Resumen
La comprensión de un universo abstracto y
relativo se torna habitualmente complicada. Basamos este
artículo en la búsqueda de un método que
estuviera a la altura de los estudiantes de pre-universitario; un
método que les permita llegar al entendimiento
lógico-matemático de la cuestión que se
aborda.
Se trabajó principalmente en la confección
de un método físico-lógico que conduce al
estudiante a la obtención de las ecuaciones que le
serán de ayuda para la comprensión
matemática de la elasticidad espacio – tiempo.
Al final del estudio se obtuvieron dos ecuaciones para calcular
dicha elasticidad; ecuaciones sumamente interesantes que se
derivan del análisis de un problema teórico que
surge de una supuesta situación de la vida
cotidiana.
Palabras clave: Elasticidad, espacio, tiempo,
relatividad, física, lógica.
Introducción
Un cohete viaja rectilíneamente a
una velocidad de 200"000 km/s y recorre un espacio de 10"000"000
km. ¿Cuánto demora el cohete en llegar a su
destino?
Donde:
v = velocidad
s = espacio
t = tiempo
Despejando la ecuación anterior
obtenemos:
t = 50 segundos
Podemos afirmar entonces que el cohete recorre dicho
espacio en 50 segundos exactamente.
Resultó que el cohete despegó exactamente
a las 9:00:00 AM, y manteniendo dicha velocidad constante, desde
su partida hasta su destino, las mediciones efectuadas desde la
tierra afirmaron la veracidad de nuestros cálculos; el
cohete llegó a su destino a la 9:00:50 AM. El problema
surge cuando los relojes de la nave y del conductor afirmaban la
llegada a las 9:00:37 AM, es decir, 13 segundos antes que el
resultado obtenido anteriormente.
¿Existirá algún problema en la
medición?
Debemos tener en cuenta que nuestros cálculos
afirman que dicho cohete mantiene una velocidad de 200"000 km/s
desde que parte. Esto es imposible, debido a que aunque la
tecnología estuviera lo suficientemente desarrollada para
alcanzar tal velocidad, sería absurdo pensar que un cuerpo
pudiera alcanzarla en un instante tan pequeño que llegara
a ser insignificante matemáticamente. En nuestro problema
despreciamos el tiempo que el cohete debiera invertir en alcanzar
dicha velocidad, y comprenderemos el hecho teniendo en cuenta que
tanto en los cálculos, como en las supuestas mediciones,
el cohete parte a dicha velocidad (200"000 km/s).
En la vida cotidiana, no interactuamos con velocidades
tan elevadas y la elasticidad espacio – tiempo es
imperceptible. La cuestión radica en que los relojes en
movimiento se atrasan con respecto a los relojes que se
encuentran en reposo. Cuando nos referimos a los relojes,
hablamos del tiempo en sí, del tiempo transcurrido, y
despreciamos las inexactitudes que puedan tener por cualquier
razón.
¿Cómo entender tal
fenómeno?
Desarrollo
Supongamos que un tren viaja a una velocidad cercana a
la de la luz. Uno de los pasajeros sentados en el interior del
tren proyecta una luz desde el suelo del tren, hasta un espejo
que se encuentra en el techo del mismo. La luz viaja formando una
línea recta desde el suelo hasta el techo, y desde el
techo hasta el suelo, debido al espejo antes mencionado (Fig. 1).
Los que observen al tren desde el andén, no verán
el recorrido de la luz de la misma forma que lo observa el
pasajero que realiza la proyección (Fig. 2).
Se puede ver claramente como los rayos de
luz se desplazan desde el punto de vista de los observadores del
andén. Es lógico además, pensar que la
distancia que recorre la luz no es igual en ambos casos. Para los
observadores del andén, la luz recorrió un espacio
mayor y tardó un tiempo mayor en recorrer dicho
espacio.
Analizando en triángulo formado en la Figura 3,
podemos observar que AC representa la distancia recorrida por el
tren en un intervalo. BD representa la altura del tren y la
distancia recorrida por la luz desde el punto de vista del
pasajero.
Para comprender de una forma más sencilla, vamos
a darle a nuestro problema valores arbitrarios.
