La solución de problemas: en matemática y en la vida

Resumen

Este trabajo tiene como objetivos dar una
aproximación a las ideas básicas sobre las
analogías entre la solución de problemas en la
Matemática y en la vida como aspectos esenciales para la
toma acertada de decisiones por directivos y estudiantes. El
conocimiento de los tipos de problemas y las fases
correspondientes para llegar a una acertada solución son
algunos de los aspectos a tratar en el trabajo. La importancia de
una correcta toma de decisiones como objetivo a lograr
estará sin dudas muy relacionado con la preparación
que tengan los estudiantes, entiéndase directivos para la
toma correcta de decisiones.

Palabras claves: solución de
problemas, toma de decisiones

Desarrollo

Matemática es la única asignatura que se
estudia en todos los países del mundo y en todos los
niveles educativos. Supone un pilar básico de la
enseñanza en todos ellos. La causa fundamental de esa
universal presencia hay que buscarla en que las
matemáticas constituyen un idioma poderoso, conciso y sin
ambigüedades. Ese idioma se pretende que sea aprendido por
nuestros alumnos, hasta conseguir que lo "hablen". En general por
medio de la contemplación de cómo los hacen otros
(sus profesores), y por su aplicación a situaciones muy
sencillas y ajenas a sus vivencias (los ejercicios).

    La utilización de un idioma
requiere de conocimientos y herramientas mínimos para
poder desarrollarse. Pero sobre todo se necesitan situaciones que
inviten a comunicarse por medio de ese idioma, a esforzarse en
lograrlo, y, desde luego, de técnicas para hacerlo. En el
caso del idioma matemático, una de las técnicas
fundamentales de comunicación son los métodos de
Resolución de Problemas.

    La resolución de problemas es
considerada en la actualidad la parte más esencial de la
educación matemática. Mediante la resolución
de problemas, los estudiantes experimentan la potencia y utilidad
de las Matemáticas en el mundo que les rodea.

La resolución de problemas es un proceso mental
que supone la conclusión de un proceso más amplio
que tiene como pasos previos la identificación del
problema y su modelado. La resolución de problemas reside
principalmente en dos áreas: la resolución de
problemas matemáticos y la resolución de problemas
personales (en los que se presenta algún tipo de
obstáculo a su resolución).

Es un proceso mental que supone la conclusión de
un proceso más amplio que tiene como pasos previos la
identificación del problema y su modelado. Por problema se
entiende un asunto del que se espera una solución que
dista de ser obvia a partir del planteamiento inicial.
Considerada como la más compleja de todas las funciones
intelectuales, la resolución de problemas ha sido definida
como un proceso cognitivo de alto nivel que requiere de la
modulación y control de habilidades más rutinarias
o fundamentales.

Desde el inicio del actual curso 2012-2013, se ha estado
realizando un esfuerzo especial en esclarecer la misión y
prioridades de la educación superior en los municipios y
sus instituciones, en respuesta a las transformaciones que
están ocurriendo en el país y en las
universidades.

En este propósito se han realizado encuentros con
los directores de los CUM, donde han participado: cuadros y
funcionarios del PCC, vicepresidentes y funcionarios de los
gobiernos provinciales y municipales, las universidades de los
cuatro organismos formadores, entidades de la producción e
instituciones culturales y científicas con el objetivo de
propiciar una actualización de la vigencia, desarrollo e
impacto de la educación superior en los municipios,
así como identificar las principales insuficiencias y
barreras que afronta en su gestión y las recomendaciones
para su solución.

Dentro de las principales cuestiones a las que se ha
arribado a un consenso están:

• Convicción de la necesidad de los Centros
  Universitarios Municipales (CUM) como interface necesaria de
  las universidades en el despliegue de todos los procesos
  universitarios en el logro de una mayor pertinencia e impacto
  económico social.

