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Introducción a la trigonometría



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    INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA 1.1)
    INTRODUCCIÓN La historia de la Trigonometría (De
    las voces griegas TRIGONON = Triángulo y METREO = medida.
    Es, pues, la medida del triángulo; o sea tiene por fin
    encontrar el valor de sus elementos) se remonta a la primera
    Matemática conocida, en Egipto y Babilonia. Los egipcios
    establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos
    y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia
    clásica no empezó a haber Trigonometría en
    las Matemática. En el siglo II a.C. el astrónomo
    Hiparco de Alejandría (180 – 125 a. C ) inventa la
    Trigonometría que se ocupaba inicialmente en formular
    relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los
    lados de un triángulo, aspecto utilizado en
    astronomía y navegación, en las que el principal
    problema era determinar una distancia inaccesible, como la
    distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no
    podía ser medida de forma directa (lafacu.com). Tolomeo
    incorporó en su gran libro de astronomía, el
    Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de
    1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600
    de unidad. También explicó su método para
    compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio
    bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular
    los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los
    conocidos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los
    astrónomos de la India habían desarrollado
    también un sistema trigonométrico basado en la
    función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta
    función seno, al contrario que el seno utilizado en la
    actualidad, no era una proporción, sino la longitud del
    lado opuesto a un ángulo en un triángulo
    rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos
    indios utilizaron diversos valores para ésta en sus
    tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos
    árabes habían recibido la herencia de las
    tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con
    la función seno. En las últimas décadas del
    siglo X ya habían completado la función seno y las
    otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado
    varios teoremas fundamentales de la Trigonometría que
    fueron aplicados a la astronomía. El occidente latino se
    familiarizó con la Trigonometría árabe a
    través de traducciones de libros de astronomía
    arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El
    primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito
    por el matemático y astrónomo alemán Johann
    Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el
    también astrónomo alemán Georges Joachim,
    conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de
    funciones trigonométricas como proporciones en vez de
    longitudes de ciertas líneas. Los cálculos
    trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al
    matemático escocés John Napier, quien
    inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. Casi
    exactamente medio siglo después de la publicación
    de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el
    cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del
    trabajo de Newton fue la representación de muchas
    funciones matemáticas utilizando series infinitas de
    potencias de la variable x. Newton encontró la serie para
    el sen x y series similares para el cos x y la tan x. Con la
    invención del cálculo las funciones
    trigonométricas fueron incorporadas al análisis,
    donde todavía hoy desempeñan un importante papel
    tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. 1
    Mgs. Mario Suárez Trigonometría 1

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    Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo
    Leonhard Euler definió las funciones
    trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales
    de números complejos. Esto convirtió a la
    trigonometría en sólo una de las muchas
    aplicaciones de los números complejos; además,
    Euler demostró que las propiedades básicas de la
    trigonometría eran simplemente producto de la
    aritmética de los números complejos. En la
    actualidad, el hombre emplea la Trigonometría para
    calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio
    de la Mecánica (parte de la Física que estudia el
    movimiento de los cuerpos y que se subdivide en
    cinemática, dinámica y estática), la
    Química y en casi todas las ramas de la ingeniería,
    sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos,
    como el sonido o el flujo de corriente alterna (LONDOÑO, N
    y BEDOYA, H. 1993). Teorema de Pitágoras La
    relación entre los cuadrados de los lados de los
    triángulos rectángulos se anuncian en el
    fundamental Teorema de Pitágoras, cuyo enunciado es el
    siguiente: En todo triángulo rectángulo el cuadrado
    de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
    catetos. Del Teorema de Pitágoras se deducen las
    siguientes conclusiones: – En todo triángulo
    rectángulo la hipotenusa es igual a la raíz
    cuadrada de la hipotenusa de la suma de los cuadrados de los
    catetos. v – Un cateto es igual a la raíz cuadrada de la
    diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del
    otro cateto v v 1.2) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.1)
    DEFINICIÓN Son relaciones entre las longitudes de la
    hipotenusa y los catetos del triángulo rectángulo.
    Existen seis funciones trigonométricas: seno, coseno,
    tangente, cotangente, 2 Mgs. Mario Suárez
    Trigonometría 1

