Transformada Z

Abstract

La transformada de Laplace puede utilizarse para el
análisis de señales y sistemas en tiempo continuo.
Un método operacional equivalente para el estudio de
sistemas de ecuaciones deferenciales de tipo lineal discreto, es
el método de la transformada Z (TZ). Es decir que la TZ
está basada en la serie de Laurent y tiene como objetivo,
resolver problemas de señales y sistemas discretos
lineales invariantes en el tiempo (LIT). A modo de
explicación se citaran aplicaciones de la transformada Z
en el ámbito de las telecomunicaciones, se
describirá brevemente la transformada en tiempo discreto
equivalente a la TZ y se explicara la región de
convergencia (Region Of Convergence, ROC)
correspondiente a la TZ.

Aplicaciones de
la transformada z en el ámbito de las
telecomunicaciones

La TZ convierte una señal real o compleja
definida en el dominio del tiempo discreto en una
representación en el dominio de la frecuencia compleja
[1], en este sentido la TZ es una herramienta muy importante para
el procesamiento de señales digitales y de allí
parte su aplicación en la ingeniería dedicada al
estudio de las telecomunicaciones. Este modelo matemático
aplica en el procesamiento de señales digitales,
específicamente para el análisis y proyectos de
circuitos digitales, de los sistemas radar o en sistemas de
comunicaciones como la telefonía móvil, la
televisión digital entre otros.

De esta manera, se pueden ejemplificar el radar, la
telefonía o la TV digital donde:

Tabla. 1 Ejemplo de
Aplicaciones

A modo de explicación, se tomara como ejemplo la
codificación diferencial que es empleada en la Tv digital
o en un sistema radar. En este caso se considera la
codificación de señales de audio y video de Tv
digital, cuyo método de compresión reside en el
formato MPEG para codificar algunos de los coeficientes
transformados. De esta forma se utilizara esta idea para ilustrar
la transformación de la señal en tiempo discreto
mediante la TZ.

En el esquema básico de un codificador
diferencial se representa la figura 1.1. Se podría
considerar la señal de entrada como la iluminancia de una
línea de imagen. La transformación a utilizar
consiste simplemente en calcular la diferencia entre dos muestras
consecutivas. En principio, desde un punto de vista intuitivo,
esta transformación parece natural debido a la redundancia
que existe entre dos elementos consecutivos. Es de esperar que,
una vez realizada la transformación, la mayoría de
muestras estarán situadas en un entorno próximo al
cero, por lo que, seguramente pueden encontrarse compresores que
aprovechando esta característica de la señal
reduzcan la tasa de bits necesaria para su
codificación.

Nótese que la transformación utilizada es
invertible y que puede recuperar de forma exacta la
información original a partir de los resultados
transformados. Analíticamente, la transformación
diferencial viene dada por:

Puede verificarse que una transformación es
inversa de la otra sin más que aplicar las ecuaciones
anteriores a las tablas de valores que se muestran en la figura
1.1.

Fig. 1.1 Transformación
Diferencial [2]

Fig. 1.2 Proceso
General

Transformadas
equivalentes a la transformada z que puedan utilizarse en tiempo
discreto

La transformada Z se considera una generalización
de la transformada de tiempo discreto (DTFT) [3], dado a que la
TZ de la secuencia x(n) se ha definido como:

Fig. 2.1 Relación entre la
Transformada de Fourier y la TZ [4]

Región de
convergencia (ROC)

La región de convergencia (ROC), define la zona
donde la TZ existe. En tal sentido es una región en el
plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma
finita. Lo que quiere decir que es la suma de una serie
geométrica (suma de series de potencias negativas de z) y
esta transformada solo existe para aquellos valores del plano
complejo para los que dicha suma de serie de potencias converge.
Por lo tanto, la ROC viene dada por:

Aparte de lo que supone en si la ROC de una TZ, se da el
caso de que dicha transformada no determina de forma única
una señal en el dominio del tiempo. Esta ambigüedad
solo se resuelve si, además de las TZ, se especifica la
ROC.

Finalmente luego de realizar diversas evaluaciones y
aplicar ciertas propiedades como la de linealidad de las TZ, se
puede decir que la ROC de este tipo de transformadas será
una combinación de ella misma y según esto se
pueden presentar las siguientes situaciones:

• Señal estrictamente no causal (vale 0 para
  tiempos positivos): En este caso la región de
  convergencia va a ser un círculo.

• Señal estrictamente causal (vale 0 para
  tiempos negativos): En este caso la región de
  convergencia va a ser el exterior de una determinada
  circunferencia.

• Señal no causal (mezcla de las
  anteriores): En este caso se pueden dar dos
  situaciones:

• La ROC es un anillo. Para que se origine esta
  situación el mayor modulo de los polos de la TZ,
  correspondiente a la parte no causal, debe ser mayor que los
  correspondientes causales.

• No existe ROC. Este caso es opuesto al
  contrario.

Conclusiones

Hoy día, las telecomunicaciones parecen
consolidarse como un fenómeno que se incrementa en el
tiempo; con los días son más y más las
aplicaciones que se generan de los conocimientos teóricos
en una práctica moderna, científica-experimental
que resulta sorprendente. Constituye así un conjunto
ordenado de todos los conocimientos usados en la
producción, distribución y uso de bienes y
servicios. De tal manera que, representa un conocimiento que
permite satisfacer las necesidades del ser humano, a
través de técnicas que si se quieren pueden ser
consideradas como nuevas. Nuevas, porque en lo sustancial han
aparecido y sobre todo se han perfeccionado, difundido y
asimilado. 

     De esta forma las transformadas
Z, se convierten en una excelente técnica la cual, a pesar
de tener su sustento teórico práctico definido,
como consecuencia de la tecnología se reinventa para
aplicarse, en este caso particular a una de las necesidades
humanas fundamentales, que es la comunicación, y dentro
del contexto tecnológico a las telecomunicaciones. Cabe
destacar, que las telecomunicaciones obedecen a un sistema de
comunicación que incluye equipos electrónicos e
inclusive la manipulación de señales digitales, las
cuales vienen compuestas por unos parámetros
discretos

Finalmente, se pueden relacionar este proceso, con la
telefonía móvil, con un RADAR, o con la
operación de diversos equipos, entre otros, cuando estos
poseen o manipulan señales, como un factor de entrada y
salida.

Referencias
bibliográficas

[1] E. Soria y M. Martínez,
Tratamiento Digital de Señales. Pearson
Educación 2003.

[2] Televisión Digital, [En
Línea], Disponible en:
http://melca.com.ar/archivos/apuntes/Sistemas%20audiovisuales.%20Television%20analogica%20y%20digital/TL02206C.pdf.

[3] J. Alvarado, Procesamiento Digital
de Señales, Creative Commons 2011.

[4] R. Jiménez, Análisis de Sistemas y
Señales de Control Digital, 1997.

Autor:

Oskar Sánchez

Dirección de
Investigación y Postgrado, Universidad Nacional
Politécnica "Antonio José de Sucre"

Barquisimeto, Venezuela