• Necesidad de atender de forma proactiva la
  preparación de los cuadros del territorio y su
  superación integral en el dominio de los Lineamientos
  del Partido y de la Revolución y su alcance en el
  territorio. Facilitar un pensamiento estratégico en la
  formulación de la planeación del desarrollo
  municipal integral en todas sus dimensiones y en especial de
  los recursos humanos calificados del territorio que requieran
  de esta planeación.

• Brindar la superación necesaria a los
  directivos y profesores de los municipios, en los nuevos
  roles que asume el CUM.

La importancia de los Centros Universitarios Municipales
como actores de los procesos esenciales de la universidad cubana
así como el llamado a la preparación constante y
consecuente de directivos en los territorios y de los profesores
viene a asegurarnos sin lugar a dudas que mientras más
preparados estemos mejores posibilidades tendremos de desarrollar
un trabajo más efectivo y duradero.

El proceso de solución de problemas, en un
sentido muy amplio, abarca actividades muy diferentes,
heterogéneas, sin embargo, en sentido estricto,
englobaría: aquellas tareas que exigen procesos de
razonamiento relativamente complejos y no una simple actividad
asociativa o rutinaria.

En general, el proceso de solución de problemas y
el proceso de razonamiento, se han tratado como dos áreas
independientes. Sin embargo, para solucionar un problema, el
sujeto debe poner en marcha procesos de razonamiento, por eso en
realidad, es difícil trazar la línea divisoria
entre la investigación sobre solución de problemas
y sobre otros procesos de razonamiento.

Fases en la resolución de un
problema:

1ª) Fase de preparación: Basada en la
comprensión del problema. Supone un análisis e
interpretación de los datos disponibles.

2ª) Fase de producción: El sujeto elabora y
pone en marcha una estrategia: un conjunto de operaciones para
poder llegar a la solución.

3ª) Fase de enjuiciamiento: Reflexión y
evaluación de la solución generada
comparándola con el criterio de solución que nos
propone el enunciado de la tarea.

Esta fase es muy sencilla cuando el problema está
bien definido.

Tipos de
problemas

Existen diferentes clasificaciones sobre los distintos
tipos de problemas; nos quedamos con la de Greeno
(1978):

• Problemas de Transformación: constan de una
  situación inicial, una meta y un conjunto de
  operaciones intermedias que transforman ese estadio inicial
  en la solución final.

• Problemas de Inducción de Estructuras: son
  problemas cuya solución requiere descubrir
  analogías estructurales entre elementos que pertenecen
  a dominios dispares; aunque no está claro el tipo de
  procesos que permiten descubrir analogías
  estructurales, lo que sí parece claro es el proceso
  básico de comprensión de relaciones de
  similitud (se semejanza).

• Analogías verbales: problemas que se ajustan
  al formato A es a B como C es a D. Los dos primeros
  términos (A y B) mantienen una relación
  explícita en el problema y la tarea del sujeto es
  descubrir un término incógnito D que mantenga
  con C una relación similar a la que existe entre A y
  B, y que aparece explícita en el problema.

• Analogías complejas: de acuerdo con la
  teoría del procesamiento de la información, un
  problema consta de 3 elementos: un estadio inicial, un
  estadio final y un conjunto de estrategias u operadores
  intermedios que transforman el estadio inicial en
  final.

Sin embargo, existe una vía alternativa para
buscar la solución a un problema que consiste en usar la
solución de un problema diferente como modelo para
resolver el problema sobre el que estamos trabajando.

¿Cómo enfrentar diariamente la
solución de los problemas que el quehacer rutinario nos
impone?

La toma certera de decisiones pasa en un primer
término por el análisis creativo y detallado del
problema a enfrentar. La preparación que tengamos para
ello será el soporte indiscutible para la obtención
de los resultados esperados.

¿Cómo plantear y resolver problemas?

Un problema matemático puede ser
resuelto mediante una técnica de cuatro etapas:

• entender el problema.

• crear un plan.

• llevar a cabo el
  plan.