Supongamos que los observadores del andén
establecieron que entre el envío y el regreso del rayo de
luz trascurrieron 10 segundos. Siendo la velocidad de la luz
300"000 km/s, es fácil determinar que la distancia de los
segmentos AB + BC se puede calcular de la siguiente forma:
300"000 km/s x 10 segundos = 3"000"000 km. Siendo el
triángulo ABC un triangulo isósceles AB = 1"500"000
km y BC = 1"500"000 km. Podemos determinar la distancia del
segmento AC pues conocemos que ese lado representa la distancia
que recorrió el tren en 10 segundos. Moviéndose
este a una velocidad de 240"000 km/s, la distancia del segmento
AC se calcula: 10 segundos x 240"000 km/s = 2"400"000 km. La
altura del tren la podemos determinar por el teorema de
Pitágoras.
La altura del tren equivale a BD, y es extremadamente
grande. Podríamos usar un tiempo de intervalo mucho
más pequeño para reducir la altura BD hasta
igualarla a la de un tren común, pero el resultado
sería un número tan pequeño, que
dificultaría los cálculos.
Representemos gráficamente los resultados
obtenidos hasta el momento:
Calculemos entonces, el tiempo que transcurre para el
observador del andén entre la ida y el regreso del rayo de
luz (por el reflejo del espejo), tal como se muestra en la figura
5.
(1"500"000 km x 2) / 300"000 km/s = Tiempo en que
transcurre para el observador del andén.
= 10 segundos
Podemos calcular el tiempo que demora el rayo de luz en
ir y regresar —acordarse del espejo— desde el punto
de vista del pasajero que se encuentra dentro del vagón,
tal como se muestra en la figura 3 y 2.
(900"000 km x 2) / 300"000 km/s = Tiempo en que la luz
recorre dicha distancia.
= 6 segundos
Conclusiones
Podemos afirmar entonces que para el pasajero del tren
transcurrió menos tiempo que para el observador del
andén. Hay que aclarar que esto no se trata de un
fenómeno óptico engañoso, ni de una mala
interpretación de la proyección de la luz. Es el
fenómeno óptico, y los resultados que este muestra,
lo que justifica el hecho. El pasajero que se encontraba en el
vagón "observó" la ida y la vuelta del rayo de luz
en solo 6 segundos, mientras que para el pasajero del
andén esta tardó 10 segundos.
Cabe ahora deducir otra conclusión lógica:
Si para el viajero transcurrieron 6 segundos y para el observador
10, ¿recorrió el tren en ambos casos la misma
distancia?
La velocidad del tren nunca varió durante el
recorrido, por lo tanto, para el observador del andén, el
tren recorrió una distancia de 2"400"000 km. Para el
viajero, el tren recorrió solamente 1"440"000 km. La
distancia se redujo proporcionalmente respecto al
tiempo.
Los pasajeros afirman que el andén se redujo,
mientras que los observadores afirman que el tren se redujo. Lo
mismo, indicarán todos los instrumentos que puedan usarse
para realizar esta medición. Cualquier cuerpo que se
encuentre en movimiento se reduce en la dirección del
movimiento.
Cualquier observador inmóvil, respecto a su
reloj, verá que se adelantan los relojes que se desplazan
respecto a él, y que esta condición aumenta, a
medida que aumente la velocidad con que se mueven.
Mientras más se acerque la velocidad del tren a
la velocidad de la luz, más considerable será la
diferencia entre dichos relojes.
La contracción de Lorentz es un efecto
relativista, que consiste en la contracción del
tamaño de un cuerpo a medida que su velocidad se acerca a
la velocidad de la luz, esto explica el fenómeno que
acabamos de analizar.
Podemos resumir lo visto y llegar a un grupo de
conclusiones lógicas:
1. El tiempo para todos los observadores de un
fenómeno deja de ser el mismo, es decir, se vuelve
relativo.2. Si tenemos dos observadores haciendo una
medición de tiempo; uno inmóvil, y otro que se
mueve a velocidades relativistas, los dos relojes no
tendrán los mismos resultados.3. Si el tiempo varía a velocidades
relativistas, el espacio también lo hace.4. Cualquier cuerpo que se encuentre en
movimiento se reduce en la dirección del
movimiento.5. Aunque en la vida cotidiana se pone de
manifiesto este fenómeno, no tiene mucho sentido su
análisis pues las diferencias son extremadamente
pequeñas.6. El tiempo y el espacio no son absolutos, son
relativos.
Ahora estamos listos para deducir una ecuación
que nos facilite el trabajo.
Observando la Figura 8, podemos llegar a la
conclusión lógica: mediante ella, podremos deducir
dicha ecuación. Usando la misma, pudimos resolver el
ejemplo del tren. Ahora tenemos una figura igual a la 5, solo que
en vez de los datos del problema, usaremos variables.
Analicemos primero:
y = espacio recorrido por el tren en un intervalo
de tiempo, o intervalo de tiempo en el que el tren
recorrió un espacio determinado.