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    secante y cosecante. Las tres primeras funciones se llaman
    funciones directas y las tres últimas se llaman funciones
    recíprocas o inversas. En el triángulo ACB de la
    siguiente figura consideramos el ángulo A c = Longitud de
    la hipotenusa a = Longitud del cateto opuesto al ? A b = Longitud
    del cateto adyacente al ? A Las funciones trigonométricas
    del ángulo A son: Funciones directas Funciones inversas
    1.2.2) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
    NOTABLES Funciones de 300 y 600 Se obtienen a partir de un
    triángulo equilátero (llamado también
    equiángulo) de 2 unidades de lado. Se emplea 2 unidades de
    lado por ser el número entero más pequeño y
    fácil de utilizar para calcular, en números
    pequeños, los demás elementos del triángulo
    que intervienen en el cálculo las funciones
    trigonométricas Tarea para el estudiante 1) Trace un
    triángulo equilátero de 2 unidades 3 Mgs. Mario
    Suárez Trigonometría 1

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    2) Trace la altura desde el vértice superior. Explique el
    ¿Por qué? la altura trazada también es
    bisectriz 3) Calcule a y b en la figura 4) Calcule las funciones
    trigonométricas de 300 y 600. Racionalice los resultados y
    llene la siguiente tabla: Función sen cos tan cot sec csc
    Ángulo 300 600 v v Funciones de 450 Se obtienen a partir
    de un triángulo cuadrado (llamado también
    rectángulo equilátero o rombo equiángulo) de
    una unidad de lado. Se emplea una unidad de lado por ser el
    número entero más pequeño y fácil de
    utilizar para calcular, en números pequeños, los
    demás elementos del triángulo que intervienen en el
    cálculo las funciones trigonométricas Tarea para el
    estudiante 1) Trace un cuadrado de una unidad 2) Trace la
    diagonal desde el vértice superior izquierdo. Explique el
    ¿Por qué? la diagonal trazada también es
    bisectriz 3) Calcule la diagonal c de la figura 4) Calcule las
    funciones trigonométricas de 450. Racionalice los
    resultados y llene la siguiente tabla Función sen cos tan
    cot sec csc Ángulo 450 v 1.2.3) FUNCIONES
    TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES 4 Mgs.
    Mario Suárez Trigonometría 1

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    Son funciones trigonométricas de los ángulos que se
    encuentran en los cuadrantes del Plano Cartesiano que se obtienen
    a partir del Círculo Trigonométrico (Círculo
    trazado en el Plano Cartesiano con centro en el punto (0,0) y
    radio de una unidad) Donde r ? radio vector; x ? abscisa; y ?
    ordenada; ? ? ángulo theta Las funciones
    trigonométricas del ángulo ? son: Funciones
    directas Funciones inversas Tarea para el estudiante 1) Trace un
    Plano Cartesiano a una escala conveniente para un Círculo
    Trigonométrico. 2) Con radio en el punto (0,0) y radio una
    unidad, trace una circunferencia. 3) Ponga las coordenadas de los
    puntos en donde la circunferencia interseca al Plano Cartesiano.
    4) Ponga los valores de “y”, “x “y
    “r” 5) Calcule las funciones trigonométricas
    de los ángulos cuadrantes. Llene la siguiente tabla:
    Función sen cos tan cot sec csc Ángulo 00 0 1 900
    1800 2700 5 Mgs. Mario Suárez Trigonometría 1

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    TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 1 1) Realice un organizador
    gráfico (mapa conceptual, cuadro sinóptico,
    mentefacto, etc.) sobre la introducción de las funciones
    trigonométricas. 2) Consulte sobre la biografía de
    Pitágoras, y realice un organizador gráfico de la
    misma. 3) Consultar en cualquier fuente de información
    disponible sobre la clasificación de los
    triángulos, líneas y puntos notables del
    triángulo y sobre la clasificación de los
    cuadriláteros. 4) Realice las tareas de las funciones
    trigonométricas de ángulos notables y cuadrantales.
    5) Comprobar las siguientes igualdades empleando los valores
    exactos los ángulos dados: 5.1) sen 2 300 ? cos 2 300 ? 1
    5.2) sen 2 450 ? cos 2 450 ? 1 5.3) sen 2 600 ? cos 2 600 ? 1
    5.4) 1 ? tan 2 300 ? sec 2 300 5.5) 1 ? tan 2 450 ? sec 2 450
    5.6) 1 ? tan 2 600 ? sec 2 600 5.7) 1 ? tan 2 00 ? sec 2 00 6)
    Hallar tan del ángulo A, sabiendo que b ? mn ? n 2 y c ? m
    ? n 1 n mn 1.2.4) SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
    Tarea para el estudiante 1) Trace un Plano Cartesiano. 2) Trace
    un radio vector r en los 4 cuadrantes del Plano Cartesiano con un
    ángulo ?. 3) Empleando al radio vector como hipotenusa
    forme triángulos rectángulos. 4) Ponga los
    elementos de los triángulos rectángulos trazados
    anteriormente, empleando la simbología “x”
    “-x”, “y” y “-y” para los
    catetos adyacente y opuesto al ángulo ?, respectivamente,
    según el cuadrante. 5) Calcule las funciones
    trigonométricas en cada triángulo y determine los
    signos de las funciones trigonométricas. Llene la
    siguiente tabla: Signos de las Funciones Trigonométricas
    Cuadrante Función I II III IV Mgs. Mario Suárez sen
    ? + + Trigonometría 1 6

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    cos ? tan ? cot ? sec ? csc ? + + Resumen todas sin csc tan cot
    cos sec 1.2.5) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
    FAMILIARES De 300 Tarea para el estudiante 1) Repita los pasos
    del anterior taller empleando ? ?300, r ?2, x ? v y y?1 2)
    Calcule el ángulo familiar de 300 que se obtiene en el
    segundo, tercero y cuarto cuadrante. 3) Calcule las funciones
    trigonométricas de 300 y de sus ángulos familiares.
    Racionalice las respuestas y llene la siguiente tabla:
    Ángulo 300 1500 2100 3300 Función sen ? cos ? tan ?
    cot ? sec ? csc ? De 450 Tarea para el estudiante 1) Repita los
    pasos del anterior taller empleando ? ? 450, r ? v , x ?1 y y ?1
    2) llene la siguiente tabla: Ángulo 450 1350 2250 3150
    Función sen ? cos ? tan ? cot ? sec ? csc ? De 600 7 Mgs.
    Mario Suárez Trigonometría 1

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    Tarea para el estudiante 1) Repita los pasos del anterior taller
    empleando ? ? 600, r ? 2, x ?1 y y ? v 2) llene la siguiente
    tabla: Ángulo 600 1200 2400 3000 Función sen ? cos
    ? tan ? cot ? sec ? csc ? TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 2 1)
    Realice las tareas para el estudiante de los signos de las
    funciones y de las funciones trigonométricas de
    ángulos familiares. 2) Comprobar las siguientes igualdades
    empleando los valores exactos los ángulos dados: 2.1) sen
    2 1200 ? cos 2 1200 ? 1 2.2) sen 2 1350 ? cos 2 1350 ? 1 2.3) sen
    2 2400 ? cos 2 2400 ? 1 2.4) 1 ? tan 2 1500 ? sec 2 1500 2.5) 1 ?
    tan 2 2250 ? sec 2 2250 2.6) 1 ? tan 2 3000 ? sec 2 3000 2.7) 1 ?
    tan 2 1200 ? sec 2 1200 2.8) 1 ? tan 2 3150 ? sec 2 3150 2.9) 1 ?
    tan 2 2100 ? sec 2 2100 2.10) 1 ? cot 2 1500 ? csc 2 1500 1.2.6)
    GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TAREA DE
    INTERAPRENDIZAJE N° 3 1) Llene la siguiente tabla y grafique
    las funciones trigonométricas de manera manual y
    utilizando el programa Graph o cualquier otro programa. Nota:
    Grado s Re v 0 8 Mgs. Mario Suárez Trigonometría
    1

