Ecuación fundamental de figuras planas

He desarrollado la ecuación que denomino
ecuación fundamental de figuras planas; partiendo
de la ecuación Euler característica para los
grafos. Un polígono en el plano no deja de ser más
que un grafo, con esta forma ha sido tratado.

Estudiando las caras del grafo quedé sorprendido
cuándo al observar que el número de lados no
correspondía con el número de aristas; entonces fue
cuando comencé a indagar sobre ello. Generalmente esto
sucede cuándo la figura posee aquello que denomino
"segmentillos". Un segmentillo no es más que un
vértice de grado uno, es decir, está conectado el
vértice al grafo mediante una única
arista.

Segmentillos, aristas de
color rojo

En mis investigaciones, tenía que discernir entre
aristas y lados, siendo las aristas aquellas que podemos ver,
mientras que el número de lados es un concepto abstracto.
Del porqué llamarle lados y no de otra forma fue debido a
que en otras fórmulas que manejaba siempre estaban
presentes; salvo cuando aparecen los segmentillos; dónde
no corresponden los conceptos aristas y lados.

Así como un triángulo consta de tres
vértices y tres aristas en la geometría
tradicional, he encontrado un triángulo con dos
vértices y dos aristas, por ejemplo. Ambos
triángulos comparten el mismo número de lados. A
las figuras dónde no coinciden el número de aristas
y el número de lados, las he denominado "figuras
segmentales".

La ecuación fundamental de figuras
planas relaciona el número de aristas (e),
el número de vértices (n), junto al de
lados (i), el número de caras de i lados
(ci), el conjunto de caras (T), y cómo
no, el número de componentes no conexas (g).
Queda determinada por la siguiente expresión:

Ecuación
fundamental de figuras planas

Esta ecuación deja de manifiesto que existen
caras de un único lado o caras de dos lados. Vamos a
verificar su presencia.

En mi libro "Naturaleza del grafo", muestro la
existencia de una cara exterior en los grafos (así como
también una cara interior). Dicha cara es propia de la
naturaleza del grafo para hacer coherente la ecuación de
Euler y en las modificaciones que establezco sobre ella. La cara
exterior es fundamental en la expresión que trata el
artículo, la ecuación fundamental de figuras
planas.

Un lazo consiste en un único vértice y una
arista que parte del vértice y llega a
él.

Lazo

Como podemos observar el objeto de estudio, el lazo, es
el mismo visto desde el punto A y el punto B;
con la excepción que en A lo vemos desde el
interior y, en B desde el exterior. Aún
así se trata de la misma identidad, en los dos puntos de
observación están acotadas ambas regiones por
él. En consecuencia la cara es la misma (equivalente en
cuánto a lados) desde ambas observaciones; luego tenemos
dos caras iguales.

Este resultado implica que el lazo posee un
lado.

Observamos la figura de dos lados. Consta de
dos vértices y dos aristas paralelas, es decir que ambas
parten y llegan, desde y hacia, los mismos
vértices.

FIGURA DE DOS LADOS

Como en el caso anterior tenemos las mismas
caras desde la observación interior y exterior, y
sólo posee una componente no conexa. Plantemos la
ecuación:

En consecuencia, esta figura tiene dos lados tanto para
la cara interior como la cara exterior.

Probamos con una figura con dos componentes no conexas,
es decir, no están unidas mediante una
arista:

Triángulo
segmental

El segmento interior que consta de una arista y dos
vértices no circunda ninguna cara interior, al no contener
alguna región del plano.

En éste caso vamos a analizar la región de
color amarillo, delimitada por tres vértices y dos
aristas, como demostramos anteriormente la cara exterior tiene un
único lado. Aplicamos la fórmula:

En la figura que se trata, el sumatorio de la
fórmula se extiende a dos caras, la región de
estudio amarilla y, la cara exterior, dónde antes
demostramos que posee un lado.

Despejamos la incógnita:

.

Por consiguiente, estamos ante un triángulo
segmental; pues posee dos arista y tres lados.

Dejo al lector que compruebe cuántos lados acota
el segmento la cara exterior. La solución es
dos.

Podemos comprobar que para un triángulo no
segmental, es decir, un triángulo tradicional con
tres vértices y tres aristas, también se cumple la
ecuación fundamental de figuras planas. Tomando
como nota que la cara interior y exterior son equivalentes,
aplicamos la fórmula:

En la siguiente tabla se muestra algunos ejemplos de
figuras segmentales. El polígono de estudio es la
región amarilla. Donde v indica el número
de vértices.

EJEMPLOS DE FIGURAS
SEGMENTALES

Propongo al lector que verifique la validez de la
ecuación en éstos casos, así como a
cualquier polígono tradicional o no segmental.

Como hemos comprobado la ecuación fundamental
de figuras planas rige a todos los polígonos que
podamos dibujar en una superficie de dos dimensiones, incluso
aquellos que antes no podíamos contemplar. Podemos
distinguir los polígonos en dos clases: segmentales y no
segmentales. El nombre de segmental lo he acogido gracias a los
segmentillos, quienes verdaderamente son los causantes de la
variación en la equivalencia entre aristas y
lados.

Ahora logramos catalogar las figuras en función
de los lados; de ahí mi atrevimiento a denominarla:
ecuación fundamental de figuras planas,
pues todos los elementos de una figura plana están
presentes en dicha ecuación.

Bibliografía

"Naturaleza del grafo", J. F.
Rivera Romualdo.

ISBN13: 978-1-4303-2431-7. Editorial
Lulu

Autor:

José Francisco Rivera
Romualdo

Huelva, veintiocho de Septiembre de
2008