Ecuaciones diferenciales de segundo orden –
Monografias.com
Ecuaciones diferenciales de segundo
orden
Una ecuación diferencial de segundo orden es de
la forma
Si 
se llama Ecuación homogénea, como
por ejemplo
Si 
se llama Ecuación no homogénea,
como por ejemplo
1) DEFINICIÓN DE INDEPENDENCIA
LINEAL
Se dice que las funciones 
son linealmente independientes si la
única solución de la ecuación
Donde 
En
caso contrario, las funciones son linealmente
dependientes.
Ejemplos:
1) Las funciones 
; 
para ser linealmente independientes debe
cumplir
Remplazando los valores de las funciones se
obtiene
Como los únicos valores posibles de 
para que cumpla la igualdad
es 
entonces las
funciones ;
son linealmente
independientes
2) Las funciones 
; 
para ser linealmente independientes debe
cumplir
Remplazando los valores de las funciones se
obtiene
Como uno de los posibles valores de para que cumpla la igualdad
pueden ser 
entonces
las funciones ;
son linealmente
dependientes
Si 
son
soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial
,
entonces, la solución general es
Donde son
las constantes
Además por ser ecuación diferencial de
segundo orden se tiene soluciones de la forma
Entonces
Remplazando en se tiene
Factorando
Como 
nunca
se anula, es una
solución si y solo si 
Ejemplo ilustrativo
Resolver la ecuación diferencial 
Solución:
Se obtiene la ecuación característica,
para lo cual se sustituye 
por 
, 
por 
, e 
por 1 para obtener una ecuación de la
forma
Por lo tanto la ecuación característica de
es 
Resolviendo la ecuación se tiene 
Entonces
Que son las soluciones particulares de la
ecuación diferencial
Además, como estas dos soluciones
son linealmente independientes la solución general
es
Graficando para valores arbitrarios 
se tiene
Para comprobar la respuesta, se deriva la
función, para lo cual en GeoGebra
a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas
opciones.
b) Se escoge la opción
Derivada[(Función)]
c) Escribir f(x)
d) Enter. Clic en la círculo de g(x)
para que se borre la gráfica de g(x).
Para calcular la segunda derivada de f(x),
se deriva g(x) y se obtiene 
Para comprobar que 
es la solución de
Reemplazando valores en
Eliminando denominadores
Eliminando paréntesis
Reducción de términos
semejantes
Como se quería comprobar
2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes es de la
forma:
La ecuación característica o auxiliar es
de la forma
Como se observa la ecuación auxiliar es una
ecuación cuadrática cuyas raíces se las
puede determinar empleando la fórmula general
Por tanto es necesario recordar la solución de
una ecuación cuadrática donde se pueden presentar
tres casos.
1) Primer caso: raíces reales y
diferentes
Discriminante positivo 
Entonces 
son raíces reales y diferentes. En este
caso se dice que existen dos soluciones particulares o
fundamentales
La solución General estaría dada por la
combinación lineal de las soluciones
fundamentales
Ejemplo 1
Resolver la ecuación diferencial 
Solución:
La ecuación característica o auxiliar
es
Al resolver la ecuación auxiliar se
tiene
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente
independientes, la solución general es
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 
para 
Solución
La ecuación auxiliar es
Resolviendo la ecuación anterior
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente
independientes, la solución general es
Remplazando la primera condición 
en la solución
general
Para remplazar la segunda condición 
se deriva la solución
general
Remplazando
Resolviendo el sistema
Remplazando los valores encontrados en la
solución general, se obtiene la solución
particular
Graficando la solución particular se
tiene
2) Segundo Caso: Soluciones reales e
iguales
Discriminante cero 
Entonces son raíces reales e iguales. En este
caso la solución general es
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial 
Solución:
La ecuación característica o auxiliar es
Al resolver la ecuación auxiliar se
tiene
Luego la solución general es
3) Tercer caso: raíces
complejas
Discriminante negativo 
Entonces 
son raíces complejas
conjugadas.
Remplazando en tenemos:
Multiplicación de igual base
Factor Común
Como 
y
Remplazando
Operando
Factorando
Como 
y
Finalmente se obtiene la solución
general
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación diferencial 
Solución:
La ecuación característica o auxiliar es
Resolviendo la ecuación auxiliar
Como
La solución general es
Graficando para un valor arbitrario de 
se tiene
Ejemplo 2
Solución:
La ecuación auxiliar es 
Resolviendo la ecuación auxiliar
Remplazando en
Remplazando la primera condición en la solución
general
Para remplazar la segunda condición 
se deriva la solución
general
Remplazando en la solución general
3) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES
Una ecuación diferencial de segundo orden con
coeficientes constantes y término F(x) variable es de la
forma
La solución general es una combinación
lineal de dos tipos de soluciones, una solución
complementaria 
y
una solución particular 
La solución complementaria satisface la ecuación
homogénea
Esta ecuación se la puede resolver empleando los
procesos antes mencionados para la ecuación
homogénea de coeficientes constantes
La solución particular satisface la ecuación no
homogénea
Esta ecuación se la puede determinar empleando el
llamado método de los coeficientes
indeterminados.
En estas condiciones, de acuerdo a la forma de 
la solución
particular tiene
los siguientes casos
1) Si 
entonces,
Ejemplos:
Si 
entonces,
Si 
entonces,
2) Si 
entonces,
Ejemplos:
Si 
entonces,
Si 
entonces,
Si 
entonces,
3) Si 
,
entonces
Ejemplos:
Si 
,
entonces,
Si 
,
entonces,
Si 
,
entonces,
Si 
entonces,
Ejemplos ilustrativos
Ejemplo 1
Hallar la solución general de 
Solución:
La solución general es de la forma
a) Resolviendo
La solución complementaria debe satisfacer la
ecuación homogénea, es decir,
La ecuación auxiliar es 
Resolviendo la ecuación auxiliar
Remplazando en
b) Resolviendo
Como entonces
La solución particular debe satisfacer la
ecuación no homogénea, es decir,
Calculando la primera y segunda derivada para
Remplazando en
Eliminando paréntesis
Agrupando
Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes
deben ser iguales, entonces
Resolviendo el sistema. Despejando de la primera
ecuación 
Remplazando el valor de A en la segunda ecuación
Remplazando valores en la tercera ecuación
Por lo tanto al remplazar en se tiene
Finalmente la solución general es
Ejemplo 2
Hallar la solución general de
Solución:
La solución general es de la forma
a) Resolviendo
La solución complementaria debe satisfacer la
ecuación homogénea, es decir,
La ecuación auxiliar es 
Resolviendo la ecuación auxiliar
Luego las soluciones particulares son
Además, como estas dos soluciones son linealmente
independientes, la solución general es
b) Resolviendo
Como 
entonces 
La solución particular debe satisfacer la
ecuación no homogénea, es decir,
Calculando la primera y segunda derivada para
Remplazando en
Igualando los coeficientes se tiene
Resolviendo el sistema
Remplazando los valores encontrados en
Finalmente la solución general es
