o o o o o o ?E C UACIONE S RAC I ONA LE S Para la solución
de este tipo de ecuaciones es necesario que el estudiante maneje
adecuadamente los siguientes aspectos : Solución de
ecuaciones de primer y 2do. grado Cálculo del
Mínimo Común Múltiplo de polinomios
Multiplicación y división de polinomios
Factorización de polinomios Productos notables Valorar
expresiones algebraicas (comprobación). Resulta esencial y
ventajoso comprobar los resultados obtenidos de manera que se
pueda descartar cualquier “solución ficticia”
que podamos haber creado al realizar las operaciones. El paso
anterior nos permite visualizar fácilmente la
simplificación de la ecuación : X=-5 Para comprobar
el resultado sustituyo este valor en la ecuación inicial y
deberá cumplirse la igualdad : Las posibles soluciones que
debemos descartar generalmente están representadas por los
valores que anulan algún denominador (la división
por cero no existe). Luego podemos afirmar que Ejemplo 2 :
Resolver SI ES SOLUCIÓN Ejemplo 1 : Resolver Algunos
autores y profesores recomiendan calcular el mínimo
común múltiplo de los denominadores de los
términos que se encuentran en el miembro izquierdo de la
ecuación. Se recomienda factorizar aquellos polinomios de
segundo grado (y mayores) ya que nos permite visualizar
más fácilmente las posibles soluciones. Al
factorizar el numerador tendremos : Al considerar que este
procedimiento genera dificultad a muchos estudiantes nos
permitimos recomendar lo siguiente : En aquellos casos donde la
ecuación presente dos términos es “más
cómodo” colocar uno en cada miembro. APUNTES DE
ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 118
–
y Esto facilita los cálculos ya que podemos “pasar a
multiplicar” cada denominador al otro miembro : CIERTO Esto
nos indica que X = 3 SI ES SOLUCIÓN Luego podemos reducir
términos semejantes resultando: Se debe indicar que ambos
valores ( – 1 y 3 ) resuelven dicha ecuación
racional. Al aplicar la fórmula general de segundo grado o
resolvente podemos determinar que los valores que anulan la
ecuación anterior (raíces) son : Ejemplo 3 :
Resolver X1 = – 1 X2 = 3 En aquellos casos donde la
ecuación presente dos términos es “más
cómodo” colocar uno en cada miembro. Comprobando con
X1 = – 1 en la ecuación racional inicial : Esto nos
indica que X = – 1 , para lo cual sustituyo este valor SI
ES SOLUCIÓN Esto facilita los cálculos ya que
podemos “pasar a multiplicar” cada denominador al
otro miembro : Luego podemos resolver la ecuación de
segundo grado resultante: Comprobando con X2 = 3 , para lo cual
sustituyo este valor en la ecuación racional inicial :
APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Al aplicar la fórmula general
de segundo grado o resolvente podemos determinar que los valores
que anulan la ecuación anterior (raíces) son : Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 119 –
Factorizando el denominador del miembro de la izquierda : X1 = X2
= 1 Factorizando el numerador del miembro de la derecha :
Comprobando con X = 1 , para lo cual sustituyo este valor en la
ecuación racional inicial : Luego la ecuación puede
ser expresada de la siguiente manera : El paso anterior nos
permite visualizar fácilmente la simplificación de
la ecuación : Como la división por cero no existe
se dice que la ecuación racional estudiada NO TIENE
SOLUCIÓN. Para comprobar el resultado sustituyo este valor
en la ecuación inicial y deberá cumplirse la
igualdad : Ejemplo 4 : Resolver Se recomienda factorizar aquellos
polinomios de segundo grado y mayores ya que nos permite
visualizar más fácilmente las posibles soluciones.
Factorizando el numerador del miembro de la izquierda : Luego
podemos afirmar que SI ES SOLUCIÓN APUNTES DE ALGEBRA
(TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 120 –
Ejemplo 5 : Resolver Cuando la ecuación racional presente
más de dos términos es necesario calcular el
mínimo común múltiplo para poder
“eliminar” los denominadores. Dividir el
mínimo común múltiplo entre el denominador
de cada término : El resultado anterior se debe
multiplicar por el numerador del término respectivo. Para
facilitar éste cálculo sigue siendo recomendable
factorizar los polinomios de segundo grado y mayores que presente
la ecuación. Factorizando el polinomio que tiene el
segundo miembro de la Trabajando con el segundo término
tendremos : derecha : Dividir el mínimo común
múltiplo entre el denominador de cada término :
Luego la ecuación puede ser indicada como : El resultado
anterior se debe multiplicar por el numerador del término
respectivo. Factorizado dicho polinomio resulta más
fácil calcular el mínimo común
múltiplo de los tres denominadores, que en este caso
será : Trabajando con el tercer término tendremos :
Una vez conocido el mínimo común múltiplo se
pueden “eliminar” los denominadores con la
utilización del procedimiento conocido por los estudiantes
de este nivel que consiste en : o Dividir el mínimo
común múltiplo entre el denominador de cada
término. o El resultado anterior se debe multiplicar por
el numerador del término respectivo. Trabajando con el
primer término tendremos : Dividir el mínimo
común múltiplo entre el denominador de cada
término : El resultado anterior se debe multiplicar por el
numerador del término respectivo. APUNTES DE ALGEBRA (TOMO
II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 121 –
y Luego la ecuación quedará expresada de la
siguiente manera Recordando el AXIOMA FUNDAMENTAL DE LAS
ECUACIONES que dice que:”Si con cantidades iguales se
realizan operaciones iguales (en ambos miembros de la
ecuación), los resultados serán iguales”.
