La programación lineal como técnica de investigación de operaciones
- Cuando
los consumidores se encuentran muy dispersos, la venta
directa resultaría impráctica por los costos
tan altos de transporte - Los
productos perecederos requieren canales de
distribución directos o muy cortos - Los
requerimientos de los comerciantes y las capacidades de los
distribuidores - Bibliografía
La Programación Lineal es una técnica de
investigación de operaciones para la determinación
de la asignación óptima de recursos escasos cuando
la función objetivo y las restricciones son lineales. Es
una manera eficiente de resolver estos problemas cuando se debe
hacer una elección de alternativas muy numerosas que no
pueden evaluarse intuitivamente por los métodos
convencionales.
En la actualidad es una herramienta común, que se
ha prestado para resolver problemas de gran magnitud, a los
cuales se desea maximizar o minimizar una función sujeta a
ciertas restricciones.
SOLUCIÓN A LOS PROBLEMAS DE ESTUDIO:
Cuando los
consumidores se encuentran muy dispersos, la venta directa
resultaría impráctica por los costos tan altos de
transporte.
Se dispone de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos
recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el
10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un
máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como
mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos
que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble
de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la
distribución de la inversión para obtener el
máximo interés anual.
Construcción del Modelo
inversión | rendimiento | |
Tipo A | x | 0,1x |
Tipo B | y | 0,08y |
210000
0,1x+0,08y
Elección y formulación de
las Variables
Llamamos x a la cantidad que
invertimos en acciones de tipo ALlamamos y a la cantidad que
invertimos en acciones de tipo B
Evaluación y Formulación
de las Restricciones
Condiciones que deben cumplirse
(restricciones):
X = 0
Y = 0
R1 = X + Y = 210000
R2= X = 130000
R3 = Y = 60000
R4 = X = 2Y
Formulación de la Función
Objetivo
F (X, Y) = 0, 1X + O, 08Y
Desarrollo del Método Grafico,
Algebraico y Simplex
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a
las restricciones para conseguir la región factible
(conjunto de puntos que cumplen esas condiciones).
La región factible es la pintada de
amarillo, de vértices A, B, C, D y E
Obtención de resultados y Toma
de Decisiones Orientadas a la Organización.
A (0, 60000), B (120000, 60000), C (130000,
65000), D (130000, 80000) y E (0, 210000)
A = F (X, Y) = 0, 1(0) + O, 08(60000) =
4800
B = F (X, Y) = 0, 1(120000) + O, 08(60000)
= 12000 + 4800 = 16800
C = F (X, Y) = 0, 1(130000) + O, 08(65000)
= 13000 + 5200 = 18200
D = F (X, Y) = 0, 1(130000) + O, 08(80000)
= 13000 + 6400 = 19400
E = F (X, Y) = 0, 1(0) + O, 08(210000) =
16800
Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la
desplazamos se puede comprobar gráficamente que el
vértice mas alejado es el D, y por tanto es la
solución óptima, el máximo interés
esperado. Es decir, comprobar que el valor máximo de la
función objetivo, F, se alcanza en el
vértice D.
Los productos
perecederos requieren canales de distribución directos o
muy cortos.
Una escuela prepara una excursión para 400
alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas
y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores.
El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno
pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que
utilizar para que la excursión resulte lo mas
económica posible para la escuela.
Construcción del Modelo
Entonces se tiene X = 8, Y =
10
Como sólo hay 9 conductores se
verifica que: X + Y = 9
Como tienen que caber 400 alumnos se debe
de verificar: 40X + 50Y = 400, que simplificada quedaría
4X + 5Y = 40.
Elección y Formulación de
las Variables.
X nº de autocares de 40
plazas
Y nº de autocares de 50 plazas que
alquila la escuela.
Evaluación y Formulación
de las Restricciones.
Las restricciones que nos van a permitir calcular
la región factible (conjunto de puntos
solución donde se cumplen todas las condiciones)
son:
X = 0
Y = 0
R1 = X = 8
R2= Y = 10
R3 = X + Y = 9
R4 = 4X + 5Y = 40
Formulación de la Función
Objetivo.
F(x, y)= 60X + 80Y Minimizar
Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y
Simplex
r1
r2 r3
r4
x | y | x | y | x | y | x | y | |
8 | 0 | 0 | 10 | 0 | 9 | 0 | 8 | |
|
|
| 0 | 9 | 10 | 0 |
Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se
dibuja en rojo.
Teniendo en cuenta las restricciones (la de
R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de
abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es
la parte amarilla.
Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el
(5, 4), este último es el punto de
intersección de las rectas r3 y r4.
X + Y = 9 5X + 5Y = 45
4X + 5Y = 40 Por Reducción 4X + 5Y =
40
Obtención de resultados y Toma
de Decisiones Orientadas a la Organización.
Restando ambas ecuaciones se tiene que X= 5
y sustituyendo en la 1ª ecuación, Y =4. Resolviendo
gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la
solución del problema. La solución
óptima.
X + Y = 9
| 4X + 5Y = 40
| 5X + 5Y = 45
| 4X + 5Y = 40
|
Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos
los vértices y que este es el que da menor valor
(método analítico).
Los
requerimientos de los comerciantes y las capacidades de los
distribuidores.
Una compañía fabrica y venden dos modelos
de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita
un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos
para el L2; y un trabajo de máquina para L1 y de 10
minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas
al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el
beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2,
respectivamente, planificar la producción para obtener el
máximo beneficio.
Construcción del Modelo
Trabajo Manual | Trabajo Maquina | Beneficio | |
Lámpara L1 | 20 Minutos | 10 Minutos | 15 Euros |
Lámpara L2 | 30 Minutos | 10 Minutos | 10 Euros |
Elección y Formulación de las
Variables
X = Nº de lámparas L1
Y = Nº de lámparas L2
Evaluación y Formulación de las
Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 minutos = 1/3 hora
30 minutos = 1/2 hora
10 minutos = 1/6 hora Entonces,
L1 | L2 | Tiempo | ||
Manual | 1/3 | 1/2 | 100 | |
Maquina | 1/3 | 1/6 | 80 |
1/3X + 1/2Y = 100
1/3X + 1/6Y = 80
X = 0
Y = 0
Formulación de la Función
Objetivo
F (X, Y) = 15X + 10Y
Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y
Simplex
Al ser X = 0 y Y = 0, establecemos el primer cuadrante y
resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3X + 1/2Y
= 100. Ejemplo (0, 0).
1/3 (0) + 1/2 (0) = 100
1/3 (0) + 1/6 (0) = 80
La zona de intersección de las soluciones de las
inecuaciones seria la solución al sistema de inecuaciones,
que constituye el conjunto de las soluciones
factibles.
La solución optima si es
única, se encuentra en un vértice del recinto.
Solución a los sistemas:
1/3X + 1/2Y = 100; X = 0 (0,
200)
1/3X + 1/6Y = 80: Y = 0 (240, 0)
1/3X + 1/2Y = 100; 1/3X + 1/6Y = 80: (210,
60)
Obtención de Resultados y Toma de decisiones
Orientados a la Organización.
En la función objetivo sustituimos cada uno de
los vértices:
F (X, Y) = 15X + 10Y
F (0, 200) = 15 (0) + 10 (200) = 2000 Euros
F (240, 0) = 15 (240) + 10 (0) = 3600 Euros
F (210, 60) = 15 (210) + 10 (60) = 3750 Euros.
Maximizar
La solución óptima es fabricar 210 del
modelo L1 y 60 del modelo L2, para obtener un beneficio de 3750
Euros.
a. El precio fijado a cada unidad de un
producto influye en la cantidad de fondos disponibles para su
distribución.
Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de
material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos,
500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta,
empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer
bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2
bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1
carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete
serán 6.5 y 7 €, respectivamente.
¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo
para obtener el máximo beneficio?
1.1 Construcción del Modelo
1 Bloque P1 | 2 Bloque P2 | Disponibles | |
Cuadernos | 2 | 3 | 600 |
Carpetas | 1 | 1 | 500 |
Bolígrafos | 2 | 1 | 400 |
1.2 Elección y Formulación de las
Variables
X = P1
Y = P2
1.3 Evaluación y Formulación de las
Restricciones
2X + 3Y = 600
X + Y = 500
2X + Y = 400
X = 0
Y = 0
1.4 Formulación de la Función
Objetivo
F (X, Y) = 6.5X + 7Y
1.5 Desarrollo del Método Grafico, Algebraico y
Simplex
Conjunto de Soluciones Factibles:
Coordenadas de los vértices del recinto de las
soluciones factibles
1.6 Obtención de Resultados y Toma de Decisiones
Orientadas a la Organización
Calculando el valor de la función
objetivo
F (X, Y) = 6.5X + 7Y
F (X, Y) = 6.5 (200) + 7 (0) = 1300 Euros
F (X, Y) = 6.5 (0) + 7 (200) = 1400 Euros
F (X, Y) = 6.5 (150) + 7 (100) = 1675 Euros –
Máximo
La solución optima son 150 para el Bloque 1 y 100
para el Bloque 2, con la que se obtienen 1675 Euros.
b. Cuando el tamaño de los pedidos o el
volumen total del negocio es mínimo, la
distribución indirecta resultaría
costosa.
Se dispone de 600 g de un determinado fármaco
para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes
pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres
pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de
las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2
€ y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas
pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio
sea máximo?
1.1 Construcción del Modelo
Peso (g) | Beneficio | ||
Pastillas Grandes | 40 g | 2 Pesos | |
Pastillas | 30 g | 1 Peso |
1.2 Elección y Formulación de las
Variables
X = Pastillas Grandes
Y = Pastillas Pequeñas
1.3 Evaluación y Formulación de las
Restricciones
40X + 30Y = 600
X = 3
Y = 2X
X = 0
Y = 0
1.4 Formulación de la Función
Objetivo
F (X, Y) = 2X + Y
1.5 Desarrollo del Método Gráfico,
Algebraico y Simplex
Conjunto de Soluciones Factibles
Coordenadas de los vértices del
recinto de las soluciones factibles.
1.6 Obtención de Resultados y Toma de Decisiones
Orientadas a la Organización
Calculando el valor de la función
objetivo:
F (X, Y) = 2X + Y
F (X, Y) = 2(3) + 16 = 22 Pesos
F (X, Y) = 2(3) + 6 = 12 Pesos
F (X, Y) = 2(3) + 12 = 24 Pesos –
Máximo
El máximo beneficio es de 24 pesos y se obtiene
fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.
CONCLUSIONES GENERALES
La Programación Lineal dentro de una forma
más completa, que conlleve a una solución optima
más eficaz y precisa, utiliza distintos métodos
(algebraicos, gráficos y simplex) que trabajan en la
rigurosidad del modelo. Estos métodos establecen una
solución factible y luego prueban si es optima o no, y
para los casos en los cuales no lo sea, buscan una mejer
solución y si esta no es óptima entonces se repite
el proceso, hallar una solución óptima.
La programación lineal enmarca el desarrollo de
nuevos métodos que respondan de manera rápida y
confiable, a problemas que se puedan presentar en la
cotidianidad. Una técnica como la investigación de
operaciones la cual pase a ser una base en la toma de decisiones,
dado que proporciona un conjunto de métodos altamente
efectivos para la consecución de un gran número de
soluciones viables para un caso cualquiera.
BIBLIOGRAFÍA
http://actividadesinfor.webcindario.com/proli.htm.
Ejercicios de Programación Lineal
Guía Didáctica: Programación
Lineal. Autor: Ing. Oscar Javier Hernández Sierra.
Agosto de 2012. Universidad Nacional Abierta y a
Distancia.
Autor:
Inocencio Meléndez Julio
Magíster en Administración
Magíster en Derecho
Doctorando en Derecho Patrimonial: La
Contratación Contemporánea.