se acompaña de un conjunto de
ecuaciones estructurales que

resumen las relaciones entre las variables latentes.
Bollen (1989) usa las relaciones entre la democracia
política y la industrialización en países
desarrollados, para introducir la noción de modelos de
variables latentes. Dado que algunas sociedades han alternado
entre dictaduras y regímenes electorales, es
difícil discernir si la asociación realmente
existe. La democracia política se refiere a la
extensión de los derechos políticos (imparcialidad
de las elecciones) y libertades políticas (libertad de
prensa) en un país. La industrialización es el
grado en el cual la economía de una sociedad se
caracteriza por el proceso de manufactura mecanizado, esto
implica riqueza social, población educada, avances en el
estándar de vida, y éstas son las oportunidades de
una democracia.

Suponga que se tienen tres variables latentes
aleatorias: democracia política en 1965y 1960 e
industrialización en 1960. Uno podría asumir que la
democracia política en1965 es una función de la
democracia política e industrialización de 1960. No
existe nada que nos diga que el nivel de industrialización
es una variable latente exógena(independiente) y se
simboliza como ?1, esta es exógena, en tanto sus causas
están por fuera del modelo. La variable democracia
política es una variable latente endógena ,ella
está determinada por variables en el modelo, cada variable
latente es representada por ?i. De esta forma, la democracia
política en 1960 es representada por ?1 y la democracia
política en 1965 por ?2, las variables latentes
endógenas son parcialmente explicadas en el modelo y el
componente no explicado ?i es un término
aleatorio.

6.9.8 Identificación

La identificación del modelo con una o más
ecuaciones, requiere una investigación de cuáles
parámetros son conocidos y desconocidos. Por
parámetros conocidos entiéndase aquellos que pueden
ser identificados, estos parámetros generalmente son
características de la población y de la
distribución de las variables observadas como las
varianzas y covarianzas para los cuales los estimadores de la
muestra son consistentes. Los parámetros desconocidos son
aquellos parámetros cuyo estatus de identificación
no es conocido, estableciendo entonces el investigador
cuándo existen valores únicos para
estos.

El modelo se encuentra identificado si se muestra que
los parámetros desconocidos son funciones solamente de los
parámetros identificados, y que estas funciones llevan a
soluciones únicas.

Un conjunto más apropiado de
identificación es conocido como la regla t, la regla del B
nulo, la regla recursiva y las condiciones de rango y
orden.

Regla T

Esta es la condición más sencilla, pero no
es una condición suficiente.

6.10 Regla del B nulo

Pueden escribirse como funciones de las matrices de
covarianzas identificadas de las variables observadas.

La regla B nula es una condición suficiente para
identificar un modelo.

6.10.1 Regla recursiva

6.10.2 Condiciones de rango y orden

Si una condición de restricción en una
ecuación se determina a partir de las variables excluidas,
entonces "una condición necesaria para que una
ecuación sea identificada consiste en que el número
de variables excluidas de la ecuación sea al menosp-1 ".
Considere el modelo:

Resumen de las reglas de
identificación

6.10.3Estimación

El procedimiento de estimación se deriva de la
relación de la matriz de covarianzas de las variables
observadas a los parámetros estructurales. De esta
forma:

CAPITULO VII

Modelos de
utilidad discreta

Generalmente las elecciones de los consumidores
involucran elecciones discretas como usar gas o no, usar
energía eléctrica o no, comprar un automóvil
o no, etc. La anterior aproximación ha sido criticada por
sicólogos como Thurstone (1927), Luce y Supes (1955),
Tversky (1969) y por economistas como Georgescu-Roegen (1958),
Quandt (1956) y Macfadden (1981, 1986), ya que implica fuertes
postulados sobre el poder discriminatorio de los agentes,
así como una capacidad ilimitada de procesar
información.

Para Tversky, cuando se realiza una elección
entre varias alternativas, las personas parten de experiencias
inciertas e inconsistentes. Esto es, las personas no están
seguras sobre cuál alternativa deberían
seleccionar, así como tampoco toman siempre la misma
elección bajo condiciones parecidas. Este comportamiento,
aparentemente irracional, lleva al autor a concluir que "el
proceso de elección debe ser visto como un proceso
probabilístico" (Tversky, 1972, p. 281). Naturalmente,
deberemos preguntarnos qué factores determinan dicha
probabilidad. Es decir, el comportamiento de los agentes es
intrínsecamente probabilístico o el modelador no
puede representar el comportamiento del consumidor, o ambos. Con
respecto a lo primero, Quandt (1956) arguye que una alternativa
puede ser vista como un conjunto finito de
características, donde las preferencias son definidas
directamente sobre las características e indirectamente
sobre las alternativas.

Para Quandt, puede que las personas, en alguna
ocasión, consideren algunas características de una
alternativa y/o cometan un error al evaluar la importancia de una
característica asociada con una alternativa; de esta
forma, las circunstancias bajo las cuales las elecciones son
efectivamente realizadas pueden "perturbar" la percepción
y/ o la deseabilidad de una alternativa. Quandt cita el siguiente
ejemplo: Un hombre que compra vino, podría comprar una
botella sin tener en cuenta la cosecha, pero ante la presencia de
un catador de vinos él podría comprar un vino de
mejor cosecha; de esta forma, el comportamiento individual
podría cambiar de acuerdo con factores externos, sin que
las preferencias individuales sobre las características
hayan cambiado. Desdeeste punto de vista, el proceso de
elección es intrínsecamente probabilístico.
Para Manski (1977), la falta de información lleva al
modelador a determinar reglas probabilísticas de
elección en los individuos más que la falta de
racionalidad.

Reglas de decisión

7.1 Modelos con regla de decisión
estocástica

La interpretación proviene de Tversky (1972a),
para quien la utilidad de diferentes

alternativas es determinística, pero el proceso
de elección en sí mismo es probabilístico.
En este tipo de modelos el individuo no necesariamente elige la
alternativa que da la mayor utilidad; en lugar de esto, existe
una probabilidad de elegir cada una de las posibles alternativas,
incorporando la idea de "racionalidad limitada" dado que los
individuos no necesariamente seleccionan lo que es mejor para
ellos [Macfadden(1981, pp.198)].

El primer modelo desarrollado bajo esta perspectiva es
el de Luce (1959). Luce muestra que cuando las probabilidades de
elección satisfacen los axiomas de elección, una
escala puede ser definida sobre las alternativas, de tal forma
que las

Probabilidades de elección pueden ser derivadas
de escalas de alternativas. El modelo de Luce tiene como
inconveniente que una nueva alternativa, que sea más que
proporcional a las otras, reducirá las probabilidades de
elección de alternativas existentes que son similares y
causará reducciones menos que proporcionales en las
probabilidades de elección en alternativas
diferentes.

7.2 Modelos con utilidad
estocástica

Existen dos versiones tradicionales de los modelos de
utilidad estocástica. El primero proviene de Thurstone a
partir de la teoría sicológica de la
elección individual y el segundo proviene de Macfadden en
la versión económica de la elección
discreta. El modelo de Thurstone tiene su origen en una serie de
experimentos donde se les preguntaba a los individuos acerca de
comparar intensidades de estímulos físicos, por
ejemplo, el rango de tonos en términos del ruido. Dada la
variabilidad en las respuestas, Thurstone propone que un
estímulo provoca una "sensación" o un estado
sicológico que es la realización de una variable
aleatoria. De esta forma, "las utilidades se asumen que
varían de un momento a otro , y el proceso de
decisión consiste en una regla fija de escoger la
alternativa con la mayor utilidad momentánea" Edgell y
Geisler.

