Es como una manera rápida de
representar un número utilizando una potencia de base
diez. Esta notación se utiliza para expresar muy
fácil mente para números muy grandes o por lo menos
muy pequeños
Los números se escriben como un
producto:
Siendo:
a. Un número real mayor que
1 y menor que 10. Que recibe el nombre de
coeficiencia
n. un numero entero que recibe el nombre de
exponente u orden de magnitud
La notación científica
utiliza un sistema llamado coma flotante, o
de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos
hispanohablantes.
Historia
El primer intento de representar
números demasiado grandes fue emprendido por el
matemático y filósofo griego Arquímedes,
descrito en su obra El contador de Arena en el
siglo Ideó un sistema de representación
numérica para estimar cuántos granos de arena
existían en el universo. El
número estimado por él era de 1063 granos.
Nótese la coincidencia del exponente con el número
de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el
exponente es n-1 donde n es el número de dígitos,
siendo la última casilla la Nº 64 el exponente
sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en
que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63-
granos).
A través de la notación
científica fue concebido el modelo de
representación de los números
reales mediante coma flotante.
Esa idea fue propuesta por Leonardo
Torres Quevedo (1914),Konrad
Zuse (1936) y George
Robert Tibiez (1939).
Escritura
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
106 =
1 000 000107 =
10 000 000108 =
100 000 000109 =
1 000 000 0001010 =
10 000 000 0001020 =
100 000 000 000 000 000 0001030 =
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10 elevado a una potencia entera
negativa –n es igual a 1/10n o,
equivalentemente 0, (n–1
ceros) 1:
10–1 = 1/10 = 0,1
10–2 = 1/100 =
0,0110–3 = 1/1 000 =
0,00110–9 = 1/1 000 000 000 =
0,000 000 001
Por tanto, un número como: 156 234
000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como
1,56234×1029,
Y un número pequeño como
0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de
un electrón)
puede ser escrito como 9,10939×10–31kg.
Operaciones
matemáticas con notación
científica
Suma y resta: Siempre que las potencias de
10 sean las mismas, se deben sumar los
coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la
potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el
mismo exponente, debe convertirse el coeficiente,
multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces
como se necesite para obtener el mismo exponente.
Ejemplos:
2×105 + 3×105 =
5×105
3×105 - 0.2×105 =
2.8×105
2×104 + 3 ×105 - 6
×103 = (tomamos el exponente 5 como
referencia)
= 0,2 × 105 + 3 ×
105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105
Multiplicación: Para multiplicar cantidades
escritas en notación científica se multiplican los
coeficientes y se suman los exponentes.
Ejemplo:
(4×1012)× (2×105)
=8×1017
División: Para dividir cantidades
escritas en notación científica se dividen los
coeficientes y se restan los exponentes.
Ejemplo: (48×10-10)/ (12×10-1)
= 4×10-9
Potenciación: Se eleva el
coeficiente a la potencia y
se multiplican los exponentes.
Ejemplo: (3×106)2 = 9
×1012.
Radicación: Se debe extraer
la raíz del
coeficiente y se divide el exponente por el índice de la
raíz.
Discrepancia de
nomenclatura
A pesar que la notación
científica pretende establecer pautas firmes sobre la
referencia numérica en materia científica, se
presentan discrepancias de lenguaje.
Por ejemplo en Estados
Unidos 109 se denomina
«billón» (billón, en
español). Para los países de habla hispana y en la
mayor parte de los países de Europa,
109 es mil millones o millardo (del
francés millard), en tanto que
el billón es 1012. Llegamos a un caso
práctico donde para los estadounidenses one
billion dollars, para los hispanohablantes
será un millardo de
dólares (poco usado) o mil millones de
dólares (más usado).
Otra particularidad del mundo hispano es
que, aunque el prefijo miria significa
'diez mil' en el Sistema
Métrico Decimal (ejemplo, miriámetro),
esto es, 104 (10 000 unidades), se prefiere el uso
de diez mil, reservándose el
término miríada en
el sentido de 'innumerables' o 'muy numerosos'
(ejemplo, miriápodo).
Logaritmación
Logaritmación es el proceso de
hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener un
número. Veamos un sencillo ejemplo:
a pregunta que debemos hacernos es:
¿A que debemos elevar 2 (la base del logaritmo) para
obtener 8? En este caso, la respuesta sería 2^3=8, es
decir, que lo hemos elevado a 3.
Observamos una serie de elementos,
como:
La base: es el número que
elevado al mismo número nos da el número
totalEl número total: Es el
resultado, en el ejemplo de arriba, sería el
3El número total: Es el
resultado, en el ejemplo de arriba, sería el
3
Identidades básicas:
Es decir, que el logaritmo de un producto
es igual a la suma de logaritmos de ambas partes del
producto.
La división de logaritmos es igual a
la diferencia de logaritmos entre el numerador y el
denominador.
El logaritmo de una potencia es
igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de
la potencia.
Nos damos cuenta que para la
función logarítmica no existen números
negativos, además de que es una función creciente
(al menos cuando su base es mayor que uno).
Ejemplos:
>> Resolver:
**Nota: log10= 1, porque hemos considerado
que ésta está en base 10 (si no nos dicen nada, se
suele tomar esa premisa).
*Nota: Eliminamos ese 10 del denominador,
simplificando, y además, convertimos el 2 en otro
logaritmo, para poder eliminar
de ambos lados de la igualdad los logaritmos y quedarnos con
números solamente.
>>Calcula utilizando solamente
logaritmos el valor de x:
Nota: log493=2.6928 (utilizamos
calculadora).
