2 2 PRUEBA JI CUADRADO CON EXCEL, WINSTAS Y GEOGEBRA La finalidad
de una prueba de k muestras es evaluar la aseveración que
establece que todas las k muestras independientes provienen de
poblaciones que presentan la misma proporción de
algún elemento. De acuerdo con esto, las hipótesis
nula y alternativa son ??0 :Todas las proporciones de la
población son iguales. ??1 : No todas las proporciones de
la población son iguales. La estimación combinada
de la proporción muestral “p” se calcula de la
siguiente manera: ?? = ??1 + ??2 + ??3 + ? ???? ??1 + ??2 + ??3 +
? ???? En una muestra se puede dar un conjunto de sucesos, los
cuales ocurren con frecuencias observadas “o” (las
que se observa directamente) y frecuencias esperadas o
teóricas “e” (las que se calculan de acuerdo a
las leyes de probabilidad). La frecuencia esperada
“e” se calcula así: ?? = ?? ·
???????????? ?? = proporción muestral ???????????? =
frecuencia total observada El estadístico de prueba es
?????????????? = (??1 – ??1 )2 (??2 – ??2 )2 (??3 – ??3 )2 + +
??1 ??2 ??3 +? (???? – ???? )2 ???? ?????????????? =? (???? –
???? )2 ???? Donde: ?? es la letra griega ji ??2 se lee ji
cuadrado Por lo tanto el valor estadístico de prueba para
este caso es la prueba ji cuadrado o conocida también como
chi cuadrado Como sucede con las distribuciones t y F, la
distribución ji cuadrado tiene una forma que depende del
número de grados de libertad asociados a un determinado
problema. Para obtener un valor crítico (valor que deja un
determinado porcentaje de área en la cola) a partir de una
tabla de ji cuadrado, se debe seleccionar un nivel de
significación y determinar los grados de libertad para el
problema que se esté resolviendo. Los grados de libertad
son una función del número de casillas en una tabla
de 2 · ??. Es decir, los grados de libertad reflejan el
tamaño de la tabla. Los grados de libertad de la columna
son el número de filas (categorías) menos 1, o
bien, ?? – 1 .Los grados de libertad de cada fila es igual al
número de columnas (muestras) menos 1, o bien, ?? – 1. El
efecto neto es que el número de grados de libertad para la
tabla es el producto de (número de filas -1) por
(número de columnas -1), o bien, (?? – 1)(?? – 1).Por lo
tanto con 2 filas y 4 columnas, los grados de libertad son (2 –
1)(4 – 1) = 3
2 2 2 2 2 La prueba ji cuadrado requiere la comparación
del ?????????????? con el ???????????? . Si el valor
estadístico de prueba es menor que el valor tabular, la
hipótesis nula es aceptada, caso contrario, H0 es
rechazada. Nota: Un valor estadístico de ??????????????
menor que el valor crítico ???????????? o igual a
él se considera como prueba de la variación casual
en donde H0 es aceptada. Ejemplos ilustrativos: 1) El siguiente
valor 4 · 5 representa el tamaño de una tabla ??
· ??. Determine el número de grados de libertad y
obtenga el valores crítico en el niveles 0,05 se
significación. Solución: Los grados de libertad se
calculan aplicando la fórmula: ???????????? ????
???????????????? = (?? – 1)(?? – 1) ???????????? ????
???????????????? = (4 – 1)(5 – 1) = 12 TABLA Nº 6
DISTRIBUCIÓN ???? Ejemplo: Para 10 grados de libertad
??(???? > ????, ????) = ??, ???? = ????% 0,995 0,990 0,975
0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989
1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872
1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831
1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 0,004 0,103 0,352 0,711
1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 0,016 0,211 0,584
1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 0,102 0,575
1,213 1,923 2,675 3,455 4,255 5,071 5,899 6,737 7,584 8,438 0,455
1,386 2,366 3,357 4,351 5,348 6,346 7,344 8,343 9,342 10,341
11,340 1,323 2,773 4,108 5,385 6,626 7,841 9,037 10,219 11,389
12,549 13,701 14,845 2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,645 12,017
13,362 14,684 15,987 17,275 18,549 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070
12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 5,024 7,378
9,348 11,143 12,833 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920
23,337 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090
21,666 23,209 24,725 26,217 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750
18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 Con lectura en
la tabla con 12 grados de libertad y 0,05 de área se
obtiene ???????????? = 21,026
2 2 2 2 2 2 Los cálculos en Excel se muestran en la
siguiente figura: 2) La siguiente tabla muestra las frecuencias
observadas y las frecuencias esperadas al lanzar un dado 60
veces. Contrastar la hipótesis de que el dado es bueno,
con un nivel de significación de 0,01. Cara del dado 1 2 3
4 5 6 Frecuencia observada 6 8 9 15 14 8 Frecuencia esperada 10
10 10 10 10 10 Solución: ?? = 2 ?? = 6 ?? = 0,01 Las
hipótesis son: ??0 :Todas las proporciones de la
población son iguales. ??1 : No todas las proporciones de
la población son iguales. Los grados de libertad se
calculan aplicando la fórmula: ???????????? ????
???????????????? = (2 – 1)(6 – 1) ???????????? ????
???????????????? = 5 Con lectura en la tabla con 5 grados de
libertad y 0,01 de área se obtiene ???????????? = 15,086
Calculando ?????????????? se obtiene: ?????????????? = ? (???? –
???? )2 ???? ?????????????? = (6 – 10)2 (8 – 10)2 (9 – 10)2 (15 –
10)2 (14 – 10)2 (8 – 10)2 + + + + + 10 10 10 10 10 10
?????????????? = 1,6 + 0,4 + 0,1 + 2,5 + 1,6 + 0,4 ??????????????
= 6,6
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Los cálculos en GeoGebra se muestran en la siguiente
figura: El gráfico elaborado con GeoGebra se muestra a
continuación:
2 2 El gráfico elaborado en Winstats y Paint se muestra a
continuación: Decisión: H0 es aceptada, ya que
?????????????? (6,6) es menor que ???????????? (15,086), por lo
tanto, se concluye que todas las proporciones de la
población son iguales, es decir, el dado es bueno.