7.2 Funciones de densidad para elecciones
discretas

7.3 Funciones de utilidad y funciones indirectas de
utilidad

Un individuo consume de acuerdo con una función
de utilidad definida sobre los bienes X1,……Xn y Z, siendo Z
el numerario. La utilidad del consumidor podría
también depender de una serie de atributos de los bienes
X's denotadas por b1,…..bn, los cuales son tomados
exógenamente; adicionalmente las preferencias
podrían depender de características propias como la
educación, la raza, la cultura, la edad…, etc.,
representadas por el vector S18.

En principio puede ser obtenido por máxima
verosimilitud, sin embargo Haneman(1984) sostiene que en la
práctica las ecuaciones normales podrían tener
múltiples raíces, y a menos que se comience con un
estimador inicial consistente, no existe garantía de
convergencia a un máximo global.

Finalmente, se puede usar la subrutina Maxlik del
programa gauss y obtener estimadores eficientes, o usar el
programa LIMDEP.

7.4 Elecciones discretas con productos
diferenciados

El consumidor representativo es un agente cuya utilidad
nos muestra un conjunto de preferencias diversas. Ya que en la
práctica los consumidores tienden a comprar, solamente
una, o en todo caso muy pocas de las variantes de un producto que
se les ofrece, el consumidor representativo ha sido bastante
criticado19. Como bien lo han señalado Archival, Eaton y
Lipsey (1986), la cuestión sobre cuándo el
consumidor representativo puede constituir una descripción
agregada válida de una población de consumidores
caracterizados por elecciones discretas en el ámbito
individual es un punto de discusión abierto.

En este sentido, el interés principal de esta
sección, consistirá en mostrar cómo
encontrar un consumidor representativo para una población
de consumidores que realizan elecciones discretas, dados unos
supuestos sobre el proceso de elección o la
elección de probabilidades y cuáles serían
las propiedades de la función de utilidad
correspondiente.

7.4.1 La función de demanda para un continuo
de consumidores

Considere un continuo de consumidores igual a N cada uno
con gustos determinanticos. Un consumidor tiene un ingreso Y y
compra una unidad de una variante de un producto diferenciado. La
función de utilidad indirecta condicionada viene dada
por:

La cual es igual al total de consumidores en el segmento
de mercado para la variante i. Es importante observar que la
función de densidad del consumidor cumple el mismo papel
que la función de densidad de probabilidades. Sin embargo,
la diferencia entre y es sustancial, pues la función
derivada de la integración de las utilidades
máximas sobre la densidad de probabilidades puede ser
interpretada como la utilidad esperada del consumidor, mientras
que la integral de las utilidades máximas de los
individuos sobre la densidad de tipos producirá la
función de riqueza a partir de la utilidad. Esta
última idea se desarrollará a continuación.
Suponga que la función de riqueza derivada de la utilidad
se define como:

7.4.2 El consumidor representativo
multinomial

Suponga un consumidor con una función de utilidad
aleatoria

7.5 Análisis de riqueza

En un análisis continuo se puede encontrar el
excedente del consumidor a través desintegrar la curva de
demanda compensada entre dos precios. Sin embargo, en el
análisis discreto existirán puntos de
discontinuidad y no-diferenciación en la función
indirecta de utilidad y en la función de gasto, por lo
tanto existirán problemas al integrar las funciones. La
demanda se podría modelar, como observan Small y
Rosen(1981), a través de tres aproximaciones:

Primero, pensar que los bienes son disponibles en
cantidades continuas, pero

solamente en un pequeño número de
variedades mutuamente excluyentes; un ejemplo sería una
casa: usted podría alquilarla o vivir en ella, pero
solamente la posesión de la misma le daría una
cantidad continua de usos para ser consumidas, como clavar
puntillas para colgar cuadros, pintarla de todos los colores y
las veces que usted quisiera, etc.

Segundo, los bienes pueden son disponibles en unidades
discretas entre más consumidores elijan una o dos
unidades, como en el caso del transporte para trabajadores, los
colegios, las antenas parabólicas, y en general muchos
bienes durables.