• revisar e interpretar el resultado
  (mediante el método científico)

Si esta técnica fracasa, según
Pólya (1945): «Si no puedes resolver ese problema,
entonces existe un problema más sencillo que éste
que sí podrás resolver: encuéntralo» O
bien: «Si no puedes resolver el problema propuesto, intenta
resolver primero un problema relacionado. ¿Podrías
imaginar un problema relacionado más
accesible?».

El libro de Pólya contiene un conjunto de
sugerencias heurísticas a modo de diccionario, muchas de
las cuales ayudan a generar un problema más accesible.
(Luis Elucay) (1994): «Un problema de investigación,
puede ser una realidad compleja-conflictiva; un desconocimiento;
una curiosidad una interrogante. La investigación
científica consiste en hallar fenómenos en un
problema, identificarlos, formularlos y tratar de encontrar su
solución, sea con ayuda del conocimiento existente, sea
con el conocimiento nuevo y, en todo caso, a la luz de la
razón y de la experiencia. Dejar de tratar problemas es
dejar de investigar. Los problemas pueden a veces estar referidos
a carencias objetivas, desconocimiento de si toma, causas,
efectos, relaciones, procesos o indicadores que den cuenta de la
línea de base o situación de partida de cualquier
esfuerzo investigativo».

Hemos ido viendo cómo en las distintas
áreas del currículo los alumnos se ven enfrentados
a problemas de distinta naturaleza, que requieren de ellos la
activación de conocimientos factuales y conceptuales
específicos, así como el dominio de técnicas
y estrategias que en muchos casos difieren de un área a
otra. La investigación reciente destaca el carácter
específico de los conocimientos implicados en la
solución de distintos tipos de problemas, a partir de las
comparaciones entre personas expertas o no (por ejemplo, CHI,
GLASER y FARR, 1988; ERICSSON y SMITH, 1991). Igualmente, la
enseñanza de la solución de problemas está
abandonando un enfoque generalista –basado en la idea de
que los alumnos podían aprender modelos generales o
"ideales" útiles para resolver cualquier problema–
en favor de un acercamiento más específico, ligado
a los contenidos conceptuales y a los dominios de conocimiento a
los que pertenecen los problemas.

A los alumnos no se les puede "enseñar a pensar"
o a "resolver problemas" en general al margen de los contenidos
específicos de cada área del currículo (por
ejemplo, BRANDSFORD et al., 1989; HALPERN, 1992). En
consecuencia, la enseñanza de la solución de
problemas debe ser un contenido más de cada una de las
materias, de importancia variable, según las propias
convicciones y el modelo docente puesto en marcha por cada
profesor o cada centro dentro de un currículo
abierto.

Ahora bien, el hecho de que haya que enseñar a
los alumnos a resolver los problemas propios de cada área
no debe implicar que en cada área se afronte la
enseñanza de la solución de problemas de un modo
diferente o desconectado de lo que sucede en otras áreas.
Aunque los conocimientos y algunas de las estrategias necesarias
para resolver un problema de Matemáticas y para realizar
un juego de simulación en Geografía son diferentes,
una lectura atenta a lo planteado también revelará
que existen muchas dificultades comunes para la enseñanza
y el aprendizaje de la solución de problemas en esos
diversos dominios. Aunque los conocimientos que hay que
enseñar a los alumnos para resolver problemas en las
distintas áreas son sólo parcialmente coincidentes,
las dificultades para enseñarlos son relativamente
constantes.

Un tratamiento común o globalizado de algunos de
los rasgos de la enseñanza de la solución de
problemas en la escuela no sólo puede facilitar que su
inclusión en el currículo sea más
sistemática y equilibrada sino que también puede
ayudar a superar algunas de las dificultades de aprendizaje que
se han apuntado de modo específico, para cada una de las
áreas del currículo. Tal vez la mejor manera de
identificar los rasgos comunes a la enseñanza de los
distintos tipos de problemas sea situarlos en el contexto de los
contenidos del currículo, donde obviamente la
solución de problemas, en todas las áreas
analizadas, se hallaría más próxima a los
contenidos.

