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Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes




    Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden
    superior con coeficientes constantes – Monografias.com

    Ecuaciones diferenciales
    homogéneas de orden superior con coeficientes
    constantes

    Una ecuación diferencial de orden superior que
    tiene la forma:

    Monografias.com

    En donde si Monografias.comla ecuación diferencial se denomina
    homogénea, pero si Monografias.comentonces la ecuación diferencial se
    denomina no homogénea.

    Principio de Superposición o
    linealidad

    Sean Monografias.comsoluciones de una ecuación diferencial
    homogénea de orden n, entonces la combinación
    lineal de estas es:

    Monografias.com

    También es solución de dicha
    ecuación diferencial

    Dependencia e Independencia
    lineal

    Se dice que las funciones Monografias.comson linealmente independientes si la
    única solución de la ecuación

    Monografias.com

    Donde Monografias.com

    En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes
    no es nula, las funciones son linealmente
    dependientes.

    Wronskiano

    Es una función, cuyo nombre se debe al
    matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente
    importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El
    Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está
    conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas.
    Supongamos que las funciones Monografias.composeen al menos Monografias.comderivadas, entonces el Wronskiano está
    dado por:

    Monografias.com

    Para el caso de tres funciones

    Monografias.com

    Uno de los usos más importantes del Wronskiano en
    las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de
    soluciones es linealmente independiente o no.

    Dado un conjunto de soluciones Monografias.comde una ecuación diferencial
    homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es
    linealmente independiente si y solo si, en algún punto de
    un intervalo se cumple que

    Monografias.com

    Ejemplo ilustrativo

    Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones
    dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes
    en el intervalo Monografias.com

    Monografias.com

    Remplazando valores en

    Monografias.com

    Se tiene

    Monografias.com

    Resolviendo el determinante de orden 3 por el
    método de Sarrrus

    Monografias.com

    Monografias.com

    ComoMonografias.comentonces, las funciones son linealmente
    independientes

    Una ecuación diferencial homogénea
    de orden superior tiene la forma:

    Monografias.com

    Y tiene como solución general la función
    Monografias.compor lo tanto su
    ecuación auxiliar viene dada por:

    Monografias.com

    Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin
    embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la
    resolución de las mismas.

    1) Primer Caso: Múltiples raíces
    diferentes

    Si todas las raíces de la ecuación
    diferencial homogénea son reales diferentes, es decir
    Monografias.comentonces la
    solución general tiene la forma

    Monografias.com

    2) Segundo Caso: Múltiples raíces
    iguales

    Si todas las raíces de la ecuación
    diferencial homogénea son reales e iguales, es decir
    Monografias.comentonces la
    solución general tiene la forma

    Monografias.com

    3) Tercer Caso: Múltiples raíces
    iguales

    Si todas las raíces de la ecuación
    diferencial homogénea son conjugadas complejas, es
    decir,

    Monografias.comes una
    raíz compleja de multiplicidad k, y sus raíz
    conjugada Monografias.comtambién es una raíz compleja de
    multiplicidad k, entonces con base en 2k soluciones complejas se
    tiene como solución general

    Monografias.com

    Ejemplos ilustrativos

    1) Resolver Monografias.com

    Solución:

    La ecuación auxiliar es: Monografias.com

    Factorando se tiene

    Monografias.com

    Las raíces son

    Monografias.com

    Entonces la solución general es

    Monografias.com

    Monografias.com

    Graficando para valores arbitrarios Monografias.comse obtiene:

    Monografias.com

    2) Comprobar que Monografias.comes la solución de Monografias.com

    Solución

    Calculando la primera derivada de Monografias.com

    Monografias.com

    Monografias.com

    Calculando la segunda derivada

    Monografias.com

    Calculando la tercera derivada

    Monografias.com

    Remplazando valores en

    Monografias.com

    Monografias.com

    Monografias.com

    Monografias.com

    Monografias.com

    Monografias.com

    Como se quería comprobar

    3) Encontrar la ecuación diferencial cuya
    solución es: Monografias.com

    Solución:

    Se observa que

    Monografias.com

    Entonces

    Monografias.com

    Por lo tanto al eliminar los paréntesis se
    obtiene la ecuación auxiliar

    Monografias.com

    Monografias.com

    Monografias.com

    Monografias.com

    Monografias.com

    Entonces la ecuación pedida es Monografias.com

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