Tercero, los bienes pueden ser comprados en unidades
discretas pero debido a las no concavidades en la función
de utilidad, llevaría al consumidor a elegir entre
soluciones alternativas de esquina. Por ejemplo, podríamos
tener dos o más televisores con diferentes programas cada
uno y observarlos al mismo tiempo; sin embargo, ver un solo
programa podría generar mayor utilidad que ver dos
programas al mismo tiempo.

7.5.1 El teorema de Small y Rosen

Suponga un consumidor que maximiza sujeto a la
restricción con una función de utilidad dos veces
diferenciable y estrictamente cuasi cóncava. Asuma que U
es finito siempre que X1 o X2 sean cero, y que U es estrictamente
creciente en Xn y no decreciente en X1 y X2. Sea e(P1,P2 ,U) el
mínimo gasto requerido para alcanzar el nivel de utilidad
U y sea ,Y) el valor de la función indirecta de utilidad a
los precios iniciales y el ingreso; entonces la variación
compensada para un cambio de precios en p1 de a viene definido
como:

Cuando un bien es comprado en unidades discretas, pero
existen no concavidades s en la función de utilidad, el
consumidor elige entre soluciones alternativas de esquina.
Supongamos una canasta de 3 bienes donde las curvas de
indiferencia entreX1 , X2 y el bien numerario son convexas,
entonces en cada vector de precios el consumo tanto en X1 como en
X2 podría ser cero. Los supuestos del teorema de Smally
Rosen garantizan que los U(Xn,0,X2) y U(Xn,X1,0) sean funciones
bien definidas manteniéndose el excedente del consumidor.
Resumiendo, el excedente de los consumidores puede encontrar
siempre que exista una función de gasto dado que dicha
función es diferenciable en precios.

CAPITULO VIII.

Aplicaciones de
la teoría del consumidor a la elección del
ocio

El ingreso y el tiempo son restricciones en una persona
al momento de decidir comprar o producir un bien o servicio,
donde el dinero influye directamente en el tiempo de elegir o
adquirir algún activo.

Para que un consumidor puede asignar el tiempo entre
ocio y trabajo debe evaluar a parte los límites de la
restricciones no económicas como son las
biológicas, culturales y históricas, por otro lado,
cambios en el precio del tiempo pueden inducir a cambios en las
restricciones de ocio y trabajo, lo que conduce a que la persona
tenga menor interacción con sus familias, colegas, entre
otros. La tendencia hoy en día consiste en trabajar
más horas en pocos días, lo que condujo a pasar de
seis a cinco días de trabajo, en la presente
gráfica se puede observar que para el año de 1991
el porcentaje de individuos que trabajada 6 días
disminuyó.

Grafica 8.1: Distribución
de los días trabajados.

La fórmula que se emplea para calcular una compra
en especifico, dado un vector de precio es:

Estas compras pueden realizarse con un ingreso no
laboral m y un ingreso laboral wL. Donde w es la tasa de salario
y L es la cantidad de tiempo que el individuo elige
trabajar.

Una manera fácil de definir el tiempo de trabajo
es mediante la diferencias que existe entre 24 horas y cualquier
otro tiempo que se emplee para dormir, asease, comer, entre
otros. A largo plazo la persona puede elegir las horas de trabajo
mas conveniente entre diferentes alternativas de empleo y a corto
plazo no contara con el beneficio de seleccionar las horas de
trabajo, ya que muchas de las elecciones estarán
condicionadas por los regímenes laborales.

Para obtener la linealidad de las restricciones
presupuestarias se debe utilizar la función de utilidad,
se toma de forma lineal para simplificar, debido a que la tasa de
salario no necesariamente varia directamente con el número
de horas de trabajo, ya que las horas no tienen la misma tasas
salarial.

&µ = V(x0,
x1,…xn)

Para simplificar aun más se puede asumir un bien
agregado tipo Hicks22. Así, la función de utilidad
podrá plantearse como:

&µ = V(x0,
x1*)

Donde x1* es el bien agregado de Hicks y x0 = T –
L = ocio. El ocio es comparable con los otros bienes y separable
de los mismos, el precio del ocio será la tasa de
salario.

