DISTRIBUCIONES CONTINUAS CON EXCEL, WINSTAS Y GEOGEBRA A)
INTRODUCCIÓN Una distribución de probabilidad es
continua cuando los resultados posibles del experimento son
obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de
variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que
resultan principalmente del proceso de medición. Ejemplos
de variables aleatorias continuas son: La estatura de un grupo de
personas El tiempo dedicado a estudiar La temperatura en una
ciudad B) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL i) Definición La
distribución de Poisson calcula el número de
eventos sobre alguna área de oportunidad (intervalo de
tiempo o espacio), la distribución exponencial mide el
paso del tiempo entre tales eventos. Si el número de
eventos tiene una distribución de Poisson, el lapso entre
los eventos estará distribuido exponencialmente. ii)
Fórmula La probabilidad de que el lapso de tiempo sea
menor que o igual a cierta cantidad x es: ??(?? = ??) = 1 – ??
-??·?? Donde: ?? =Lapso de tiempo ?? = Base del logaritmo
natural aproximadamente igual a 2,718281828 ?? =Tasa promedio de
ocurrencia Ejemplo ilustrativo Los buses interprovinciales llegan
al terminal a una tasa promedio de 10 buses por hora. 1)
¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus en no
más de 5 minutos? 2) ¿Cuál es la
probabilidad de que llegue un bus en no más de 10 minutos?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue un bus
entre 5 minutos y 10 minutos? 4) ¿Cuál es la
probabilidad de que llegue un bus en más de 5 minutos?
Solución: ? = 10 por una hora 1) Como la tasa promedio
está dada por hora, y el problema se plantea en minutos,
se calcula el porcentaje que representa 5 minutos de una hora (60
minutos), el cual es: 5 60 = 1 12 = 0,0833 Reemplazado valores de
la fórmula se obtiene: ??(?? = ??) = 1 – ?? -??·??
1 ??(?? = 5) = 1 – ?? -10·12 = 0,5654
Interpretación: Existe un 56,54% de probabilidad de que el
segundo bus llegue al terminal en 5 minutos o menos del primero
si la tasa promedio de llegada es de 10 buses por hora.
Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente
figura 2) El porcentaje que representa 10 minutos de una hora (60
minutos) es: 10 ?????? 1 = = 0,1667 60 ?????? 6 Remplazado
valores de la fórmula se obtiene: ??(?? = ??) = 1 – ??
-??·?? 1 ??(?? = 10) = 1 – ?? -10·6 = 0,8111 En
GeoGebra:
3) P(5=X=10) = P(X=10) – P(X=5) P(5=X=10) = 0,8111- 0,5654
= 0,2457 4) P(X>5) = 1 – P(X=5) P(X>5) = 1 –
0,5654 = 0,4346 En los cálculos en Excel se muestran en la
siguiente figura:
C) DISTRIBUCIÓN UNIFORME i) Definición.- Es una
distribución en el intervalo [??, ??] en la cual las
probabilidades son las mismas para todos los posibles resultados,
desde el mínimo de a hasta el máximo de b. El
experimento de lanzar un dado es un ejemplo que cumple la
distribución uniforme, ya que todos los 6 resultados
posibles tienen 1/6 de probabilidad de ocurrencia. ii)
Función de densidad de una distribución uniforme
(altura de cada rectángulo en la gráfica anterior)
es: f(X) = Altura = 1 b-a Donde: a = mínimo valor de la
distribución b = máximo valor de la
distribución b – a = Rango de la distribución
iii) La media, valor medio esperado o esperanza matemática
de una distribución uniforme se calcula empleando la
siguiente fórmula: E(X) = µ = a+b 2 iv) La varianza
de una distribución uniforme se calcula empleando la
siguiente fórmula: s2 = (b – a)2 12 De donde la
desviación estándar es s = vs2 v) La probabilidad
de que una observación caiga entre dos valores se calcula
de la siguiente manera: ??(??1 = ?? = ??2 ) = ??2 – ??1 ?? –
??
Ejemplo ilustrativo Sea X el momento elegido al azar en que un
estudiante recibe clases en un determinado día entre las
siguientes horas: 7:00 – 8:00 – 9:00 – 10:00 – 11:00 – 12:00 –
13:00 1) ¿Cuál es la función de densidad de
la variable X? 2) Elaborar un gráfico de la
distribución de probabilidades 3) Calcular el valor medio
esperado 4) Calcular la desviación estándar 5)
Calcular la probabilidad de que llegue en la primera media hora
6) Si recibe clases de Estadística Aplicada de 10:00 a
12:15, calcular la probabilidad de recibir esta asignatura.
Solución: 1) a = 7 y b = 13 Reemplazando valores en la
ecuación de la función de densidad se obtiene: f(X)
= Altura = f(X) = Altura = 1 b-a 1 1 = = 0,167 13 – 7 6 2)
Elaborando el gráfico de la distribución de
probabilidad empleando Excel se obtiene: Interpretación:
Cada rectángulo tiene 1 de base y 1/6 = 0,167 de altura.
El área de cada rectángulo es: 1 1 ??? = ????????
