Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes
Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden
superior con coeficientes constantes – Monografias.com
Ecuaciones diferenciales
homogéneas de orden superior con coeficientes
constantes
Una ecuación diferencial de orden superior que
tiene la forma:
En donde si la ecuación diferencial se denomina
homogénea, pero si entonces la ecuación diferencial se
denomina no homogénea.
Principio de Superposición o
linealidad
Sean soluciones de una ecuación diferencial
homogénea de orden n, entonces la combinación
lineal de estas es:
También es solución de dicha
ecuación diferencial
Dependencia e Independencia
lineal
Se dice que las funciones son linealmente independientes si la
única solución de la ecuación
Donde
En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes
no es nula, las funciones son linealmente
dependientes.
Wronskiano
Es una función, cuyo nombre se debe al
matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente
importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El
Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está
conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas.
Supongamos que las funciones poseen al menos derivadas, entonces el Wronskiano está
dado por:
Para el caso de tres funciones
Uno de los usos más importantes del Wronskiano en
las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de
soluciones es linealmente independiente o no.
Dado un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial
homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es
linealmente independiente si y solo si, en algún punto de
un intervalo se cumple que
Ejemplo ilustrativo
Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones
dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes
en el intervalo
Remplazando valores en
Se tiene
Resolviendo el determinante de orden 3 por el
método de Sarrrus
Comoentonces, las funciones son linealmente
independientes
Una ecuación diferencial homogénea
de orden superior tiene la forma:
Y tiene como solución general la función
por lo tanto su
ecuación auxiliar viene dada por:
Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin
embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la
resolución de las mismas.
1) Primer Caso: Múltiples raíces
diferentes
Si todas las raíces de la ecuación
diferencial homogénea son reales diferentes, es decir
entonces la
solución general tiene la forma
2) Segundo Caso: Múltiples raíces
iguales
Si todas las raíces de la ecuación
diferencial homogénea son reales e iguales, es decir
entonces la
solución general tiene la forma
3) Tercer Caso: Múltiples raíces
iguales
Si todas las raíces de la ecuación
diferencial homogénea son conjugadas complejas, es
decir,
es una
raíz compleja de multiplicidad k, y sus raíz
conjugada también es una raíz compleja de
multiplicidad k, entonces con base en 2k soluciones complejas se
tiene como solución general
Ejemplos ilustrativos
1) Resolver
Solución:
La ecuación auxiliar es:
Factorando se tiene
Las raíces son
Entonces la solución general es
Graficando para valores arbitrarios se obtiene:
2) Comprobar que es la solución de
Solución
Calculando la primera derivada de
Calculando la segunda derivada
Calculando la tercera derivada
Remplazando valores en
Como se quería comprobar
3) Encontrar la ecuación diferencial cuya
solución es:
Solución:
Se observa que
Entonces
Por lo tanto al eliminar los paréntesis se
obtiene la ecuación auxiliar
Entonces la ecuación pedida es