Gráficamente se muestra así:

Grafica 8.2. Decisión de
trabajar.

Y la restricción será:

(8.5) px + wx0 = m +
wT.

Si x = 0 y no existe ingreso adicional, entonces wx0 =
wT ó x0 = T si x0 = T = 0, por lo cual w = 0 y x = m / p.
La cantidad de trabajo ofrecida se mide por la distancia 0 – T.
Las curvas tendrán diferentes pendientes de acuerdo con la
tasa de salario. La decisión de cuántas horas
ofrecer al individuo determinará la decisión de
participar en el mercado laboral. Un cambio en w altera el
ingreso y el efecto sustitución, la cantidad m + wT
representa el ingreso total disponible del consumidor que
será gastado en ocio y bienes.

La gráfica (8.3) muestra las diferentes
restricciones presupuestarias de acuerdo con las tasas de salario
w1(CAT) y w2 (DAT). La curva de indiferencia es tangente a la
línea quebrada (E-F), mientras la pendiente de (E-F) es
w*/p, esto es, la tasa marginal de sustitución la cual es
un indicador de la tasa de salario de reserva w* el punto A en la
gráfica (8.3).

Grafica 8.3: el salario
mínimo que induce a participar.

Si el salario es menor que w*, el individuo no
participará en el mercado, si el salario es w2 se
ofrecerán horas positivas. Si w = w* el trabajador es
indiferente. Donde w* es el salario de reserva, aquel valor de w
que hace que x0 = T:

T = x0(&µ +
w*T.w*,p)

Existen varios autores que dan su teoría con
relacion a los factores determinantes del salario de reserva, por
ejemplo:

[Kettunen, J (1994), Alba, A (1992) en Uribe (1998)]
indica que "el factor que más influye en la
obtención de este es la educación, porque a mayor
educación mayor salario de reserva".

[Andres, García y Jiménez (1989)]
señala que: "la probabilidad de recibir una oferta,
la distribución de los salarios y los demás
factores que determinan el bienestar de estar desempleado, son
los factores que más inciden en el salario de
reserva".

Uribe (1998) designa que: "los factores del
salario depende de la posición en el hogar, de la edad,
del sexo, del tiempo de búsqueda y de la
educación". Aunado a esto Uribe (1998) determino
el salario esperado por los trabajadores como una función
de la dispersión salarial, para esto utilizó el
número de vacantes, el tiempo de búsqueda, el
ingreso obtenido en el sector informal y la tasa de
desempleo.

Para determinar el tiempo de búsqueda se debe
igualar el tiempo de reserva con el salario esperado w* mediante
la relación w* y el tiempo de búsqueda, como se
muestra en la siguiente grafica:

Grafica 8.4: Determinación
del tiempo de búsqueda.

Las ecuaciones sirven para estimar las horas trabajadas,
como una funcion de la tasa salarial en estudios de corte
transversal y series de tiempo.

Las ecuaciones:

La tasa de participación y el número de
horas trabajadas, han sido usados como medidas de la oferta de
trabajo, donde ésta es explicada por las tasas salariales
y el ingreso. En últimas, la oferta depende del cambio de
w* a través de w.

El análisis de la oferta de trabajo se debe de
hacer necesariamente en un contexto laboral, ya que ha habido un
incremento en la participación de las mujeres en el
mercado laboral. Con relación a la participación y
a las horas trabajadas existen hombres que tienen bajo salario de
reserva, por lo que buscan trabajar mas horas de manera que el
ingreso sea dominante, esto significa que aumenta el salario, el
ingreso y L, sin embargo, las mujeres tienen mayor salario y sus
horas de trabajo y de participación son
menores.

Para determinar si el trabajador decide participar o no
el mercado laboral, existe la variable de participación
dicotómica.