· ???????????? = 1 · = 6 6 El área total
(rectángulo de base el intervalo 7-13 y altura 1/6=0,167)
representa a la suma de todas las probabilidades, y es igual a
uno: 1 1 ??? = ???????? · ???????????? = (13 – 7) ·
= 6 · = 1 6 6 3) Reemplazando valores en la fórmula
del valor esperado se obtiene: E(X) = µ = a+b 2
2 30 60 15 60 ?? – ?? 7 + 13 E(X) = µ = = 10 2 4)
Reemplazando valores en la fórmula de la varianza se
obtiene: s = s2 = (b – a)2 12 (13 – 7)2 (6)2 36 = = 12 12 12 =3
Por lo tanto la desviación estándar es: s = vs2 =
v3 = 1,732 5) Llegar en la primera media hora significa que llega
a la 7:30. Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre
las 7:00 y las 7:30. Como 7:30 = 7 horas + 30 minutos, y el
porcentaje que representa 30 minutos de una hora es: = 0,5 ? 7:
30 = 7,5 h???????? Por lo tanto se debe calcular la probabilidad
entre 7 y 7,5 Aplicando la fórmula de la probabilidad
entre dos valores se obtiene: ??(??1 = ?? = ??2 ) = ??(7 = ?? =
7,5) = ??2 – ??1 ?? – ?? 7,5 – 7 0,5 = 13 – 7 6 = 0,0833 En el
siguiente gráfico se muestra la probabilidad calculada: 6)
Se debe calcular la probabilidad entre las 10:00 y las 12:15 Como
12:15 = 12horas + 15 minutos, y el porcentaje que representa 15
minutos de una hora es: = 0,25 ? 12: 15 = 12,25 h???????? Por lo
tanto de debe calcular la probabilidad entre 10 y 12,25 Aplicando
la fórmula de la probabilidad entre dos valores se
obtiene: ??2 – ??1 ??(??1 = ?? = ??2 ) = 12,25 – 10 2,25 ??(10 =
?? = 12,25) = = 13 – 7 6 = 0,375 En el siguiente gráfico
se muestra la probabilidad calculada:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:
D) DISTRIBUCIÓN NORMAL i) Reseña histórica
Abrahan De Moivre (1733) fue el primero en obtener la
ecuación matemática de la curva normal. Kart
Friedrich Gauss y Márquez De Laplece (principios del siglo
diecinueve) desarrollaron más ampliamente los conceptos de
la curva. La curva normal también es llamada curva de
error, curva de campana, curva de Gauss, distribución
gaussiana o curva de De Moivre. Su altura máxima se
encuentra en la media aritmética, es decir su ordenada
máxima corresponde a una abscisa igual a la media
aritmética. La asimetría de la curva normal es nula
y por su grado de apuntamiento o curtosis se clasifica en
mesocúrtica. ii) Ecuación Su ecuación
matemática de la función de densidad es: ?? = 1
??v2?? (??-??)2 – ?? 2??2 Donde: ?? = ????????????????ó??
??????á???????? ?? 2 = ???????????????? ?? = 3,141592654
… . . ?????????????????? ??????????á???????? ?? =
2,7182818 … … ??????????????????
??????????á???????? X = valor en el eje horizontal Y =
altura de la curva para cualquier valor de x ?? = ??????????
??????????é???????? Cuando se expresa la variable x en
unidades estándar (fórmula de
estandarización) ?? = ?? – ?? ?? La ecuación
anterior es reemplazada por la llamada forma canónica, la
cual es ?? = 1 ??v2?? 1 2 ?? -2?? Para calcular Y en Excel se
procede de la siguiente manera: a) Se ubica valores para X del -3
hasta el 3. Se insertar la función DISTR.NORM.ESTAND.N. En
la ventana de argumentos de función, en Z se seleccionada
A2 que representa al -3, y en Acumulado es escribe FALSO. Clic en
Aceptar. Se arrastra con el mouse para obtener los demás
valores.
b) Para obtener la gráfica se inserta gráfico de
dispersión. Nota: No existe una única
distribución normal, sino una familia de distribuciones
con una forma común, diferenciadas por los valores de su
media y su varianza. De entre todas ellas, la más
utilizada es la distribución normal estándar, que
corresponde a una distribución con una media
aritmética de 0 y una desviación típica de
1. iii) Área bajo la curva El área total limitada
por la curva y el eje “X” es 1, por lo tanto, el
área bajo la curva entre X = a y X = b, con a < b,
representa la probabilidad de que X esté entre a y b. Esta
probabilidad se denota por: ??(?? < ?? < ??)
Esta probabilidad se ilustra en el siguiente gráfico
elaborado con el programa Winstats. Para elaborar el
gráfico se procede de la siguiente manera: a) Se abre el
programa. Clic en Window- Probability
b) Clic en Normal c) Para cambiar el color del fondo, maximizar
la ventana de la curva. Clic en Edit-Colors y luego en Window
background. Seleccionar el color blanco para el fondo.
d) Para escribir, clic en Btns y luego en Text mode. Clic derecho
en cualquier parte de la pantalla. Luego escribir en la venta
edit text. Clic en ok e) Se obtiene el siguiente gráfico
Ejemplo ilustrativo Averigüe el área bajo la curva de
distribución normal entre Z = 0,8 y Z = 2,12
Solución: Realizando el gráfico en Winstats y Paint
se obtiene:
…. …. 1 2 El área a la izquierda de Z = 0,8
con lectura en la tabla de la distribución normal es
0,7881 El área a la izquierda de Z = 2,12 con lectura en
la tabla de la distribución normal es 0,9830 TABLA Nº
3 DISTRIBUCIÓN NORMAL Ejemplo: ??(?? = -1,96) = 0,0250 ??
= ??-?? ?? Z 0,8 0,9 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,1 0,00
0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452
0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,01 0,7910 0,8186 0,8438
0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719
0,9778 0,9826 0,02 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066
0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,03
0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484
0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,04 0,7995 0,8264 0,8508
0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738
0,9793 0,9838 0,05 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115
0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,06
0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515
0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,07 0,8078 0,8340 0,8577
0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756
0,9808 0,9850 0,08 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162
0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761 0,9812 0,9854 0,09
0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545
0,9633 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 El área Z = 0,8 y Z =
2,12 es 0,9830 – 0,7881 = 0,1949
Los cálculos en GeoGebra se presentan en la siguiente
figura: Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura: