- Introducción
- La
geometría - Historia
- Axiomas, definiciones y
teoremas - Prisma
- Un
paralelepípedo - Una
pirámide - Cilindro: área y
volumen - Cono
circular - Esfera
- Conclusión
Introducción
La geometría es una de las
más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un
cuerpo de conocimientos prácticos en relación con
las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo
Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de
Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
Euclides, en el siglo III a. C. configuró la
geometría en forma axiomática, tratamiento que
estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la
geometría euclidiana descrita en «Los
Elementos».
El estudio de la astronomía y la
cartografía, tratando de determinar las posiciones de
estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como
importante fuente de resolución de problemas
geométricos durante más de un milenio. René
Descartes desarrolló simultáneamente el
álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa,
donde las figuras geométricas, tales como las curvas
planas, podrían ser representadas analíticamente,
es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se
enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de
los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que
condujo a la creación de la topología y la
geometría diferencial.
La
geometría
es una rama de la matemática que se ocupa del
estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el
espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que
incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies,
polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría
descriptiva o del dibujo técnico. También da
fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el
pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en
especial cuando se la considera en combinación con el
análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones
diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de
problemas concretos relativos a medidas. Tiene su
aplicación práctica en física aplicada,
mecánica, arquitectura, cartografía,
astronomía, náutica, topografía,
balística, etc. Y es útil en la preparación
de diseños e incluso en la elaboración de
artesanía.
Historia
La geometría es una de las ciencias más
antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos
prácticos en relación con las longitudes,
áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy
desarrollada, según los textos de Heródoto,
Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo
III a. C. configuró la geometría en forma
axiomática, tratamiento que estableció una norma a
seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana
descrita en «Los Elementos».
El estudio de la astronomía y la
cartografía, tratando de determinar las posiciones de
estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como
importante fuente de resolución de problemas
geométricos durante más de un milenio. René
Descartes desarrolló simultáneamente el
álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa,
donde las figuras geométricas, tales como las curvas
planas, podrían ser representadas analíticamente,
es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se
enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de
los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que
condujo a la creación de la topología y la
geometría diferencial.
Axiomas, definiciones y
teoremas
La geometría se propone ir más allá
de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario
un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han
utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.
El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque
era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX
otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en
todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden
describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones.
Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes
abstractos ideales y sus relaciones se denominan
modelos.
Esto significa que las palabras "punto", "recta" y
"plano" deben perder todo significado material. Cualquier
conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas
cumplirá también todos los teoremas de la
geometría en cuestión, y sus relaciones
serán virtualmente idénticas al del modelo
tradicional.
AXIOMAS
En geometría euclidiana, los axiomas y postulados
son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en
función del punto, la recta y el plano. Euclides
planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de
paralelismo) el que siglos después –cuando muchos
geómetras lo cuestionaron al analizarlo–
originará nuevas geometrías: la elíptica
(geometría de Riemann) o la hiperbólica de
Nikolái Lobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se
definen en función de ecuaciones de puntos,
basándose en el análisis matemático y el
álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos,
rectas o planos.
puede
definir cualquier función, llámese recta,
circunferencia, plano, etc.
Topología y geometría
El campo de la topología, que tuvo un gran
desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo
de geometría transformacional, en que las transformaciones
que preservan las propriedades de las figuras son los
homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría
métrica, en que las transformaciones que no alteran las
propriedades de las figuras son las isometrías). Esto ha
sido frecuentemente expreso en la forma del dicho "la
topología es la geometría de la página de
goma".
Prisma
Un prisma, en geometría, es un poliedro que
consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de
caras laterales que son paralelogramos.
En el caso en que las caras laterales sean
rectangulares, se llama prisma rectangular. El prisma rectangular
o cuboide, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de
prisma recto, con una base rectangular y octagonal,
respectivamente.
El volumen de un prisma recto es el producto del
área de una de las bases por la distancia entre ellas
(altura). Para sacar el área lateral Perímetro de
la base x altura. Luego calcular la superficie de la base,
recordar que son 2 bases. Sumar todo
2.- El volumen de un prisma es igual al producto del
área de la base por la altura, esto se expresa
como:
V = Bh |
Ejercicios de prismas
Calcula la altura de un prisma que tiene como
área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.
Calcula el área lateral, el área total y
el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12
y 18 cm.
Un
paralelepípedo
Es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro),
en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales
dos a dos. Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son
iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8
vértices.
Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un
paralelepípedo:
es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de
las cuales es un paralelogramo.es un hexaedro con tres pares de caras
paralelas.es un prisma cuya base es un
paralelogramo.
El paralelepípedo pertenece al grupo de los
prismatoides, aquellos poliedros en los que todos los
vértices se encuentran contenidos en dos planos
paralelos
Una
pirámide
es un poliedro limitado por una base, que es un
polígono con una cara; y por caras, que son
triángulos coincidentes en un punto denominado
ápice.
El ápice o cúspide también es
llamado vértice de la pirámide, aunque una
pirámide tiene más vértices, tantos como el
número de polígonos que lo limitan.
El volumen de una pirámide puede obtenerse
mediante cálculo diferencial. El área de un plano
de corte transversal es directamente proporcional al área
de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano
de corte respecto al ápice de la pirámide. Esta
distancia (d) es la diferencia entre la altura de la
pirámide (h) y altura del plano de corte
(z).
Esta fórmula también es válida para
el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su
área.
Volumen de una pirámide
regular
El volumen de una pirámide cuya base es un
polígono regular puede calcularse a partir del lado del
polígono regular que define su base y la altura de la
pirámide. Sustituyendo el área de la base
Ab (1) en la ecuación del volumen de la
pirámide (4) se obtiene:
Cilindro: área
y volumen
Un cilindro circular recto es aquel cuerpo o
sólido geométrico generado por el giro de una
región rectangular en torno a uno de sus lados o
también en torno a uno de sus ejes de
simetría.
El cilindro consta de dos bases circulares
y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un
rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del
cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral,
perpendiculares a las bases, se llaman generatrices.
Si "abrimos" un cilindro recto a lo largo de una
generatriz, y lo extendemos en un plano, obtenemos dos
círculos y una región rectangular. De esta manera
se obtiene la red del cilindro recto.
Para desarrollar o dibujar un cilindro, ver
figura:
Perímetro: es la línea que limita
una figura plana.
Área lateral: Superficie de un cuerpo
geométrico excluyendo las bases.
Área total: Superficie completa de la
figura, es decir, el área lateral más el
área de las bases de la figura.
Área del cilindro
Ejemplo:
¿Cuál es el área total de un
cilindro si su radio basal mide 10 cm y su altura mide 20
cm?
Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm
Cono
circular
El cono es el sólido engendrado por un
triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus
catetos.
El desarrollo o la confección de un cono se
indica en la siguiente figura:
Para calcular su área lateral se emplea la
siguiente fórmula:
Área lateral = (perímetro de la |
Para calcular su área total se emplea la
siguiente fórmula:
Área total = área lateral + |
Volumen del cono
Para calcular su volumen se emplea la siguiente
fórmula:
Volumen del cono = (área de la base |
El volumen de un cono cualquiera equivale a un tercio
del volumen de un cilindro de igual base y de igual altura que
ese cono. Por ello es que basta dividir por tres (3) o
multiplicar por un tercio (1/3) el volumen del cilindro para
conocer el volumen del cono allí contenido.
Ejemplo:
Si se tiene un cono cuya base es un círculo de 5
cm y su altura es de 12 cm, entonces el volumen será
de:
El volumen encontrado es de 316 centímetros
cúbicos
El volumen se expresa en unidades
cúbicas.
Esfera
es un lugar geométrico o el conjunto de los
puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior
llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que
la longitud del radio forman el interior de la
superficie esférica. La unión del interior y la
superficie esférica se llama esfera.
Volumen de una esfera
En el caso de una esfera (cuerpo limitado por una
superficie esférica, es decir, es la superficie que se
crea cuando una semicircunferencia gira en torno a su
diámetro) el volumen se calcula usando la siguiente
fórmula:
Volumen esfera : 4 / 3 · p · R
3
p = 3,1415…
R = Radio
Ejemplo: Si el radio de una circunferencia es de 4 cm .
¿Cuál será su volumen?
V = 4 / 3 · 3.1415.. · ( 4 ) 3
V = 4 / 3 · 3,1415..· 64
V = 804,24772.
3
V = 268,08 cm 3
El diámetro corresponde a la medida de dos radios
y es el segmento de mayor longitud que gira dentro de la
circunferencia.
Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos |
Figura | Esquema | Área | Volumen | |||
Cilindro | ||||||
Esfera | ||||||
Cono | ||||||
Cubo | A = 6 a2 | V = a3 | ||||
Prisma | A = (perim. base • h) + 2 | V = área base • | ||||
Pirámide |
Conclusión
En geometría, un cilindro es una superficie de
las denominadas cuádricas formada por el desplazamiento
paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva
plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del
cilindro.
Si la directriz es un círculo y la generatriz es
perpendicular a él, entonces la superficie obtenida,
llamada cilindro circular recto, será de
revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos
situados a una distancia fija de una línea recta, el
eje del cilindro. El sólido encerrado por esta
superficie y por dos planos perpendiculares al eje también
es llamado cilindro. Este sólido es utilizado como una
superficie Gausiana.
En geometría diferencial, un cilindro se define
de forma general como cualquier superficie reglada generada por
una familia uniparamétrica de líneas
paralelas
BIBLIOGRAFÍA
Roger Penrose (2005): The Road to
Reality: A Complete Guide to the Laws of the
Universe.
William Dunham. "Pages 28, 226", The
Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great
Proofs, Problems and Personalities,
Autor:
Cochex Figueras
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN
LICEO BOLIVARIANO "CAIGUIRE"
CUMANÁ – ESTADO –
SUCRE
Prof.:
CESAR MORENO
CUMANÁ, MAYO DE 2013