Introducción a las ecuaciones diferenciales. Teoría y ejemplos resueltos

Introducción

1.1) DEFINICIÓN

Una ecuación diferencial es una ecuación
que involucra derivadas (o diferenciales) de una función
desconocida de una o más variables. Si la función
desconocida depende sólo de una variable, la
ecuación se llama una ecuación diferencial
ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida
depende de más de una variable la ecuación se llama
una ecuación diferencial parcial.

Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria
es:

La variable independiente (v. i) es x

La variable dependiente (v. d) es y

Un ejemplo de ecuación diferencial parcial
es:

La variable independiente (v. i) es "x" y "y"

La variable dependiente (v. d) es V

1.2) ORDEN DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL

El orden de una ecuación diferencial está
dado por el orden mayor de su derivada.

Ejemplo

1.3) GRADO DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL

El grado de una ecuación diferencial está
dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

Ejemplos

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones
diferenciales ordinarias.

Solución
de una ecuación diferencial

Una función que cuando se remplaza en la
ecuación diferencial da una igualdad, se llama una
solución de la ecuación diferencial, por lo tanto,
resolver una ecuación diferencial es encontrar una
función desconocida que al ser sustituida en la
ecuación diferencial se obtiene una igualdad.

2.1) FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL

Es una expresión equivalente a la ecuación
diferencial que carece de derivadas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

La expresión es una "función primitiva" de
la ecuación diferencial.

Verificación

Observación: Al derivar la función
primitiva se reproduce exactamente la ecuación
diferencial.

2.2) PROBLEMA DE VALOR INICIAL

Un problema de valor inicial es un problema que busca
determinar una solución a una ecuación diferencia
sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus
derivadas especificadas en un valor de la variable independiente.
Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.

Un problema de valor de frontera es un problema que
busca determinar una solución a una ecuación
diferencia sujeta a condiciones sobre la función
desconocida especificadas en dos o más valores de la
variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones
de frontera.

Ejemplo ilustrativo

Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en
cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la
ecuación de la curva si ésta pasa por el punto
(2,5)

Solución:

2.3) DESCRIPCIÓN DE UNA FAMILIA DE
CURVAS

Ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden

3.1) ECUACIONES CON VARIABLES
SEPARABLES

Encuentre la solución general de la
ecuación diferencial.

Resolución.

Soluciones Particulares

Graficando en Graph

Comprobación

3.2) ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Es homogénea si no contiene términos que
dependen únicamente de su variable independiente, en caso
contrario es No Homogénea.

Ejemplos:

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación:

Resolución:

En una ecuación diferencial homogénea se
realiza el cambio

Integrando

Graficando para un valor arbitrario C = 1

3.3) ECUACIONES EXACTAS

Resolver la ecuación

Resolución

Para que la ecuación diferencial sea
exacta debe cumplir la condición

Como cumple la condición se trata de
una ecuación diferencial exacta

Se Iguala las dos derivadas con respecto a
y.

Graficando la solución de la
ecuación diferencial para C = 1

3.4) ECUACIONES CON FACTORES
INTEGRANTES

Una vez obtenida la nueva expresión se puede
resolver la ecuación mediante los procedimientos para
ecuaciones diferenciales exactas

Para obtener los factores de integración se
pueden emplear las siguientes reglas:

Ejemplo ilustrativo: Resolver la siguiente
ecuación diferencial

Solución

Se debe verificar si la ecuación diferencial es
exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales
exactas son:

Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales,
la ecuación diferencial no es exacta.

Como la diferencias entre las 2 derivadas cruzadas
dividida para N es una función de "x" se
aplica:

Multiplicando la ecuación diferencial por el
factor de integración "x" se tiene una ecuación
diferencial equivalente

Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la
nueva ecuación diferencial es exacta.

Como la nueva ecuación diferencial es exacta se
procede a resolverla como en casos anteriores. Esta
solución queda como tarea para el lector.

3.5) ECUACIONES LINEALES

Resolver las siguientes ecuaciones lineales

Solución

Es una ecuación lineal en "y"

Como la solución es

Graficando para un valor arbitrario de C = 1

Es una ecuación lineal en "x"

Como la solución es

Propiedad conmutativa en los exponentes

Graficando para un valor arbitrario de C = 1

Ecuaciones
diferenciales de segundo orden

Una ecuación diferencial de segundo orden es de
la forma

4.1) LA SOLUCIÓN GENERAL COMO
COMBINACIÓN LINEAL DE SOLUCIONES LINEALMENTE
INDEPENDIENTES

Definición de independencia
lineal

Ejemplos:

Proceso de solución

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

Que son las soluciones particulares de la
ecuación diferencial

Además, como estas dos soluciones
son linealmente independientes la solución general
es

Para comprobar la respuesta, se deriva la
función, para lo cual en GeoGebra

a) Al escribir Derivada en Entrada se despliega algunas
opciones.

b) Se escoge la opción
Derivada[(Función)]

c) Escribir f(x)

d) Enter. Clic en la círculo de g(x)
para que se borre la gráfica de g(x).

Para calcular la segunda derivada de f(x),
se deriva g(x) y se obtiene

Como se quería comprobar

4.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes es de la
forma:

Como se observa la ecuación auxiliar es una
ecuación cuadrática cuyas raíces se las
puede determinar empleando la fórmula general

Por tanto es necesario recordar la solución de
una ecuación cuadrática donde se pueden presentar
tres casos.

1) Primer caso: raíces reales y
diferentes

Ejemplo 1

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

Ejemplo 2

Resolver la ecuación

Solución

Además, como estas dos soluciones son linealmente
independientes, la solución general es

Resolviendo el sistema

Remplazando los valores encontrados en la
solución general, se obtiene la solución
particular

Graficando la solución particular se
tiene

2) Segundo Caso: Soluciones reales e
iguales

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

3) Tercer caso: raíces
complejas

Ejemplo:

Resolver la ecuación diferencial

Solución:

4.3) ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial de segundo orden con
coeficientes constantes y término F(x) variable es de la
forma

Esta ecuación se la puede resolver empleando los
procesos antes mencionados para la ecuación
homogénea de coeficientes constantes

Esta ecuación se la puede determinar empleando el
llamado método de los coeficientes
indeterminados.

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos:

Ejemplos ilustrativos

Hallar la solución general de

Solución:

Resolviendo la ecuación auxiliar

La solución particular debe satisfacer la
ecuación no homogénea, es decir,

Como los dos polinomios son iguales, sus coeficientes
deben ser iguales, entonces

Ecuaciones
diferenciales de orden superior

5.1) ECUACIONES LINEALES DE ORDEN N

Una ecuación diferencial de orden superior que
tiene la forma:

Principio de Superposición o
linealidad

También es solución de dicha
ecuación diferencial

Dependencia e Independencia
lineal

En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes
no es nula, las funciones son linealmente
dependientes.

Wronskiano

Es una función, cuyo nombre se debe al
matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente
importante en el estudio de las ecuaciones
diferenciales.

Uno de los usos más importantes del Wronskiano en
las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de
soluciones es linealmente independiente o no.

Ejemplo ilustrativo

5.2) ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON
COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación diferencial homogénea de
orden superior tiene la forma:

Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin
embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la
resolución de las mismas.

1) Primer Caso: Múltiples raíces
diferentes

2) Segundo Caso: Múltiples raíces
iguales

3) Tercer Caso: Múltiples raíces
iguales

Si todas las raíces de la ecuación
diferencial homogénea son conjugadas complejas, es
decir,

Ejemplos ilustrativos

2) Comprobar que

Solución

Remplazando valores en

Como se quería comprobar

3) Encontrar la ecuación diferencial cuya
solución es:

Solución:

Se observa que

Entonces

5.3) ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES

Una ecuación diferencial de orden superior que
tiene la forma:

Esta ecuación se la puede resolver empleando los
procesos antes mencionados para la ecuación
homogénea de coeficientes constantes

Ejemplos

Casos especiales tomando en cuenta las raíces
de la ecuación auxiliar

Ejemplos ilustrativos

Casos especiales tomando en cuenta la
multiplicidad

Ejemplos ilustrativos

Se debe vericar la multiplicidad en forma
individual

Notas:

Una vez obtenida la complementaria y la ecuación
particular se procede a resolver como en casos
anteriores.

Próximamente se publicará las respectivas
de tareas de cada uno de los temas.

Se recomienda visitar las siguientes direcciones en
donde se encontrará artículos sobre
Aritmética, Álgebra, Geometría,
Probabilidades, Estadística Descriptiva,
Estadística Inferencial y planificaciones por
módulos curriculares

http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/24

http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias

http://es.scribd.com/mariosuarezibujes

https://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591

http://articulosmatematica.blogspot.com

Cordialmente

Autor:

Mgs. Mario Suárez