Gronau (1973) ha propuesto el siguiente modelo: Sea g0
el ocio para el individuo h que viene dado por:

Zh una variable de composición, y eh un
término aleatorio de error. Si wh es el salario ofrecido
por participar, h podría participar si wh > w*h, esto
es, si:

Que es la decisión de participar. Nosotros
sabemos que si e sigue alguna función de densidad, por
ejemplo la normal, la desigualdad anterior nos daría la
probabilidad de participar en términos de la
función de distribución, de las variables Zh, wh ,
g y los mh parámetros.

• EL EFECTO DE LAS HERENCIAS SOBRE LA OFERTA
  LABORAL.

La oferta laboral individual va a depender de la
herencia que reciba la familia, puesto que reduce la probabilidad
de que ambos cónyuges participen en el mercado de trabajo
e incrementa la probabilidad de que ninguno de ellos participe en
el mercado de trabajo. Por ejemplo, un individuo recibe una
herencia de U$150.000 está cuatro veces más
dispuesta a no trabajar que una persona que recibe una herencia
de U$ 25.000. Esto se conoce también como la
hipótesis de Carnegie [Holtz-Eakin, Joulfaian, Rosen
(1993)].

• RESTRICCIONES NO LINEALES.

Las restricciones no lineales son originadas por el
sistema de impuesto complejo y seguridad social de un
país, se debe a que las relaciones marginales cambian con
el ingreso, produciendo una restricción no lineal en la
participación de la fuerza de trabajo, como se observa en
la grafica 8.5..

GRÁFICA 8.5. No
linealidades generales por tasas impositivas
diferentes.

• RESTRICCIONES SOBRE LAS HORAS
  TRABAJADAS.

Debido a factores tecnológicos y legislativos,
muchos trabajadores no tienen una completa flexibilidad al elegir
las horas que desean trabajar. Esto afecta, al menos en el corto
plazo, la elección efectiva entre trabajar un día,
una semana o no trabajar. Para examinar cómo influye esta
restricción, supongamos que el número de horas por
semana es fijo a un nivel (independiente si trabaja un
día, una semana o un año). Si el individuo decide
trabajar, la restricción presupuestaria
será:

(8.24) px = w + m,

Gráficamente se muestra:

GRÁFICA 8.7.
Elección de trabajar.

El número de trabajadores que estarían
dispuestos a trabajar, dependerá en el agregado, a
través de la comparación binaria de la
distribución conjunta de las tasas de salario, del ingreso
no laboral, de las características observables, y aquellas
no observables que entraran en la función de
utilidad.

• ASIGNACIÓN DEL TIEMPO PARA
  DORMIR.

En la mayoría de estudios de oferta de trabajo
individual se asume implícitamente que es fija la cantidad
de tiempo asignado entre trabajo-ocio-dormir. Pero hay que tener
en cuenta de que las horas de dormir puede depender de los
siguientes factores: incentivos económicos, presencia de
niños, horas adicionales de trabajo, entre
otros.

• Demanda de tiempo para dormir.

Para algunos individuos se puede asumir que el
sueño es un bien intensivo en tiempo y que su consumo
produce utilidad como lo hacen otros bienes. Cuando las personas
no derivan utilidad de dormir y este hecho no tiene impacto sobre
la productividad del trabajo, entonces la elección de un
consumidor es simple: La duración del sueño es
igual al mínimo biológico necesario T*B el cual
variará dependiendo de las elecciones que las personas
realicen en torno a la asignación de su tiempo.

La ecuación (8.32) muestra que la razón de
las utilidades marginales entre consumo y sueño
deberán ser iguales a la razón entre precios El
precio de una unidad de sueño será la tasa de
salario menos alguna adición al ingreso laboral
proveniente del efecto extra del sueño sobre la
productividad

CAPITULO IX

Aplicaciones de
la teoría del consumidor al medio
ambiente

Las personas en los últimos años se han
motivado a un mas a apreciar nuestro medio ambiente, por los
grandes avances en el desarrollo de la legislación
medioambiental, lo que produjo mejoras en la calidad del aire o
en la calidad de las zona naturales como parques, lagos,
paisajes, etc.

