MATEMATICAS FINANCIERAS Valor tiempo del dinero
Supongamos que estamos en un mundo donde no existe
inflación y se nos plantea la posibilidad de elegir $ 100
hoy o $ 100 mañana ¿Qué preferimos? La
respuesta $ 100 hoy, ya que existe un interés que puede
ser ganado sobre esos $ 100, es decir depositar eso en el un
banco y al cabo de un año recibir los 100 más un
interés. Supongamos la tasa es del 10%. Dos alternativas:
Guardar los 100 en una caja fuerte al cabo de 1 año tengo
los mismos 100. Depositar los 100 al cabo de un año tengo
110.
MATEMATICAS FINANCIERAS Costo de Oportunidad
Representa el máximo beneficio que se puede obtener con el
recurso colocado en la mejor alternativa. Todo recurso
económico tiene un costo de oportunidad (tiempo,
propiedades, dinero, etc.) Mejor uso alternativo depende de las
personas. Para ilustrar el concepto, supongamos un inversionista
que tiene 2 MM$ y le ofrecen las siguientes proyectos de
inversión de un año de duración: Proyecto
Inversión (MM$) Rentabilidad en un año (%) 1 1,0 25
2 1,5 20 3 0,5 15 4 2,0 12 5 3,0 9 6 1,2 6 7 0,8
3
MATEMATICAS FINANCIERAS Inversionista elegirá
realizar proyectos 1,2 y 3 Si existe mercado capitales en que se
puede pedir y pedir prestado a una tasa 8%, entonces: Pide
prestado mm$5 pagando 8% interés y realiza proyectos 4 y
5. Esto permite pagar intereses y generar ganancia neta de
mm$0.11 ¿Le conviene pedir prestado para realizar proyecto
6? Costo de oportunidad depende de la existencia de
imperfecciones, por ejemplo: Tasa captación y
colocación. El costo de oportunidad del dinero nos lleva a
otro concepto llamado Valor Futuro. Este nos indica que si se
posee una cantidad de dinero VP en el presente, existirá
una cantidad en el futuro VF tal que un inversionista
estará indiferente entre recibir VP hoy o VF
mañana.
MATEMATICAS FINANCIERAS Valor tiempo del dinero
Valor Futuro: Es el valor alcanzado por un capital o principal al
final del período analizado. Interés: Es el
rendimiento o costo de un capital colocado o prestado a un tiempo
determinado. Habitualmente el costo de oportunidad del dinero se
expresa como una tasa de interés. Si definimos: r = tasa
de interés P = Monto invertido Invierto Po hoy Al cabo de
un año obtengo: P1 = Po + r * Po = Po (1+r) Qué
pasa si esto lo queremos invertir a más de un
período?
MATEMATICAS FINANCIERAS Interés simple
Interés simple: Es el interés que se paga (o gana)
sólo sobre la cantidad original que se invierte. De otra
forma es aquel que no considera reinversión de los
intereses ganados en períodos intermedios. Supongamos que
Po = $100 y r = 10% P1 = Po + r * Po = 110 P2 = P1 + r * Po
Observemos que sólo calculamos intereses sobre el
principal. P2 = Po + r * Po + r * Po = Po + 2 * r * Po = 120 Para
n períodos: Pn = Po + n * r * Po ==> Pn = Po * (1 + n *
r)
MATEMATICAS FINANCIERAS Capitalización:
Supongamos un individuo concede un préstamo de $1. Al
final del primer año, al individuo le deberán: Si
r=9% $1 x (1+r) =$1 x 1.09 = $1.09. No obstante, al final del
año, el individuo tiene dos alternativas: retirar $1.09 o
bien reinvertirlos durante un segundo año. La
capitalización es el proceso de reinversión de
dinero durante otro año en el mercado de capitales. $1 x
(1+r) x (1+r) =$1 x (1+r)2 = 1+ 2r + r2 En nuestro caso:
$1x(1.09)x(1.09)=$1 x (1.09)2 = $1 +$0.18 +$0.0081 =
$1.1881
MATEMATICAS FINANCIERAS Después de tres
años el efectivo será de $1 x (1.09)3 = $1.2950 Lo
importante es que la cantidad total a recibir NO es lo prestado
más el interés de dos años, en este caso: 2
x r = 2 x $0.09 = $0.018 Sino que también se recibe la
cantidad r2, que es la tasa del segundo año sobre el
interés del primer año. El término 2r
representa el interés simple de los dos años, y el
término r2 se conoce como el interés sobre
intereses. Cada pago de intereses se reinvierte cuando se
invierte en efectivo con interés
compuesto.
MATEMATICAS FINANCIERAS Interés Compuesto
Interés Compuesto: Significa que el interés ganado
sobre el capital invertido se añade al principal. Se gana
interés sobre el interés. De otra forma se asume
reinversión de los intereses obtenidos en periodos
intermedios. Supongamos que Po = $100 y r = 10% P1 = Po + r * Po
= 110 P2 = P1 + r * P1 Observemos ahora calculamos intereses
sobre todo el capital. P2 = Po + r * Po + r * Po + r ^2 * Po =
121 Para n períodos: Pn = Pn-1 + r * Pn-1 ==> Pn = Po *
(1 + r)^n
MATEMATICAS FINANCIERAS Interés Simple vs
Interés compuesto Veamos que se obtiene para un
período más largo y diferentes tasas de
interés. Po = 100, r = 10% y n = 40 años:
Interés Simple ==> Pn = $ 500 Interés Compuesto
==> Pn = $ 4.525,93 (9,05 veces) Po = 100, r = 5% y n = 40
años: Interés Simple ==> Pn = $ 300
Interés Compuesto ==> Pn = $ 704 (2,35 veces) Po = 100,
r = 15% y n = 40 años: Interés Simple ==> Pn = $
700 Interés Compuesto ==> Pn = $ 26.786,35 (28,27
veces)
MATEMATICAS FINANCIERAS ¿Qué pasa si
el período de capitalización ocurre más de
una vez al año? Por ejemplo, consideremos que un banco
paga una tasa de interés del 10% “capitalizable
semestralmente”. Esto significa que un depósito de
$1,000 en el banco valdría: Después de seis meses:
$1,000 x 1.05 = $1,050, Y luego de seis meses más: $1,050
x 1.05 = $1,102.5 Después de un año la riqueza
podría expresarse como: $1,000 x (1 + 0.1/2)2 = $1,000 x
(1.05)2 = $1,102.5 Notemos que el valor futuro al cabo de un
año es mayor con capitalización semestral que
anual.
MATEMATICAS FINANCIERAS Más generalmente,
capitalizar una inversión m veces al año
proporciona al final del período una riqueza de : Co (1 +
r/m)m donde Co es la inversión inicial y r es la tasa de
interés nominal anual. Ejemplo: ¿Cuál es la
riqueza al final del año t si un individuo recibe una tasa
de interés del 24% capitalizable mensualmente sobre un
dólar? Usando la fórmula anterior: $1 x (1+
0.24/12)12 = $1 x (1.02)12 = $1.2682
MATEMATICAS FINANCIERAS Notemos que la tasa de
rentabilidad es del 26.82%. Esta tasa anual de rentabilidad se
llama tasa de interés efectiva, la cual debido a la
capitalización es mayor que la tasa de interés
nominal. Tasa de interés efectiva: (1 + r/m)m -1 Tasa
interés Nominal versus Efectiva Co=$1,000 r=10% Frecuencia
C1 Tasa efectiva Anual $1,100.00 10% Semestral $1,102.50 10.25%
Trimestral $1,103.81 10.381% Diaria $1,105.16
10.516%
MATEMATICAS FINANCIERAS Consideraciones La
diferencia en el corto plazo es muy poca por lo que existe la
convención que en el corto plazo (menos de un año)
se utiliza la tasa de interés simple. En el largo plazo ya
vimos que las diferencias son grandes por lo que existe la
convención de utilizar la tasa de interés
compuesto. Valor Futuro con capitalización: VF = Co ( 1 +
r/m ) mT Interés Continuo Si los mismos conceptos
anteriores los utilizamos pero esta vez se asume que la
acumulación de intereses es continua en el tiempo
obtenemos: Pn = Po * EXP ( r * n)
MATEMATICAS FINANCIERAS Valor Actual:
¿Cuánto dinero debo invertir hoy en el banco para
tener $110 al año siguiente, si la tasa de interés
es del 10%? Podemos expresar esto algebraicamente: VA x 1.10 =
$110 VA = $110 / 1.10 O más generalmente: VA = C1 / (1+r)
Tasa r es la recompensa que el inversionista exige por la
aceptación de un pago aplazado (Tasa de descuento o Costo
de Oportunidad) ¿Qué pasa si hay más de un
período? VA = C1 / (1+r) + C2 / (1+r)2 + C3 / (1+r)3…+
Cn / (1+r)n
MATEMATICAS FINANCIERAS Distintos Perfiles de Flujo
de Caja Renta Perpetua: sucesión cte e infinita de flujos
de caja. VA = C/(1+r) + C/(1+r)2 + C/(1+r)3+ …. VA= C/r
Renta Perpetua Creciente: VA = C/(1+r) + C(1+g)/(1+r)2 +
C(1+g)2/(1+r)3+ ……. VA = C / (r-g)
T=8
MATEMATICAS FINANCIERAS Consideraciones: 1.- El
numerador: es el flujo de caja un período después,
no en la fecha 0. 2.- La tasa de interés y a tasa de
crecimiento: r>g 3.- Supuesto de temporización: supone
que flujos de caja se reciben y desembolsan en puntos de tiempo
regulares y discontínuos. Anualidad: sucesión
nivelada de pagos que dura un número fijo de año.
VA = C/(1+r) + C/(1+r)2 + C/(1+r)3+ …….
C/(1+r)T
MATEMATICAS FINANCIERAS Ejemplo: Charle Harris acaba
de ganar la lotería estatal, recibiendo $50,000 al
año durante 20 años. Recibirá su primer pago
un año después. La Lotería declara que estas
cuentas son la Lotería del Millón de dólares
porque $1,000,000 = $50,000 x 20 años. ¿Cuál
es el verdadero valor de la lotería si la tasa de
interés es del 8%? VA = $50,000 x [ 1/0.08 –
1/0.08(1.08)20] VA = $50,000 x 9.8181 = pago periódico x
factor de la anualidad VA = $490,905 Anualidad
Creciente:
MATEMATICAS FINANCIERAS Inflación La
inflación es el aumento sostenido y generalizado del nivel
de precios. Que las papas suban un 10% significa necesariamente
que hubo inflación? La respuesta es no ya que la
inflación se mide a través de indices IPC en chile
que mide la evolución de los precios de una canasta
promedio de bienes y servicios. Por lo tanto la variación
del IPC no significa que todos los bienes y servicios de esta
canasta varíe en el mismo porcentaje. Por otro lado el IPC
no es el precio de la canasta.
MATEMATICAS FINANCIERAS Inflación y poder
adquisitivo del dinero Si existe inflación los pesos de
hoy no comprarán las mismas cosas que en un año
más. $ 1000/ Po = Cantidad física = Xo $ 1000/P1 =
Cantidad física = X1 Xo > X1 Esos $ 1000 nominalmente
son iguales, en términos reales no lo son. No tienen el
mismo poder adquisitivo
MATEMATICAS FINANCIERAS Flujos reales vs Flujos
Nominales Es importante considerar la inflación cuando
deseamos comparar flujos de dinero. Por ejemplo $ 1000 en
diciembre de 1990 representaban más poder adquisitivo que
$ 1500 en diciembre de 1997, si el IPC de diciembre de 1990 era
120 y el de diciembre de 1997 de 192. Así para comparar
dos flujos en dinero de diferente poder adquisitivo es necesario
ajustar la moneda para llevarla al mismo poder adquisitivo. A
este ajuste se llama comparar en “moneda
homogénea” o en “moneda
dura”
MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés real
Una tasa de interés real es aquella que denota un aumento
del poder adquisitivo. Esto es, conservando el poder adquisitivo
del dinero, existe un incremento en el monto a pagar ( o cobrar).
El ejemplo clásico es el de las tasas en UF + X% o tasas
reflejadas como IPC + X%. Esto significa que al cabo de una
año el dinero debiera tener el mismo poder adquisitivo que
el dinero que invertí.
MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés
nominal Una tasa de interés nominal es aquella que denota
un crecimiento en el monto de dinero, sin ajustar por
inflación. Así la tasa de interés nominal no
necesariamente significa un incremento en el poder adquisitivo El
ejemplo típico son los depósitos a 30 días
de los bancos o los créditos en pesos. Si uno toma una
deuda por $ 1000 al 15% de interés anual en una año
debiera recibir $ 1.150 Significa esto que estoy pagando
más riqueza al cabo de un año?
MATEMATICAS FINANCIERAS Tasa de interés real
v/s nominal En equilibrio el banco debiera ser indiferente entre
prestar a tasas reales o nominales, siempre y cuando las tasas
nominales incluyan las expectativas de inflación.
Así surge la teoría de Fisher: “ Un cambio en
la tasa esperada de inflación da lugar al mismo cambio en
la tasa de interés nominal” Por lo cual se obtiene
la siguiente ecuacíon: (1 + i) = (1 + r) * (1 +
Inflación) donde: i = tasa de interés nominal r =
tasa de interés real
Valor Actual Neto ¿Qué valor debiera
asumir a ? La tasa alternativa de retorno es la máxima
entre: La tasa de interés que ofrece el mercado de
capitales en instrumentos de renta fija, cuentas de ahorro,
depósitos a plazo, bonos; La tasa de retorno a obtener en
la compra de acciones de otras empresas; y La tasa de retorno que
se obtendría al enviar los fondos a una actividad dentro
de la empresa y que permite expansión o aumento de
escala.
Valor Actual Neto Determinar la tasa alternativa de
retorno es ciertamente difícil, por lo que en la
práctica se define una tasa mínima atractiva para
la aceptación de proyectos. Para la determinación
de a se debe tener presente: Debe reflejar el costo de
oportunidad de mi activo; Es poco apropiada denominarla
“tasa de interés” porque pocas veces a
coincide con la tasa de interés del mercado de capitales;
En la práctica se supone que la tasa de
actualización es constante, pero no existe problema para
considerarla variable en función del tiempo; ? es
independiente de la forma de financiar un proyecto, el
financiamiento afecta el flujo de costos e ingresos de la
inversión, pero no a la tasa de retorno.