>>Resuelve:
**Nota: Ahora sustituimos logx por t, es
decir, logx=t
Por tanto, si sustituimos en la
ecuación, es decir, en vez de log x= t ,
tendríamos:
**Pista: Tendremos que buscar cuanto tiene
que valer x para obtener esos resultados.
Así como la suma y multiplicación tienen
como operaciones opuestas la resta y
la división respectivamente,
la potenciación tiene
dos que son la radicación y
la logaritmación.
Definición
Logaritmación es la
operación aritmética donde
dando un número total
y una base de potenciación se tiene que hallar el
exponente al que hay que elevar la base para conseguir el
mencionado total.
Términos
Los términos de la
logaritmación son: la base del logaritmo, el número
total y el exponente o logaritmo.
La base de un logaritmo es el número
que elevado al exponente o logaritmo da el número
total.
Número total es cualquier
número positivo.
El logaritmo es el exponente al que hay que
elevar la base para obtener el total.
Ejemplo: 
donde 10 es la base, 1000 es el total y 3 es el
exponente o logaritmo ya que 
Clase más importantes de
logaritmos
Las clases de logaritmos más
utilizados son los de base 10 y los neperianos.
Los logaritmos de base 10 o vulgares son
aquellos en que la base de potenciación es 10. Fueron
inventados y desarrollados por Henry
Riggs.
Los logaritmos neperianos o naturales son
aquellos que la base potenciación es un número
irracional (e). El número (e)=2,71828182845 y fueron
desarrollados por John
Napier.
Otras definiciones
Si un logaritmo no es exacto tiene una
parte positiva y otra decimal.
Característica es la parte positiva
del logaritmo.
Mantisa es la parte decimal del logaritmo.
Puede haber logaritmos sin mantisa.
Cologaritmo es el logaritmo del inverso de
un número.
Así si tenemos N su inverso es 1/N y
el cologaritmo será 
Representación
Para representar la operación de
logaritmación se escribe la abreviatura Log y como
subíndice la base y después el número total
del que deseamos hallar el logaritmo.
Ejemplo: luego 
Propiedades generales
básicas
|1| Los números negativos no tienen
logaritmo. Es una especie de convenio ya que aparecerían
opuestos de los positivos y algunos negativos no tendrían
logaritmo como 
donde 
y 
según propiedades de la potenciación.
|2| El logaritmo de su base es 1.
Así 
ya
que 
|3| El logaritmo de 1 es cero.
Así 
ya
que 
|4| Si A>0 y A<1
entonces 
es un
logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de
1 es cero, entonces los menores que uno serán negativos al
no poder ser superiores a cero.
|5| Las potencias consecutivas de una base
forma una progresión
geométrica y la de los exponentes es
una progresión
aritmética.
Así las potencias de 2 son
1,2,4,8,16..etc y sus exponentes serán 0,1,2,3,4..etc ya
que 
y
..etc. luego 
y 
etc.
Propiedades básicas de logaritmos
decimales
|1| La característica de un
número comprendido entre 1 y otro menor que 10 es cero. Es
lógico ya que 
y 
entonces los número comprendido entre 1
y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0, que es
su característica.
|2| La característica de los
números superiores o igual a 10 será un
número igual a la cantidad de cifras menos 1 del
mencionado número.
Así 10,20,30 su
característica es 1 y la de 100,150 su
característica es 2…etc.
|3| La característica y mantisa de
los logaritmos superiores a 0 será positiva. Es
lógico ya que los números van de forma ascendente
en relación al valor absoluto.
|4| La característica de los
logaritmos inferiores a 0 será negativa y su mantisa
positiva. Es lógico ya que los números negativos es
mayor el de menor valor absoluto. Así
–2>-6.
Los logaritmos negativos se escriben en
forma decimal con la característica subrayada seguido de
la mantisa. Si un logaritmo negativo lo ponemos
(–C"mantisa) indicaríamos que la mantisa es
negativa; por eso se indica un línea horizontal encima de
la característica, indicando que esta se tiene que restar
y la mantisa sumar.
Propiedades operativas
|1| El logaritmo de un producto es igual a
la suma de los logaritmos de los factores.
DEMOSTRACIÓN: Sea 
donde 
resultando
que 
y 
resultando 
donde 
al tener un producto de potencias de una misma
base.
Entonces 
que son los logaritmos de A y B.
|2| El logaritmo de una división es
igual a la resta de los logaritmos del dividendo menos el
divisor.
DEMOSTRACIÓN: Sea 
donde resultando
que y resultandodonde 
al tener un cociente de potencias de una misma
base. Entonces 
que son los logaritmos de A y B.
|3| El logaritmo de una potencia es igual
al logaritmo de la base por el exponente.
DEMOSTRACIÓN: Sea 
donde
etc. N veces) como
etc. N
veces) que es el logaritmo de un producto y según
el apartado 1 será igual a la suma de los logaritmos de A
tantas veces como unidades tiene N, resultado que 
|4| El logaritmo de una raíz es
igual al logaritmo del radicando dividido por el índice
radical.
DEMOSTRACIÓN: La
logaritmación del radicando R con base (b) y índice
radical o logaritmo (n) se puede poner en forma potencial
escribiendo 
y
según el apartado 3, resultará que
Cambio de base de un logaritmo
Para pasar el logaritmo de un
número, a otra base, se divide el logaritmo de la base
nueva por el logaritmo de la base antigua en base
nueva.
Si tenemos 
y deseamos pasarlo a una
base (b2).
Donde y 
que potenciándolas tendremos
Sustituyendo N por 
tendremos que
siendo la fórmula
anterior el logaritmo de una potencia
Por transposición de términos
tendremos 
y
reconvirtiendo los valores por N, H por 
tendremos