Podemos decir que al multiplicar ambos miembros de la
ecuación por el mínimo común múltiplo
anteriormente calculado se pueden eliminar los denominadores sin
alterar la ecuación. Luego podemos afirmar que SI ES
SOLUCIÓN Ejemplo 6 : Resolver Recordando el AXIOMA
FUNDAMENTAL DE LAS ECUACIONES que dice que:”Si con
cantidades iguales se realizan operaciones iguales Para comprobar
el resultado sustituyo este valor en la ecuación inicial y
deberá cumplirse la igualdad : (en ambos miembros de la
ecuación), los resultados serán iguales”.
Podemos decir que al multiplicar ambos miembros de la
ecuación por (X – 2) se pueden eliminar los
denominadores sin alterar la ecuación. La ecuación
quedará expresada como : Que posee dos raíces : X1
= 2 X2 = – 2 APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José
Luis Albornoz Salazar – 122 –
Comprobando con X1 = 2 , para lo cual sustituyo este valor en la
ecuación racional inicial : Ejemplo 7 : Resolver (Tomado
con fines académicos de la página Web
Matemática y Listo) Se dice que es falso porque la
división por cero no existe. Esto nos indica que X = 2
Comprobando con X1 = – 2 en la ecuación racional
inicial : Esto nos indica que X = – 2 NO ES SOLUCIÓN
, para lo cual sustituyo este valor SI ES SOLUCIÓN APUNTES
DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz Salazar – 123
–
Ejemplo 8 : Resolver (Tomado con fines académicos de la
página Web Matemática y Listo) Ejemplo 9 : Resolver
(Tomado con fines académicos de la página Web
Matemática y Listo) APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing.
José Luis Albornoz Salazar – 124 –
; 2 = 2 ? E C UACIONE S IRRAC ION ALE S Las ecuaciones
irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen
la incógnita bajo el signo radical. Por ejemplo : Ejemplo
1 : Resolver Se elevan al cuadrado ambos miembros de la
ecuación : ; ; Al elevar al cuadrado el miembro de la
izquierda se elimina la raiz cuadrada, y al elevar al cuadrado el
miembro de la derecha se obtiene 4: Para resolver una
ecuación irracional se recomienda seguir los siguientes
pasos : 1) Se aísla un radical en uno de los dos miembros,
pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque
tengan también radicales. Una vez eliminado el radical se
resuelve la ecuación de primer grado con una
incógnita : 2) Se elevan ambos miembros de la
ecuación al índice que posea la raíz. X=4+8
X = 12 3) Se resuelve la ecuación obtenida. 4) Se
comprueba si las soluciones obtenidas verifican la
ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al
cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas
soluciones que la d ada y, además las de la
ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los
miembros de la ecuación (Se dice que al elevar ambos
miembros al cuadrado podemos estar añadiendo una
solución ficticia). Para comprobar el resultado debo
sustituir el valor obtenido (X=12) en la ecuación inicial
: Al verificar que se cumple la igualdad podemos afirmar que la
5) Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten los
dos primeros pasos del proceso hasta eliminarlos todos.
ecuación irracional se cumple “si y solo si” X
= 12. APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José Luis Albornoz
Salazar – 125 –
y ; ; Ejemplo 2 : Resolver X1 = 8 X2 = 1 1ero. Se aísla un
radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el
resto de los términos 2do. Se elevan al cuadrado los dos
miembros. 4to. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican
la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar
al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las
mismas soluciones que la dada y, además las de la
ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los
miembros de la ecuación (Se dice que al elevar ambos
miembros al cuadrado podemos estar añadiendo una
solución ficticia). Comprobando con X1 = 8 , para lo cual
sustituyo este valor en 3ero. Se resuelve la ecuación
obtenida. la ecuación irracional inicial : ; Al elevar al
cuadrado el miembro de la izquierda se elimina la raiz cuadrada,
y al elevar al cuadrado el miembro de la derecha debemos recordar
el producto notable que dice que el cuadrado de la diferencia de
un binomio es igual al cuadrado del primer miembro menos el doble
producto del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo : 3X + 1 = X2 – (2)(X)(3) + (3)2 3X + 1 = X2
– 6X + 9 Una vez “eliminada” la raíz, la
ecuación puede ser resuelta como una ecuación de
segundo grado. 3X + 1 – X2 + 6X – 9 = 0 – X2 +
9X – 8 = 0 Al aplicar la fórmula general de segundo
grado o resolvente podemos determinar que los valores que anulan
la ecuación anterior (raíces) son : ; Esto nos
indica que X = 8 Comprobando con X2 = 1 la ecuación
irracional inicial : ; Esto nos indica que X = 1 ; SI ES
SOLUCIÓN , para lo cual sustituyo este valor en ; NO ES
SOLUCIÓN La ecuación irracional estudiada se
resuelve con X = 8 APUNTES DE ALGEBRA (TOMO II) Ing. José
Luis Albornoz Salazar – 126 –
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