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    15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 1/2 195 210 225 240 255
    270 285 300 315 330 345 360 9 Mgs. Mario Suárez
    Trigonometría 1

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    10 Mgs. Mario Suárez Trigonometría 1

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    2) Elaborar la tabla y construir un mismo sistema de coordenadas
    las gráficas de las funciones: 11 Mgs. Mario Suárez
    Trigonometría 1

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    1.3) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
    TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 4 Emplear las funciones
    trigonométricas o el teorema de Pitágoras para
    resolver los siguientes ejercicios y problemas 1) Hallar el valor
    de x en las siguientes figuras: S = 69,3 m S =5 S = 81,1 m S = 6(
    3 ? 1) 2) En la siguiente figura determinar la altura h de la
    montaña y el valor de x S= 1730, 9 m; 999, 3 m 3) El
    siguiente triángulo está inscrito en una
    circunferencia de 2 cm de radio. Calcular el área de la
    región sombreada S = 7,37 cm2 4) El lado del siguiente
    pentágono regular mide 2,4 cm y su apotema 1,6 cm.
    Calcular el área de la región sombreada 12 Mgs.
    Mario Suárez Trigonometría 1

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    S = 2,96 cm2 5) El diámetro de la circunferencia es 4 cm.
    Calcular el área de la región sombreada. S = 6,5
    cm2 6) Calcular el área de un triángulo
    isósceles cuya base mide 6 cm y uno de sus lados 5 cm R=
    12 cm2 7) La base de un triángulo isósceles mide 10
    m y el ángulo en la base ? / 6 rad. Calcular el
    perímetro y el área. P = 21,54 m A= 14,4 m2 8)
    Calcular el área de un rectángulo sabiendo que su
    diagonal mide 10 cm y la base 8 cm. R= 48 cm2 9) Resolver un
    rombo, sabiendo que su diagonal mayor mide 8 m y su diagonal
    menor 60 dm. P= 20 m; A=24 m2; 106,260; 73,740 10) Calcular el
    área de un trapecio isósceles sabiendo que la base
    mayor mide 10 cm, la base menor 4 cm y uno de sus lados 5 cm A
    =28 cm2 11) Calcular el área de un hexágono regular
    inscrito en una circunferencia de 2m de radio A = 10,4 m2 12)
    Calcular la longitud de un arco intersecado por una cuerda que
    mide 2,6 m en una circunferencia de 3 m de diámetro. Arco
    = 3,145 m 13) Los organizadores de una prueba ciclística
    ordenan a un constructor una rampa de 10 m de largo y que se
    levante del suelo a una altura de 3 m. Calcular el ángulo
    de elevación de la rampa. S = 17,46º 14) La sombra
    que proyecta un árbol de 3,4 m sobre el piso horizontal
    mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo
    que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos
    extremos, de la sombra y del árbol? S = 38,33º 15)
    Una escalera de 3 m está recostada sobre una pared
    vertical y forma con el piso en ángulo de 63,3º. Mgs.
    Mario Suárez ¿Qué altura alcanza la escalera
    sobre la pared? Trigonometría 1 S = 2,68 m 13

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    16) Un pintor usa una escalera de 5 m de longitud
    apoyándose sobre la pared y a 3 m de ella en el piso.
    Determinar la altura que alcanza la escalera sobre la pared. S =
    4m 17) Una antena de televisión de 8 m de altura
    está sujeta desde su extremo superior por un cable fijo a
    6m de la base. ¿Cuál es el precio del cable si cada
    metro cuesta $ 0,5? S= $5 18) Una antena de televisión
    está sujeta desde su extremo superior por un cable fijo a
    2m de base y forma con la horizontal un ángulo de
    70º.¿ Que altura alcanza la antena? S = 5,5 m 19)
    Determinar la altura de un edificio, sabiendo que cuando el sol
    forme un ángulo de 60º con el edificio, éste
    proyecta una sombra de 60 m. S = 103,92 m 20) Determinar la
    longitud que presenta la sombra de un árbol de 6m de
    altura cuando la inclinación de los rayos del sol es de
    40º S = 7,15 m 21) El ángulo de elevación de
    una cometa cuando se ha soltado 40m de hilo es 40º.
    Determinar la altura de la cometa S = 25,7 m 22) Un avión
    de reconocimiento localiza un barco enemigo con un ángulo
    de depresión de 28º. Si el avión vuela 3200 m
    de altura, calcular la distancia a la que se encuentra el barco
    enemigo. S = 6815,8 m 23) Desde la cúspide de un faro de 4
    m de altura sobre el nivel del mar se observa que un
    ángulo de depresión de 21º a un bote. Calcular
    la distancia horizontal del faro al bote. S = 10,42 m 24) Desde
    un punto situado a 2 m sobre el nivel del piso, un hombre de 1,7
    m observa un edificio situado a 20 m sobre la horizontal. Si el
    ángulo que forma la visual con la horizontal es de
    45º. Cuál es la altura del edificio. S = 23,7 m 25)
    Desde la cúspide de un faro de 6m de altura sobre el nivel
    del mar se observa que los ángulos de depresión a 2
    botes situados en líneas con el faro son de 14º y
    30º , respectivamente. Calcular la distancia entre ambos
    botes. S = 13,67 m 26) Un poste de alumbrado tiene una altura de
    4 m. Un observador está parado frente al poste a una
    distancia de 2m del mismo. Si la estatura del observador es de
    1,7 m, ¿cuál es la longitud de la sombra que
    proyecta el observador sobre el piso. S= 1,48 m 27) El viento
    quiebra un árbol y la parte superior toca el suelo en un
    punto de éste a 8m de la base del árbol. La parte
    quebrada mide 17 m. ¿Cuál era la altura original
    del árbol? 14 Mgs. Mario Suárez
    Trigonometría 1

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    2 3r 3 C S= 32 m 28) Una persona se encuentra en la ventana de su
    apartamento que está situada a 8m del suelo y observa el
    edificio de enfrente con un ángulo de elevación de
    300. La distancia entre el apartamento y el edificio es 166,18 m.
    Determinar la atura del edificio de enfrente. S= 104 m 29) El
    volumen de un hexaedro es de 64 cm3. Demostrar que la diagonal
    del cuerpo mide 4 3 cm 30) En la siguiente figura demostrar que d
    = 2? , D = 3? y ? ? 1.4) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
    OBLICUÁNGULOS Recordemos que un triángulo
    oblicuángulo es aquel que no tiene ángulo recto.
    Para resolver estos triángulos necesitamos conocer los
    teoremas o leyes del coseno y del seno. 1.4.1) TEOREMA O LEY DEL
    COSENO En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un
    lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los
    otros dos lados, menos el doble producto de éstos por el
    coseno del ángulo comprendido entre dichos lados. a2 = b2+
    c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 -2ac cos B b a A m c H n B A
    continuación se demuestra el teorema para el lado a o BC
    Consideremos el triángulo anterior .Sea CH el segmento
    altura y sean m y n las longitudes de los segmentos en el que el
    punto h divide el lado AB 15 Mgs. Mario Suárez
    Trigonometría 1

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    2 2 2 2 2 2 h En el triángulo AHC y el BHC por el teorema
    de Pitágoras: a2 = h2 + n2 b2 = h2 + m2 (1) (2) Al restar
    la ecuación (2) de la ecuación (1) se obtiene: (1)
    –(2): a 2 ? b 2 ? n 2 ? m 2 Por ser m + m = c ? n = c
    – m a 2 ? b 2 ? ?c ? m? ? m 2 a ? b ? c ? 12m ? m ? m
    Cuadrado de un binomio Términos semejantes (3)
    Transponiendo b2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2cm a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2cm m
    Como: cos A = y m = b cos A (4) b 2 2 2 Reemplazando (4) en (3),
    obtenemos: a = b +c – 2bc cos A En forma similar que
    podríamos demostrar el teorema del coseno para los lados b
    y c 1.4.2) TEOREMA O LEY DE LOS SENOS En todo triángulo
    ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales
    a los senos de los ángulos opuestos a dichos lados.
    Consideremos al triángulo ABC de la figura. Tracemos la
    altura h desde el vértice del ángulo B hasta el
    lado AC. B a h c C b D A En el triángulo ADB calculando
    sen A: Sen A = h c Despejando h h = c sen A (1) en el
    triángulo CDB calculando sen C y despejando h sen C = ? h
    ? asenC(2) a Aplicando la propiedad transitiva ( a = b y b =c ? a
    = c ) 16 Mgs. Mario Suárez Trigonometría 1

