Cálculo aproximado de las derivadas y derivadas parciales de orden superior
Résumé
Dans cet article on expose le calcul des
dérivés d"ordre supérieur d"une fonction
d"une suele variable et le calcul des dérivés
partielles des fonctions de deux ou trois variables. L"ordre des
dérivés a calculer et la precisión de ces
calculs dépendent uniquement de la précision avec
laquelle on peut calculer les valeurs de la fonction. Le calcul
avec des nombre entiers tres grands ou avec des decimaux
très longs et le calcul des valeurs des fontions
élémentaires avec grande précision, se
trouvent éxposés (par le même auteur) dans
Monografias.com. La théorie est accompagnée par la
codification nécésaire en Visual-Basic, pour
calculer les dérivés ou les derivés
partielles. Pour le calcule des dérivés d"une
fontion d"une seule variable on utilise la formule
suivante:
Teorema 1:
Así, el teorema queda demostrado.
Por consiguiente, para h bastante pequeño tenemos la
aproximación siguiente:
Según el teorema anterior,
Si se quieren aproximar derivadas de orden más
elevadas o se quieren calcular las derivadas con más
precisión, hay que aumentar la precisión con la que
se calculan las funciones elementales (esto es posible pero
aumenta el tiempo de ejecución del
cálculo).
Ejemplo 1:
Para calcular el valor de la función y de todas
sus derivadas hasta el orden m (inclusive), hay que modificar el
programa anterior de la manera siguiente:
Para aproximar a la vez todas las derivadas hasta la
derivada de orden m, se puede proceder también de la
manera siguiente:
La función siguiente, devuelve el valor de la
derivada de orden m de 
en el punto t:
Ejemplo 2:
Todo depende de la precisión con que se pueden
calcular los valores de la función y de las funciones
elementales (en la monografía [6] se han propuesto
programas para el cálculo de las funciones elementales con
una precisión que puede alcanzar las 140 cifras
después del punto decimal, y esto también se
podría aumentar modificando un poco los
programas).
En el caso de una función real de dos variables
reales, se puede hablar de las derivadas parciales y presenta
interés calcular los valores de estas derivadas en ciertos
puntos, sin calcularlas de manera simbólica. Los programas
anteriores se pueden adaptar para el cálculo
numérico de las derivadas parciales no mixtas, de
cualquier orden. Las funciones siguientes devuelven una derivada
parcial no mixta de orden m:
Public Function DerParxOm(ByVal t1 As String, ByVal t2
As String, ByVal m As Integer) As String
End Function
Public Function DerParyOm(ByVal t1 As String, ByVal t2
As String, ByVal m As Integer) As String
End Function
Para calcular todas las derivadas parciales no mixtas de
orden menor o igual a m, se pueden utilizar las funciones
siguientes:
Public Function DerParxHOm(ByVal t1 As String, ByVal t2
As String, ByVal m As Integer) As Variant
End Function
Public Function DerParyHOm(ByVal t1 As String, ByVal t2
As String, ByVal m As Integer) As Variant
End Function
Ejemplo 3:
End Function
, en la caja de texto Text1 aparecen los resultados
siguientes:
Continuando así y sin entrar en los detalles de
los cálculos, se puede averiguar que:
Si no se necesitan las derivadas parciales de orden
mayor que 5, para el cálculo de estas derivadas se puede
utilizar el código siguiente:
End If
'—————————————————-
End If
'——————————————————
End If
'———————————————————-
If m >= 4 Then
End If
'————————————————–
End Function
Ejemplo 4:
End Function
Luego, ejecutando el código:
EnFunction
, en el punto de coordenadas 
se obtienen los resultados
siguientes:
En general se puede enunciar el teorema
siguiente:
Teorema 2:
Obviamente, la relación (25) es equivalente a
cada una de las relaciones siguientes:
Por consiguiente, el teorema 2 queda
demostrado.
End Function
End Function
Luego, efectuando el código:
End Function
, se obtiene el resultado siguiente:
Valores de la función y de sus derivadas
parciales en el punto 
Lo expuesto para las funciones reales de dos variables
se puede enunciar (con pocas modificaciones) para las funciones
reales de tres o más variables reales.
Teorema 3:
En los otros dos casos, después de cambiar el
orden de los sumatorios, se procede de manera análoga.
Así el teorema queda demostrado y se observa que es
fácil extenderlo para funciones de más de tres
variables.
End Function
Ejemplo 6:
End Function
Luego, ejecutando el código siguiente se obtienen
los valores numéricos de las derivadas parciales hasta el
orden m;
End Function
Bibliografía
[1] B. Démidovitch et I. Maron,
Éléments de calcule numérique,
Éditions MIR, Moscou, 1973.
[2] C.M. Bucur, Metode numerice, Editura FACLA,
Timi?oara, en rumano, 1973.
[3] N. Bakhvalov, Métodos Numéricos,
traducido del ruso e impreso en España, 1980.
[4] J.B.Scarborough, Numerical Mathematical Analysis,
John Hopkins, 1950
[5] W.E. Milne, Numerical Calculus, Princeton University
Press, 1949
[6] A. Peter Santha, Cálculo de las funciones
elementales con precisión grande, Monografias.com,
2013.
[7] A. Peter Santha, Cálculo con números
enteros grandes en ordenadores, Monografias.com, 2012.
[8] A. Peter Santha, Cálculo con decimales largos
en ordenadores, Monografias.com, 2012.
Autor:
Aladar Peter Santha