Algunos criterios
que permiten convertir en problemas el trabajo individual de los
estudiantes

En el planteamiento del problema

1. Plantear tareas abiertas, que admitan varias
vías posibles de solución e incluso varias
soluciones posibles, evitando las tareas cerradas.

2. Modificar el formato o definición de los
problemas, evitando que el alumno identifique una forma de
presentación con un tipo de problema.

3. Diversificar los contextos en que se plantea la
aplicación de una misma estrategia, haciendo que el alumno
trabaje los mismos tipos de problemas en distintos momentos del
currículo y ante contenidos conceptuales
diferentes.

4. Plantear las tareas no sólo con un formato
académico sino también en escenarios cotidianos y
significativos para el alumno, procurando que el alumno
establezca conexiones entre ambos tipos de
situaciones.

5. Adecuar la definición del problema, las
preguntas y la información proporcionada a los objetivos
de la tarea, utilizando, en distintos momentos, formatos
más o menos abiertos, en función de esos mismos
objetivos.

6. Utilizar los problemas con fines diversos durante el
desarrollo o secuencia didáctica de un tema, evitando que
las tareas prácticas aparezcan como ilustración,
demostración o ejemplificación de unos contenidos
previamente presentados al alumno.

Durante la solución del problema

7. Habituar al alumno a adoptar sus propias decisiones
sobre el proceso de solución, así como a
reflexionar sobre ese proceso, concediéndole una
autonomía creciente en ese proceso de toma de
decisiones.

8. Fomentar la cooperación entre los alumnos en
la realización de las tareas, pero también
incentivar la discusión y los puntos de vista diversos,
que obliguen a explorar el espacio del problema para confrontar
las soluciones o vías de solución
alternativas.

9. Proporcionar a los alumnos la información que
precisen durante el proceso de solución, realizando una
labor de apoyo, dirigida más a hacer preguntas o fomentar
en los alumnos el hábito de preguntarse que a dar
respuesta a las preguntas de los alumnos.

En la evaluación del problema

10. Evaluar más los procesos de solución
seguidos por el alumno que la corrección final de la
respuesta obtenida. O sea, evaluar más que
corregir.

11. Valorar especialmente el grado en que ese proceso de
solución implica una planificación previa, una
reflexión durante la realización de la tarea y una
autoevaluación por parte del alumno del proceso
seguido.

12. Valorar la reflexión y profundidad de las
soluciones alcanzadas por los alumnos y no la rapidez con la que
son obtenidas.

Conclusiones

Sin dudas es de vital importancia que haya una correcta
preparación y capacitación entre estudiantes
(directivos) relacionada con los pasos a seguir, la estrategia a
seguir, en la solución de un problema, ya sea este
matemático, en el cual se verán involucrados los
estudiantes, como de la vida, en que todos, estudiantes y
directivos en particular nos vemos inmersos de alguna forma u
otra. Resulta de particular importancia que se asuma por ambas
vías lo imprescindible de no cejar en el empeño de
llegar al resultado final con los resultados esperados, la
constancia en el esfuerzo es el valor principal para que las
decisiones finales se vean premiadas por ese esfuerzo. Sin
ánimo de pensar que para cada problema de la vida haya que
comenzar por discernir cada paso o cada fase, se hace sí
fundamental que se produzca siempre el análisis
mínimo en concordancia con lo conocido
matemáticamente. El hábito en este proceder
influirá decididamente en la agilidad con que al final
demos nuestras decisiones (respuestas) de la mejor forma
posible.

Bibliografía

Brandsford et al., 1989

Elucay, Luis 1994(Cómo plantear y resolver
problemas)

Greeno, James G (1978): Introduction to
Mathematical Psychology

http://www.goodreads.com/author/show/1343728.James_G_Greeno

George Pólya: How to Solve
It, Princeton, 1945. ISBN 0-691-08097-6.

Autor:

Lic. Nelson Posada
Martínez

Profesor Auxiliar de la Filial
Universitaria de Jagüey Grande