• EL MÉTODO DE COSTE DE
  VIAJE.

Para ilustrar el método de coste de viaje, se
usarán dos aproximaciones:

• 1. Modelo tradicional de coste de viaje
  adicionando el uso de variables latentes [Mora
  (1997)].

• 2. Modelo de utilidad aleatorio para el
  número de visitas.

• El uso de variables latentes.

Con los gastos que incurra una persona cuando decide
visitar un paisaje en específico se puede estimar la
función de demanda por paisaje. Los gastos dependen del
coste del viaje en cualquier tipo de transporte (Pt), del gasto
derivado de estar en un lugar determinado (incluyendo
alimentación, etc.) (PA), y del coste de oportunidad del
salario (PW).

Dado que cada visita tiene un gasto, el consumidor
buscará minimizar el gasto de cada visita manteniendo su
utilidad. Así el problema se plantea como:

Balkan y Kahn (1988), Willis y Garrod (1991), Kealy y
Bishop (1986), Bokstael, Strand y Hanemman (1987) entre otros,
muestran lo inapropiado de utilizar mínimos cuadrados
ordinarios para estimar, porque se sobrestima la verdadera
magnitud del excedente del consumidor.

Siguiendo la especificación de Englin y
Schonkwiler (1995) la función de demanda tiene la
siguiente forma semilogarítmica:

Esto significa que una de las variables independientes
se construye a partir de un modelo Latente P*i, y de las
variables Xi definidas en la ecuación de demanda
(9.4).

Donde n es la población total de visitantes, Z el
número de viajes por persona y Cs el excedente del
consumidor por viaje definido en (9.7).

Siguiendo a Balkan y kahn (1988)38, El excedente del
consumidor se grafica a través de la curva de demanda de
la siguiente forma:

. GRÁFICA 9.1. Demanda
estimada y excedente del consumidor.

• El modelo de utilidad aleatorio.

El modelo de utilidad de una persona cuando decide
viajar a un lago ai es de la siguiente forma:

Va es un componente sistemático de utilidad
común a todos los lagos en el área de Wisconsin (a
= 1 si el lago se localiza en el norte y a = 0 si se localiza en
el sur). Vai es un componente sistemático para el lago i
en el área a (i=1,…,N si está en el norte; e
i=1,…,S si está en el sur). El término eai +
ea es un elemento aleatorio que captura las
características excluidas del lago. La parte ea incorpora
las características excluidas comunes a todos los lagos en
el área a.

Dado que los lagos del noroeste de Wisconsin tienen
substanciales diferencias con respecto a los del sur, Parsons y
Kealy definen Va = a´da donde da = 1 cuando el lago se
encuentra en el norte y da=0 cuando se encuentra en el sur. Va
captura una contribución "promedio" a la utilidad para un
viaje tomado en el norte en relación con un viaje en el
sur. De esta forma, la utilidad aleatoria para una visita a un
lago (ai) es:

(9.11) mai = a´da +bZai +eai
+ea.

La probabilidad individual de visitar el lago i´,
dado que él o ella realizan un viaje al norte o al sur,
viene definida por el Logit:

Donde N es el conjunto de lagos que entra en el conjunto
de elección cuando el individuo se desplaza al norte y S
es el conjunto de lagos que entra en el conjunto
deelección cuando el individuo se desplaza al
sur.

• EL MÉTODO DE LOS PRECIOS
  HEDÓNICOS.

El modelo de Precios hedónicos puede plantearse
de la siguiente forma:

(9.20) m = m (z1,z2,…,zn , x, a
)

Que se maximiza con respecto a la restricción
presupuestal:

(9.21) Y = x + P(z1,z2,…,zn
).

Para un consumidor con un vector de
características socioeconómicas a que deriva su
utilidad de consumir varias características de un bien g
que tiene una serie de atributos z1, z2,.., zn (por supuesto,
algunos atributos son medioambientales como la polución,
etc.) y de un bien numerario x.