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    a c a b c De la igualdad de las ecuaciones 1 y 2 a sen C = c sen
    A Transponiendo sen C y sen A ? senA senC Generalizando esta
    igualdad para el lado B y su lado opuesto ? ? senA senB senC
    TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 5 1) Resolver los siguientes
    triángulos ABC B a c 1.1) a = 5 cm C b = 100 mm C =
    45º b A A= 28,700, B = 106,30, P =22,368 cm, A?= 17,65 cm2
    7? 1.2) a = 10 cm b = 150 mm B = 30 A= 29,720, C = 18,330, P
    =31,34 cm, A?= 23,59 cm2 1.3) B = 113º10’ 1.4) c = 40
    cm 1.5) a = 150 cm 1.6) a = 9 cm b = 248 cm b = 0,5 m c=3m b =
    0,07 m c = 1,95 m A= 20,540, C = 46,290, P =537,65 cm, A?=
    8783,76 cm2 3 A= Re v 20 B= 75,550, C = 50,440, P =131,82 cm, A?=
    809,02 cm2 B = 5 ? / 6 A= 9,8960, C = 20,110, P =886,387 cm, A?=
    11250 cm2 c = 40 mm A= 106,60, B = 48,190, C = 25,20, P =20 cm,
    A?= 13,41 cm2 2) El valor de x en la siguiente figura es 17 Mgs.
    Mario Suárez Trigonometría 1

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    3) Desde un punto situado en el plano horizontal que pasa por la
    base de un edificio, el ángulo de elevación a su
    cúspide es de 520 39’ y desde otro punto situado a
    10 m del anterior y más distante que él del pide
    del edificio es de 35016’. Hállese la altura del
    edificio. S = 15,36 m 4) Un asta de bandera de 4 m de altura
    está situada en lo alto de una torre. Desde un punto
    situado de la base de la torre se observa que los ángulos
    de elevación al tope y al pie del asta son de 38053’
    y 20018’ respectivamente. Hállese la distancia del
    punto a la torre y la altura de ésta. S= 3,39 m; 9,16 m 5)
    Un automóvil parte con rumbo N300O a una velocidad de 180
    km/h durante 3 horas. Un segundo automóvil parte desde el
    mismo lugar del primero con rumbo a S100E a una velocidad de 200
    km/h durante 4 horas. Calcular la distancia entre los
    automóviles. S= 1320,41 km 6) Un avión parte con
    rumbo N300E a una velocidad de 3000 km/h durante 2 horas. Luego
    cambia el rumbo a S200E a una velocidad de 4000 km/h durante 2
    horas. Calcular la distancia y el rumbo con respecto a su punto
    de partida. S= 6188,08 km; N 67,970 O 7) Un vehículo parte
    con rumbo N300O a una velocidad de 150 km/h durante 2 horas.
    Luego cambia el rumbo a S400O a una velocidad de 200 km/h durante
    3 horas. Finalmente cambia su rumbo a N600O a una velocidad de
    180 km/h durante 4 horas. Calcular la distancia y el rumbo con
    respecto a su punto de partida. S= 1170,2 km; S 82,30 E 8) Un
    automóvil parte con rumbo N300E a una velocidad de 150
    km/h durante 2 horas. Luego cambia el rumbo a S200E a una
    velocidad de 200 km/h durante 3 horas. Finalmente cambia su rumbo
    a N600E a una velocidad de 180 km/h durante 4 horas. Calcular la
    distancia y el rumbo con respecto a su punto de partida. S=
    980,34 km; S 86,730 O 18 Mgs. Mario Suárez
    Trigonometría 1

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