2x = tiempo que demora el rayo de luz en "viajar"
el espacio BC + AB (punto de vista del observador del
andén) o suma de las hipotenusas BC y AB.
z = tiempo que demora el rayo de luz en "viajar"
desde el suelo al techo (espejo), y desde el techo al suelo, o
espacio recorrido por la luz en dicho intervalo (dos veces la
altura del tren).
Si agrandáramos el triángulo de la Figura
8 lo suficiente, podríamos lograr que dicha
representación pudiera explicar todo el recorrido del tren
y no un intervalo de este recorrido. Primeramente deduciremos la
ecuación que nos permitirá como espectadores
inmóviles de un fenómeno, entender dicho
fenómeno desde el punto de vista de un viajero.
2x = tiempo que demora el tren en llegar desde un
punto a otro (desde nuestro punto de vista como espectadores
inmóviles).
y = espacio que recorre el tren en dicho tiempo a
una velocidad (v) dada.
z = nuestra incógnita = representa el
tiempo que demora el tren en llegar desde un punto a otro (desde
el punto de vista viajero). Acordémonos de lo visto
anteriormente.
Podemos calcular z fácilmente usando
Pitágoras.
Cualquiera de los dos triángulos
rectángulos nos servirá, pues ambos iguales.
Usaremos el triángulo ABD.
AB2 = BD2 + AD2
AB = hipotenusa
BD = cateto 1
AD = cateto 2
c = velocidad de la luz = 300"000 km/s
v = velocidad del objeto.
1. Si multiplicamos el tiempo que demora el
recorrido del objeto – según nuestra medición-
por la velocidad de la luz, obtendremos la longitud de los
lados AB + BC, que sería igual al espacio que
recorrió la luz. Como los lados AB y BC son iguales,
entonces dividimos entre 2, para obtener AB o BC.
Con esta ecuación obtendremos fácilmente
el lado BD, que representa realmente la altura del tren. Como
conocemos que el tiempo para el viajero es igual al recorrido que
realiza la luz desde el suelo al techo, y desde el techo al suelo
(espejo), es lógico deducir que debemos multiplicar el
lado BD por 2, para obtener la distancia suelo – techo,
techo – suelo. Si dividimos esa distancia entre c, o
sea, entre 300"000 km/s, obtendremos el tiempo en que la luz
recorre dicho espacio, lo que equivale a el tiempo resultante
para el viajero.
La ecuación los quedaría de la siguiente
forma:
Al tener una misma variable repetida, nos veremos en la
tarea de simplificar nuestra ecuación por los
métodos tradicionales; nos queda de la siguiente
forma:
Vamos a sustituir BD por t1.
Donde:
c = 300 000 km/s (constante)
v = velocidad del tren
t = tiempo que demora el recorrido del objeto
según nuestra medición (como espectador
inmóvil).
Esta ecuación es válida cuando se desea
conocer la medición del espectador en movimiento con
respecto a nosotros; siendo nosotros espectadores
inmóviles.
Si deseáramos conocer la medición de un
espectador inmóvil, cuando nosotros somos los que viajamos
a velocidades relativistas, deberíamos tomar como
incógnita entonces el lado AB o el BC, y realizar las
mismas operaciones.
La ecuación sin simplificar quedaría de la
siguiente manera:
Conociendo entonces ambas ecuaciones, resultará
fácil calcular la elasticidad del espacio, multiplicando
los resultados obtenidos mediante estas ecuaciones, por la
velocidad con la que se mueve el objeto. Comparando los valores
podremos notar la diferencia y comprobar la veracidad del
fenómeno.
Conclusiones
La cuestión de la elasticidad tiempo –
espacio resulta mucho más complicada cuando se aprecian
otros factores, o simplemente cuando este fenómeno se basa
en movimientos no rectilíneos uniformes. En estos casos el
análisis matemático se encuentra fuera del alcance
de los estudiantes de pre-universitario. El método
aquí presentado describe los principios de dicho
fenómeno, y abre la brecha del entendimiento de estos
conceptos, y de la concepción de un mundo
relativo.
Bibliografía
Consultada
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Rafael Andrés (2004). Relatividad para todos.
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Gravitation and Cosmology: principles and applications of
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0-471-92567-5.
Autor:
Enrique Marcet
García
Estudiante de Ingeniería
Química
Instituto Superior Politécnico
José Antonio Echeverría. Cuba
Manuel Medell Gago
Estudiante de Ingeniería
Química
Instituto Superior Politécnico
José Antonio Echeverría. Cuba