• EL MÉTODO DE LA VALORACIÓN
  CONTINGENTE.

El método de valoración contingente es
directo, ya que busca que el individuo revele lo que
estaría dispuesto a pagar ante un cambio en el bienestar,
como producto de una modificación en las condiciones de
oferta de un bien. Por lo que se centra en las funciones de
utilidad indirectas o las funciones de gasto, debido a las
diferencias en el monto a pagar.

• La función de gasto y la función de
  utilidad.

Si a una persona se le realiza una pregunta como la
siguiente ¿Aceptaría usted un cheque por $ X para
renunciar a los derechos de uso de este recurso durante un
año?, esto es usado como una medida de cambio de riqueza.
Dicha respuesta va provenir de la maximización de la
utilidad, por lo que la nueva funcion de utilidad
seria.

La función (9.44) se denomina función de
variación debido a que puede ser considerada como la
variación equivalente o compensatoria dependiendo de la
pregunta realizada.

Entonces el valor del acceso al recurso,
consistiría en la variación compensatoria para un
cambio en los precios, entre la situación inicial y un
precio de choque para aquel bien cuyo acceso ha sido eliminado o
restringido.

Si el consumidor responde que no, entonces es
lógico pensar que la variación compensatoria
sería superior a la cantidad $ X propuesta.

Como la variación compensatoria se puede calcular
directamente de la función de gasto (Cap. 3), entonces
necesariamente:

• Estimación por máxima verosimilitud
  con datos de "referéndum".

La función de verosimilitud viene definida
por:

Conclusiones

Los consumidores siempre eligen la mejor cesta de bienes
que pueden adquirir

La teoría del consumidor parte de las
preferencias de un individuo y tiene como objeto determinar
qué elección realizará un consumidor entre
los bienes que tiene disponible y dentro de los que puede
adquirir con los recursos que dispone. Los consumidores tienen
preferencias sobre los bienes y servicios, esto es, dadas dos
colecciones de bienes, también llamadas cestas de bienes
(en las que, de cada tipo de bien puede haber cero, uno u otra
cantidad de bienes, incluso una cantidad no entera), un
consumidor preferirá a una sobre la otra, si le dieran a
escoger entre ambas. Por ejemplo, si le dieran a escoger entre
una cesta de bienes y otra, que fuera igual a la anterior oferta,
pero se le hubiera añadido algún bien más
que le gustara al consumidor, o si hubiera más cantidad de
alguno de los bienes que lleva la primera, preferiría, la
segunda cesta.

Una forma de representar las preferencias, cuando estas
tienen las propiedades adecuadas, es mediante lo que se llama
una función de utilidad. En este caso, las canastas
de bienes se pueden representar también como vectores
numéricos, en que cada componente del vector nos dice
qué cantidad de cada bien hay en esa cesta. Introduciendo
dos vectores de bienes en una misma función de utilidad y
viendo qué números nos devuelve esta, es posible
ver si una canasta tiene preferencia con relación a la
otra o considerada como igual desde el punto de vista del
consumidor. Entonces, el problema del consumidor podría
considerarse como el problema matemático de maximizar una
función matemática (a menudo de varias variables),
que sería la función de utilidad, dentro del
conjunto representado matemáticamente por todas las
canastas de bienes (vectores) que cumplieran la
restricción presupuestaria, esto es, que su valor
(resultado de multiplicar el vector de bienes de la canasta por
el vector de los precios correspondientes) fuera igual o menor
que el valor de la renta disponible.

Bibliografía

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  núm.5, pp.881-900.

Autor:

Rodríguez Soleimy

Millán Gabriela

Colella Victor

Daniel Boada

Toussaint Luis

Enviado por:

Profesor:

MSc. Ing. Iván
Turmero

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITÉCNICA

"ANTONIO JOSE DE SUCRE "

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
INDUSTRIAL

INGENIERÍA
FINANCIERA

Puerto Ordaz, Enero 2013.