DISTRIBUCIÓN NORMAL CON EXCEL, WINSTATS Y GEOGEBRA i)
Reseña histórica Abrahan De Moivre (1733) fue el
primero en obtener la ecuación matemática de la
curva normal. Kart Friedrich Gauss y Márquez De Laplece
(principios del siglo diecinueve) desarrollaron más
ampliamente los conceptos de la curva. La curva normal
también es llamada curva de error, curva de campana, curva
de Gauss, distribución gaussiana o curva de De Moivre. Su
altura máxima se encuentra en la media aritmética,
es decir su ordenada máxima corresponde a una abscisa
igual a la media aritmética. La asimetría de la
curva normal es nula y por su grado de apuntamiento o curtosis se
clasifica en mesocúrtica. ii) Ecuación Su
ecuación matemática de la función de
densidad es: ?? = 1 ??v2?? (??-??)2 – ?? 2??2 Donde: ?? =
????????????????ó?? ??????á???????? ?? 2 =
???????????????? ?? = 3,141592654 … . . ??????????????????
??????????á???????? ?? = 2,7182818 … …
?????????????????? ??????????á???????? X = valor en el eje
horizontal Y = altura de la curva para cualquier valor de x ?? =
?????????? ??????????é???????? Cuando se expresa la
variable x en unidades estándar (fórmula de
estandarización) ?? = ?? – ?? ?? La ecuación
anterior es reemplazada por la llamada forma canónica, la
cual es ?? = 1 ??v2?? 1 2 ?? -2?? Para calcular Y en Excel se
procede de la siguiente manera: a) Se ubica valores para X del -3
hasta el 3. Se insertar la función DISTR.NORM.ESTAND.N. En
la ventana de argumentos de función, en Z se seleccionada
A2 que representa al -3, y en Acumulado es escribe FALSO. Clic en
Aceptar. Se arrastra con el mouse para obtener los demás
valores.
b) Para obtener la gráfica se inserta gráfico de
dispersión. Nota: No existe una única
distribución normal, sino una familia de distribuciones
con una forma común, diferenciadas por los valores de su
media y su varianza. De entre todas ellas, la más
utilizada es la distribución normal estándar, que
corresponde a una distribución con una media
aritmética de 0 y una desviación típica de
1. iii) Área bajo la curva El área total limitada
por la curva y el eje “X” es 1, por lo tanto, el
área bajo la curva entre X = a y X = b, con a < b,
representa la probabilidad de que X esté entre a y b. Esta
probabilidad se denota por: ??(?? < ?? < ??)
Esta probabilidad se ilustra en el siguiente gráfico
elaborado con el programa Winstats. Para elaborar el
gráfico se procede de la siguiente manera: a) Se abre el
programa. Clic en Window- Probability
b) Clic en Normal c) Para cambiar el color del fondo, maximizar
la ventana de la curva. Clic en Edit-Colors y luego en Window
background. Seleccionar el color blanco para el fondo.
d) Para escribir, clic en Btns y luego en Text mode. Clic derecho
en cualquier parte de la pantalla. Luego escribir en la venta
edit text. Clic en ok e) Se obtiene el siguiente gráfico
Ejemplos ilustrativos 1) Averigüe el área bajo la
curva de distribución normal entre Z = 0,8 y Z = 2,12
Solución: Realizando el gráfico en Winstats y Paint
se obtiene:
…. …. 1 2 El área a la izquierda de Z = 0,8
con lectura en la tabla de la distribución normal es
0,7881 El área a la izquierda de Z = 2,12 con lectura en
la tabla de la distribución normal es 0,9830 TABLA Nº
3 DISTRIBUCIÓN NORMAL Ejemplo: ??(?? = -1,96) = 0,0250 ??
= ??-?? ?? Z 0,8 0,9 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,1 0,00
0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452
0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,01 0,7910 0,8186 0,8438
0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719
0,9778 0,9826 0,02 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066
0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,03
0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484
0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,04 0,7995 0,8264 0,8508
0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738
0,9793 0,9838 0,05 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115
0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,06
0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515
0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,07 0,8078 0,8340 0,8577
0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756
0,9808 0,9850 0,08 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162
0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,09
0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545
0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 El área Z = 0,8 y Z =
2,12 es 0,9830 – 0,7881 = 0,1949
Los cálculos en GeoGebra se presentan en la siguiente
figura: Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
2) Halle Z si el área entre -1,5 y Z es 0,0217
Solución: Realizando un gráfico ilustrativo en
Winstats y Paint se obtiene: Los cálculos en Excel se
muestran en la siguiente figura:
?? 15 ?? 15 3) El peso promedio de 200 estudiantes varones de
cierta universidad es 151 libras con una desviación
típica de 15 libras. Si los pesos están
distribuidos normalmente, calcular la probabilidad y el
número de estudiantes que pesan Entre 120 y 155 libras
Solución: La curva normal corresponde a una función
continua (valor decimal). Para resolver estos problemas se emplea
los límites inferior y superior según sea el caso,
es decir, para este problema es entre 119,5 y 155,5 libras
Normalizando los datos se tiene: ?? – ?? ?? = ?? ??1 – ?? 119,5 –
151 ??1 = = ??2 – ?? 155,5 – 151 ??2 = = = -2,1 = 0,3 Graficando
se obtiene: El área a la izquierda de Z = 0,3 con lectura
en la tabla de la distribución normal es 0,6179 El
área a la izquierda de Z = -2,1 con lectura en la tabla de
la distribución normal es 0,0179 El área entre -2,1
y 0,3 es 0,6179 – 0,0179 = 0,6 = 60% El número de
estudiantes es 0,6 x 200 = 120
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
4) Las calificaciones que obtienen los alumnos en un examen
siguen una distribución normal, siendo la media igual a
14. El 70% de los alumnos obtienen una calificación
inferior a 16. 4.1) Calcule la desviación típica de
las calificaciones 4.2) Se escoge un alumno al azar, calcule el
porcentaje de obtener una calificación superior a 18
Solución 4.1) Si el área es inferior al 70%,
entonces con lectura en la tabla se obtiene el valor de Z = 0,52
Reemplazando valores en la fórmula y realizando las
operaciones se obtiene: ?? = ?? – ?? ?? ? 0,52 = 16 – 14 ?? ? ??
= 16 – 14 0,52 = 3,8 El gráfico elaborado en Winstats
es:
4.2) Reemplazando valores en la fórmula se obtiene el
siguiente número Z: ?? = ?? – ?? ?? ? ?? = 18 – 14 3,8 ?
?? = 1,05 Con lectura en la tabla para Z = 1,05 se obtiene un
área de 0,8531, la cual representa una probabilidad
inferior a la calificación de 18 Para calcular la
probabilidad de obtener una calificación superior a 18 se
realiza la siguiente operación: ??(?? > 18) = 1 –
0,8531 = 0,1469 = 14,7% El gráfico elaborado en Winstats y
en Paint es: Por lo tanto existe una probabilidad de 14,7% de
obtener una calificación superior a 18 Los cálculos
en Excel se muestran en la siguiente figura: